3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（题型专练）数学苏教版2019必修第一册

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 题型一 函数零点问题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的零点为（   ） A． B．和 C．和1 D．1 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若在上定义运算，则的零点为（   ） A．0和2 B．和1 C．和2 D．和0 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若时的函数值等于时的函数值，则 ，该函数的零点是 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的图象如图所示，则函数的零点是 ． 题型二 零点个数问题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知二次函数与x轴的正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）若函数只有一个零点，则实数a的值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 题型三 一元二次方程根的分布问题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 2．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 题型四 一元二次不等式的辨析 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 题型五 解不含参数的不等式 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）不等式的解集是 ． 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 题型六 一元二次不等式的实际应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）某城市对一种售价为160元/件的电子产品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元）．若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．8% D．10% 2．（25-26高一上·全国·课后作业）某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 4．（22-23高一上·甘肃武威·期中）年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型一 解含参数一元二次不等式 1．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 2．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式：． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解关于的不等式． 题型二 一元二次不等式恒成立问题 1．（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对正实数恒成立，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·北京大兴·期中）若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 题型三 由一元二次不等式的解（集）求参数 1．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期末）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 . 4．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知且，记． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 1．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若实数x，y满足，则x的最大值是 . 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ． 4．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知函数有唯一零点，则 ． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，其中，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填写正确结论的序号）． 6．（24-25高一上·上海·期中）“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的 条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 7．（24-25高一上·全国·周测）已知函数． (1)若，求实数的值； (2)若有零点，求实数的取值范围． 8．（2025高一·全国·专题练习）若关于的方程有3个解，求实数的值. 9．（2025高一·全国·专题练习）已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值． 10．（江西省南昌市2024-2025学年高一下学期期末调研检测数学试题）已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)若不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 11．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 12．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且都有， ①求的最大值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 13．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）函数，. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)如果函数在区间上只有一个零点，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知一次函数和二次函数的图像都过点和，且. (1)求和的解析式； (2)设关于的不等式的解集为. ①若，求实数的取值范围； ②是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 题型一 函数零点问题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的零点为（   ） A． B．和 C．和1 D．1 【答案】C 【详解】由得． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若在上定义运算，则的零点为（   ） A．0和2 B．和1 C．和2 D．和0 【答案】B 【详解】由题意，令，得或． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若时的函数值等于时的函数值，则 ，该函数的零点是 ． 【答案】 4 1，3 【详解】由题意得，即，所以．令，即，得，所以该函数的零点是1和3． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的图象如图所示，则函数的零点是 ． 【答案】和 【详解】由函数的图象可知，2和3是方程的两根，所以，即，所以函数．令，得或，所以函数的零点是和． 题型二 零点个数问题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【详解】由，得函数有2个零点． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知二次函数与x轴的正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得所以． 