3.3.1 从函数观点看一元二次方程3.3.2 从函数观点看一元二次不等式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程　 3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 基础过关练 题组一　二次函数的零点及其应用 1.设x1,x2是函数y=6x2-x-2的两个零点,则+的值为(　　) A.2　　　　B.-2　　　　C.　　　　D.- 2.(多选题)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点,下列说法正确的是(　　) A.当m=0时,该函数只有一个零点 B.当m=1时,该函数只有一个零点 C.当m=-1时,该函数没有零点 D.当m=2时,该函数有两个零点 3.(教材习题改编)函数y=(x-1)(x2-3)的零点是　　　　.  4.若函数y=x2+mx+4m2-3的两个零点分别为x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,则m的值为　　　　.  题组二　一元二次不等式的解法 5.“|x|<3”是“x2<x”的　　(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.不等式x(x+2)<x(3-x)+1的解集为(　　) A. B.∪(1,+∞) C. D.(-∞,-1)∪ 7.若0<m<1,则不等式(x-m)<0的解集为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 8.不等式ax2-(a+2)x+2>0(a<0)的解集为(　　) A.　　　　B. C.∪[1,+∞)　　　　D.∪(1,+∞) 9.(教材习题改编)求下列不等式的解集: (1)2x2-7x+3<0;(2)-3x2+6x≤2; (3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0; (5)-1<x2+2x-1≤2. 题组三　三个“二次”之间的关系 10.(教材习题改编)若一元二次不等式kx2-2x+k<0的解集为{x|x≠m},则m+k=(　　) A.-1　　　　B.0　　　　C.-2　　　　D.2 11.甲、乙两人分别解关于x的不等式x2+mx+n<0.甲抄错了常数m,得到解集为(1,6);乙抄错了常数n,得到解集为(1,4).如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的,则原不等式的解集为(　　) A.(2,3)　　　　B.(1,6)　　　　 C.(-2,3)　　　　D.(-3,-2) 12.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于(-1,0),(2,0)两点,则关于x的不等式cx2+x-b>0的解集为(　　) A. B.∪(1,+∞) C. D.(-∞,-1)∪ 题组四　一元二次不等式的恒(能)成立问题 13.(教材习题改编)若关于x的不等式x+2+a2-a-2≥0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.≤a≤　　　　 B.-1≤a≤2 C.a≤或a≥　　　　 D.a≤-1或a≥2 14.(多选题)∀x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立的一个必要不充分条件是(　　) A.0<a<4　　　　B.a>-1 C.0<a<　　　　D.a≤10 15.已知命题p:对任意实数x,不等式mx2-2x+>0都成立,命题q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若命题p,q有且只有一个是真命题,则实数m的取值范围为　　　　　　.  题组五　一元二次不等式的实际应用问题 16.某商店销售一种亚运会纪念章,每枚纪念章的最低售价为15元,若每枚纪念章按最低售价销售,每天能卖出45枚,每枚纪念章售价每提高1元,日销售量将减少3枚,为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入,则这批纪念章的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　　) A.(10,20)　　　　B.[15,20) C.(16,20)　　　　D.[15,25) 17.某市有一块三角形荒地,如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=200米,现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF,其中点D,E,F分别在线段AB,BC,CA上,若要求绿地的面积不少于7 500平方米,则AD的长度(单位:米)的取值范围是(　　) A.[40,160]　　　　B.[50,150] C.[55,145]　　　　D.[60,140] 18.某服装公司生产的衬衫每件定价160元,在某城市年销售10万件.现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫,以降低管理和营销成本.已知代理商要收取的代理费为总销售金额的r%(每100元销售额收取r元),且r为正整数.为确保单件衬衫的利润保持不变,服装公司将每件衬衫价格提高到元,但提价后每年的销售量会减少0.62r万件.若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元,则正整数r的取值集合为　　　　.  能力提升练 题组一　含参数的一元二次不等式的解法 1.若关于x的不等式ax+b≤0的解集为{x|x≥-1},则关于x的不等式>0的解集为(　　) A.{x|x<-1或x>2}　　　　B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1}　　　　D.{x|-1<x<2} 2.若关于x的不等式(ax-1)2<x2恰有2个整数解,则实数a的取值范围是(　　) A.-<a≤-或<a≤　　　　 B.-<a≤-或≤a< C.-≤a<-或<a≤　　　　 D.-≤a<-或≤a< 题组二　三个“二次”之间的关系 3.对于问题“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),解关于x的不等式ax2-bx+c>0”,给出一种解法:由ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-4,2),即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-4,2),类比上述解法,若关于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集为(1,4)∪(8,+∞),则关于x的不等式+++d>0的解集为(　　) A.(2,8)∪(16,+∞) B.∪ C.(1,2)∪(4,+∞) D.∪ 4.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(t>0),则下列说法正确的是(　　) A.abc<0 B.2a+b<0 C.(4a+2b+c)≤0 D.设关于x的方程ax+b+c=0的解分别为x1,x2,则x1+x2>t+ 5.若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0的两个不相等实数根都是负数,则实数k的取值范围为　　　　　　　　.  题组三　一元二次不等式中的恒(能)成立问题 6.若不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x均成立,则实数m的取值范围是(　　) A.-2<m<2　　　　B.-10<m≤2 C.m<-2或m>2　　　　D.m<-2 7.若不等式<0对一切x∈R恒成立,则实数k的取值范围为(　　) A.(-3,0) B.(-∞,-3)∪(0,+∞) C.(-3,0] D.(-∞,-3)∪[0,+∞) 8.当x>0时,关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,则b+的最小值为　　　　.  答案与分层梯度式解析 3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 基础过关练 1.D　根据题意,得x1,x2是方程6x2-x-2=0的两个不相等的实数根, 所以x1+x2=,x1x2=-,所以+==-. 故选D. 易错警示　二次函数的零点是实数,而不是点,并且不是所有的二次函数都有零点. 2.AB　当m=0时,函数y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=,此时方程只有一个实数根,即函数只有一个零点,故A正确; 当m=1时,函数y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有两个相等的实数根,即函数只有一个零点,故B正确; 当m=-1时,函数y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有两个不相等的实数根,即函数有两个零点,故C错误; 当m=2时,函数y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程无实数根,即函数无零点,故D错误.故选AB. 3.答案　1和± 解析　令(x-1)(x2-3)=0,解得x=1或x=±, 所以函数y=(x-1)(x2-3)的零点是1和±. 4.答案　 解析　根据题意,得方程x2+mx+4m2-3=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2, 则Δ=m2-4(4m2-3)>0, 所以-<m<, 又x1+x2=-m,x1x2=4m2-3,x1+x2=x1x2, 所以-m=4m2-3,即4m2+m-3=0, 解得m=-1或m=, 又-<m<,所以m=. 5.B　解析　由|x|<3,解得-3<x<3. 由x2<x,即x(x-1)<0,解得0<x<1. 因为{x|0<x<1}是{x|-3<x<3}的真子集, 所以“|x|<3”是“x2<x”的必要不充分条件. 故选B. 6.A　将x(x+2)<x(3-x)+1化为2x2-x-1<0,即(2x+1)(x-1)<0,解得-<x<1, 所以不等式x(x+2)<x(3-x)+1的解集为. 故选A. 7.D　因为0<m<1,所以>m, 所以(x-m)<0的解集为. 故选D. 8.B　原不等式可转化为-ax2+(a+2)x-2<0, 即-a(x-1)<0, 因为a<0,所以<1, 所以<x<1,所以原不等式的解集为. 故选B. 9.解析　(1)由2x2-7x+3<0,可得(2x-1)(x-3)<0,解得<x<3,所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为3x2-6x+2≥0,设方程3x2-6x+2=0的两根分别为x1,x2,则x1=1+,x2=1-,结合函数y=3x2-6x+2的图象(图略),可得原不等式的解集为xx≤1-或 x≥1+. (3)原不等式可化为(2x+1)2>0,所以原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2-6x+10<0,即(x-3)2+1<0,所以原不等式的解集为⌀. (5)原不等式等价于 即 由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0; 由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1. 所以原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0<x≤1}. 10.C　由题意可得函数y=kx2-2x+k的图象开口向下,且与x轴只有1个公共点破题关键,∴解得k=-1,∴不等式为-x2-2x-1<0,即x2+2x+1>0,其解集为{x|x≠-1},∴m=-1,∴m+k=-2.故选C. 11.A　依题意,由甲求得的解集得n=1×6=6,由乙求得的解集得-m=1+4=5,解得m=-5, 于是不等式x2+mx+n<0即x2-5x+6<0,解得2<x<3,所以原不等式的解集为(2,3).故选A. 12.A　由题意,设x2+bx+c=0的两根分别为x1,x2,则x1=-1,x2=2, 所以由根与系数的关系,得 解得 此时cx2+x-b=-2x2+x+1=(2x+1)(-x+1)>0,解得-<x<1.