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）若函数只有一个零点，则实数a的值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】BC 【详解】当时，，显然成立；当时，则，解得． 题型三 一元二次方程根的分布问题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． 2．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）根据判别式符号以及韦达定理列不等式求解； （2）利用求解； （3）函数在的函数值的符号列不等式求解； （4）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解； （5）利用求解； （6）根据判别式符号以及区间端点处函数值符号列不等式求解； （7）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解. 【详解】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 题型四 一元二次不等式的辨析 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式的概念及辨析 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 题型五 解不含参数的不等式 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】变形，等价于，求出解集. 【详解】， 等价于，解得， 解集为. 故答案为； 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1）或. 所以所求不等式的解集为： （2）. 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 由， 所以所求不等式的解集为： 题型六 一元二次不等式的实际应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）某城市对一种售价为160元/件的电子产品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元）．若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．8% D．10% 【答案】A 【详解】根据题意得，化简整理得，解得，即的最大值为8． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】设改进操作方法前每天至少要加工x个零件，由题意得，解得或（舍去）．又，所以改进操作方法前每天至少要加工9个零件． 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式求解即可. 【详解】根据题意可得，整理得， 解得，又，所以，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为. 故选：D. 4．（22-23高一上·甘肃武威·期中）年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出的取值范围. 【详解】由题意，得，即,解得． 又每枚的最低售价为元，． 故选：B． 题型一 解含参数一元二次不等式 1．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 【详解】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得. 综上可得：实数的取值范围为：. 2．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】通过，和三种情况讨论即可. 【详解】由方程，可得，两根为：， 又方程所对应抛物线开口向上， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式无解； 当时，，不等式的解集为； 综上： 时，不等式的解集为； 时，不等式无解； 时，不等式的解集为； 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论即可得解. 【详解】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 题型二 一元二次不等式恒成立问题 1．（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 2．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对正实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据不等式恒成立，结合二次函数的性质及分类讨论求参数范围. 【详解】当时，开口向下，则在上存在的情况，不符； 当时，显然在上不恒成立，不符； 当时，开口向上且对称轴为， 所以，在上，只需，可得（舍）， 综上， 3．（24-25高一上·北京大兴·期中）若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将问题转化为，分类讨论与两种情况讨论，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】令，的对称轴为， 当，即时，， 所以，则，故； 当，即时，， 所以，则，故； 综上，，即实数的取值范围是. 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围. 【详解】由两个正实数，满足， 得，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为不等式恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 【答案】4 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 题型三 由一元二次不等式的解（集）求参数 1．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 2．（24-25高二下·上海·期末）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集列不等式即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以， 解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数定义域非空集，则，解得.记，因为，所以的解集为，依题意有或，所以或.又，，所以. 4．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知且，记． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)9 【分析】（1）根据分类讨论思想，解二次不等式即可； （2）根据不等式的解集，确定开口方向即对于方程的根，再利用韦达定理可得，再由基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）因为，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）由题意知，分别是方程的两根，且， 由韦达定理可知， 所以，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为9． 1．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到，根据题意，转化为与的图象仅有两个交点，画出同一坐标系内作出两个函数的图象，结合斜率公式和直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】由函数， 令，可得，即， 因为函数有且仅有两个零点， 即函数与的图象仅有两个交点， 因为， 作出函数和的图象，如图所示， 当时，联立方程组，可得， 由，解得， 当时，可得， 要使得函数有且仅有两个零点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）若实数x，y满足，则x的最大值是 . 【答案】/ 【分析】把已知条件整理为的形式，利用，求得的取值范围，从而得出最大值. 【详解】将条件变形为，，解得， 故. 