故选A. 13.D　因为关于x的不等式x+2+a2-a-2≥0恒成立,所以a2-a-2≥-x-2,则a2-a-2≥(-x-2)max, 令=t,t≥0,则-x-2=-t2-2t=-(t+1)2+1, 当t=0时,-x-2取得最大值,且最大值为0, 所以a2-a-2≥0,解得a≤-1或a≥2.故选D. 14.BD　∵∀x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立, ∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0<a<4,记M={a|0<a<4}, 设所求的必要不充分条件对应的集合是N,则M⫋N,对比选项可知,选项B,D均符合题意. 15.答案　(1,2]∪[3,+∞) 解析　命题p为真命题时,需满足解得m>2. 命题q为真命题时,需满足Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3. ∵命题p、q中有且只有一个是真命题, ∴当p真q假时,m>2且m∈(-∞,1]∪[3,+∞),即实数m的取值范围是m≥3; 当p假q真时,m≤2且1<m<3,即实数m的取值范围是1<m≤2. 综上,实数m的取值范围为(1,2]∪[3,+∞). 16.B　由题意,得x[45-3(x-15)]>600, 即x2-30x+200<0,∴(x-10)(x-20)<0, 解得10<x<20. 又∵每枚纪念章的最低售价为15元,∴15≤x<20. 故选B. 17.B　在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,所以△ABC为等腰直角三角形, 设AD=x米,则EF=FC=AD=x米,FA=(200-x)米, 依题意,得x(200-x)≥7 500,解得50≤x≤150. 故AD的长度(单位:米)的取值范围是[50,150]. 故选B. 18.答案　{7,8,9,10} 解析　由题意,得(10-0.62r)··r%≥65且r∈N*, 所以496r2-8 325r+32 500≤0且0<r<,即0<r≤16,r∈N*, 令496r2-8 325r+32 500=0,则Δ=(-8 325)2-4×496×32 500=4 825 625, 所以方程的两根分别为r1=≈6.177 7,r2=≈10.606 6, 综上,可得7≤r≤10,r∈N*, 所以正整数r的取值集合为{7,8,9,10}. 能力提升练 1.D　因为关于x的不等式ax+b≤0的解集为{x|x≥-1},所以关于x的方程ax+b=0的解为x=-1,且a<0,所以-a+b=0,即b=a, 故不等式>0即>0,等价于<0,即(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2, 因此不等式>0的解集为{x|-1<x<2}.故选D. 2.B　∵不等式(ax-1)2<x2即[(a+1)x-1][(a-1)x-1]<0恰有2个整数解, ∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1. (结合二次函数图象,当不等式小于0,且恰有2个整数解时,二次项系数大于0) 当a>1时,不等式的解集为,易知∈,∴2个整数解分别为1,2,∴2<≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得≤a<; 当a<-1时,不等式的解集为,易知∈,∴2个整数解分别为-1,-2,∴-3≤<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1),解得-<a≤-. 综上,实数a的取值范围是-<a≤-或≤a<.故选B. 3.B　若关于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集为(1,4)∪(8,+∞), 即解不等式ax3+bx2+cx+d>0可得1<x<4或x>8, 由+++d>0得a·+b·+c·+d>0, 所以1<<4或>8,所以<2x<1或0<2x<,解得<x<或0<x<, 所以关于x的不等式+++d>0的解集为∪.故选B. 4.ABD　因为不等式ax2+bx+c<0的解集为(t>0),所以和t为方程ax2+bx+c=0的两个根,且a>0,t>1,则所以b=-a,a=c>0, 又+t>2=2,所以b<-2a<0, 所以abc<0,2a+b<0,故A、B正确; 而(4a+2b+c)=·=a2≥0,故C错误; 因为关于x的方程ax+b+c=0的解分别为x1,x2, 令=m(m≥0),即x=m2, 所以关于m的方程am2+bm+c=0在[0,+∞)上有两个解m1,m2, 结合题意,可得方程am2+bm+c=0在[0,+∞)上的两个解为和t,所以 所以x1+x2=+=(m1+m2)2-2m1m2=-2××t=-2, 又-2-=-,且+t>2, 所以->0,即-2>+t, 所以x1+x2>t+,故D正确. 故选ABD. 5.答案　 解析　设方程kx2+3kx+k-3=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2, 则x1<0,x2<0⇔ 所以即 又k≠0,所以k<-或k>3. 6.B　因为不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x均成立, 所以不等式(m-2)x2+(m-2)x-3<0对任意实数x均成立, 当m-2=0,即m=2时,有-3<0恒成立,满足题意; 当m-2≠0,即m≠2时, 解得-10<m<2. 综上所述,实数m的取值范围为-10<m≤2. 故选B. 7.C　因为Δ=(-8)2-4×20=-16<0, 所以x2-8x+20>0恒成立, 不等式<0对一切x∈R恒成立等价于2kx2+kx-<0对一切x∈R恒成立破题关键. 当k=0时,-<0对一切x∈R恒成立,满足题意, 当k≠0时,解得-3<k<0. 综上,k∈(-3,0].故选C. 8.答案　4 解析　易知a≠0. 当a<0时,由x>0可得ax-1<0,所以(ax-1)(x2+bx-4)≥0,即x2+bx-4≤0,易知函数y=x2+bx-4的图象开口向上,所以x2+bx-4≤0不恒成立,不满足题意; 当a>0时,若x>,则ax-1>0,若0<x<,则ax-1<0,所以当x>时,x2+bx-4≥0,当0<x<时,x2+bx-4≤0,所以y=x2+bx-4的零点为,所以+-4=0,即b=4a-,所以b+=4a+≥4,当且仅当4a=,即a=时,等号成立.故b+的最小值为4. 23 学科网（北京）股份有限公司 $$