故答案为： 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ． 【答案】（答案不唯一，写出一个即可） 【分析】由题可得满足题意的函数可为偶函数，结合最值，零点情况可得答案. 【详解】函数的对称轴为y轴，有一个最小值－1，两个零点，，符合题意． 故答案为：（答案不唯一，写出一个即可） 4．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知函数有唯一零点，则 ． 【答案】2 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为，， 所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点， 根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故答案为：2. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，其中，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填写正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【详解】设，则，所以．由图可知，①正确；由图可知，对称轴为直线，所以，②正确；由图可知，联立将代入上述不等式组得两式相加得，解得，③正确；由图可知，所以，④错误． 6．（24-25高一上·上海·期中）“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的 条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 【答案】充分非必要 【分析】先分类讨论求出方程“至少有一个负数根时的参数的范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】当时，显然函数开口向上， 对称轴为， 所以若有根，则根为负数， 所以有，即； 当时，得，此时有一个负数根； 当时，显然开口向下，， 所以有两根，一正一负； 综上所述，， 所以“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 7．（24-25高一上·全国·周测）已知函数． (1)若，求实数的值； (2)若有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)3或-2． (2)． 【分析】（1）根据得到，求出答案； （2）转化为有解，根据根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】（1）若，则，解得或．所以实数的值为3或-2． （2）若有零点，则有解， 由， 解得． 所以实数的取值范围是． 8．（2025高一·全国·专题练习）若关于的方程有3个解，求实数的值. 【答案】 【分析】将方程有3个解转化为函数与有3个交点，数形结合即可求解. 【详解】因为关于的方程有3个解，所以函数与有3个交点， 作出函数的图象，如图，      由图可知：函数与有3个交点时，. 9．（2025高一·全国·专题练习）已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到，利用，所以解此方程得到，然后根据都大于1确定k的值． 【详解】根据题意得, ∵ ∴， ∴ ∴ 整理得 ,解得 当时,原方程为,解得 (不符合条件舍去)， 当时,原方程为,解得 符合题意； ∴k的值为7. 10．（江西省南昌市2024-2025学年高一下学期期末调研检测数学试题）已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)若不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数在给定区间上的值域的求法进行求解即可； （2）解出不等式的解集，再分析非负整数解即可求解. 【详解】（1）当时，，对称轴为， ， 所以当时，， 当时，， 在上的值域为； （2）， ，即， ， ， 不等式的解集为， 不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数， ，解得， 实数a的取值范围为. 11．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由题意得要满足题意只需，列式计算求解即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，是方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）因为，所以二次函数的图象开口向下， 要使的解集为，只需，即，所以， 所以当时，的解集为． 12．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且都有， ①求的最大值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解； (2) ①根据题意可得函数关于直线对称，利用二次函数的对称轴得出，再结合基本不等式即可求解. ②通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）依题意可知：和是方程的两根，且抛物线的开口方向向下， ∴且 ∴, ∴, ∴； （2）①由知关于直线对称， 即 又∵， 当且仅当时等号成立. ∴的最大值为 ②由①，可得：， 则在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以. 又若，， 综上实数的取值范围. 13．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）函数，. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)如果函数在区间上只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）结合对称轴与区间关系，求二次函数在闭区间上的最值即得； （2）以二次项系数与判别式为主，结合二次函数的开口方向、对称轴、端点处的函数值符号分类讨论求解即可. 【详解】（1）当时，则， 因为，所以时，； （2）， 当时， ，令，得， 所以函数在上有一个零点, 故时成立 当时，令，得方程， 因为函数在区间上只有一个零点， 则, 解得，或（）， ①当, 即，或时. 当时，， 由，解得，满足题意； 当 时,．由，得，. 所以当 时, 均恰有一个零点在上 ②当, 即，或，或时， 当时，二次函数图象开口向下， 对称轴，由，则， 故在单调递增，在单调递减； 又，又，即， 故此时函数在有两个零点，不满足题意； 当时，二次函数图象开口向下， 对称轴，由，则，故在单调递增， 又， 由零点存在性定理可知， 此时函数在有且仅有一个零点，满足题意； 当时，二次函数图象开口向上，对称轴， 若， 则，故在单调递增； 又，且图象开口向上， 则在至少有一个零点，在至少有一个零点. 由二次函数至多两个零点， 故函数在有且仅有一个零点，此时满足题意； 若，则，由， 解得，所以函数在有两个零点，不合题意； 若，二次函数图象开口向上， 对称轴，由，则， 故在单调递减，在单调递增； 又，又，即， 所以函数在与各有一个零点，即在有两个零点，不合题意； 综上所述，函数在区间上存在零点，实数的取值范围是或. 15．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知一次函数和二次函数的图像都过点和，且. (1)求和的解析式； (2)设关于的不等式的解集为. ①若，求实数的取值范围； ②是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)① ；②存在； 【分析】（1）利用待定系数法可求函数解析式； （2）① 就的不同取值分类讨论后结合判别式的正负可求其范围；②就二次项系数是否为零分类讨论后可求参数的值. 【详解】（1）设，由得，所以； 由题意设 由 得； 又因为，所以，得； 所以，所以； （2）①原不等式化为恒成立. （ⅰ）当时，解得，或， 当时，不等式化为，时，解集为； 当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立； （ⅱ）当时，则； 综上所述，实数k的取值范围为． ②根据题意，得出解集，， 当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件的的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$