3.2.2基本不等式的应用同步练- 2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 该同步练习聚焦基本不等式应用，通过基础巩固、情境应用、综合提升三层设计，实现从公式直接应用到复杂实际问题解决的进阶，培养数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一公式应用|如第1题“1”的代换、第2题最值求解，强化公式记忆与直接应用| |中档层|实际情境应用|如第3题运费租金优化、第8题年平均利润，构建数学模型解决生活问题| |提升层|综合问题解决|如第13题多选题、第15题八边形造价，融合参数范围与复杂推理，发展逻辑思维|

3.2.2　基本不等式的应用 1.已知a＞0，b＞0，2a＋b＝1，则＋的最小值是（　　） A.2　 B.3－2　 C.3＋2　 D.3＋ 2.若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，则ab的最大值为（　　） A.25 B. C. D. 3.文具店的某种商品的年进货量为1 000件，分若干次进货，每次进货量相同，且所需运费为10元，运来的货物需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为（　　） A.20件 B.500件 C.100件 D.250件 4. （2026·浙江学业考试）已知，且，则的最小值为（　　） A.3 B.4 C.6 D.9 5.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次均加200元的燃油，则下列说法正确的是（　　） A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 6.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为（　　） A. B.3 C. D. 7.为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：min）的变化关系为C＝，则经过　　　　min后室内消毒液浓度达到最大. 8.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N*），则当每台机器运转　　　　年时，年平均利润最大，最大值是　　　　万元. 9.∃x＞0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是　　　　. 10.为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB＝x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：平方米）. （1）将S表示为x的函数，并写出x的取值范围； （2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值. 11.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　） A.30件　B.60件　C.80件　D.100件 12.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，其中p，q（p≠q）为正百分数，则提价幅度较大的一种是（　　） A.先提价p，后提价q（p≠q） B.先提价q，后提价p（p≠q） C.分两次提价（p≠q） D.分两次提价（p≠q） 13.（多选）（2024·扬州月考）已知正数m，n满足m＋n2＝2，则下列说法正确的是（　　） A.m＋3n的最大值为 B.mn2的最大值为2 C.＋的最小值为2 D.m2＋n4的最小值为2 14.（2025秋·长沙校级期中）为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯．根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力、安保等常规管理支出为3万元，使用x年时，电梯保养的总维护费用为万元． （1）设电梯的年平均使用费用为y万元，求y关于x的表达式（注：年平均使用费用=，单位：万元/年）； （2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？ 15.如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400 m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为1 000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/m2；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元/m2.设AD长为x（单位：m）. （1）用x表示AM的长度，并求x的取值范围； （2）当AD的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 3.2.2　基本不等式的应用 1.C　＋＝（2a＋b）（＋）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立.∴＋的最小值是3＋2.故选C. 2.D　因为a＞0，b＞0，a＋2b＝5，所以ab＝a·2b≤×（）2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故ab的最大值为. 3.C　设每次进货量为x件，一年的运费和租金总费用为y元.由题意，得y＝10·＋2·＝＋x≥2＝200，当且仅当x＝100时取等号.故为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为100件. 4.A　，且，，（当且仅当时取“”），即的最小值为3. 故选：A. 5.B　假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算. 6.B　由题意知，p＝×（3＋5）＝4，则S＝＝＝2≤2×＝8－（b＋c）＝3，当且仅当4－b＝4－c，即b＝c时，等号成立.∴此三角形面积的最大值为3.故选B. 7.5　解析：由题意可得t＞0，C＝＝≤＝2，当且仅当t＝，即t＝5时取等号. 8.5　8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－（x＋），且x∈N*，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，等号成立.所以当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元. 9.[2，＋∞）　解析：∃x＞0，使得＋x－a≤0，等价于x＞0时a≥，∵x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥2. 10.解：（1）因为AB＝x，所以AD＝，EF＝x－2，FG＝－1， 所以S＝（x－2）（－1）＝102－－x， 因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20， 所以S＝102－－x，5≤x≤20. （2）S＝102－－x≤102－2＝102－20， 当且仅当x＝10时，等号成立，经验证，符合题意. 故当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为（102－20）平方米. 11.B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝30，当且仅当＝，即x＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B. 12.D　设提价前的价格为1，由题意可知，A、B选项的两次提价后的价格均为（1＋p）（1＋q），C选项的提价后的价格为（1＋）2，D选项的提价后的价格为（1＋）2，又∵＜，∴（1＋p）（1＋q）＜（1＋）2＜（1＋）2，∴提价幅度较大的为D选项. 13.CD　∵m＝2－n2＞0，∴0＜n＜，∴m＋3n＝2－n2＋3n＝－（n－）2＋，则m＋3n＜，故A错误；依题意，mn2≤＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B错误；∵＋＝（m＋n2）（＋）＝（2＋＋）≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故C正确；∵≥（）2＝1，∴m2＋n4≥2，当且仅当m＝n＝1时等号成立.故D正确.故选C、D. 14.解：（1）由题意，电梯安装费用是25万元，使用x年时，电梯的保养修费用为万元，管理支出为3x万元，故总费用为元， 所以y关于x的表达式为（）． （2）． 当且仅当，即x=15时等号成立． 则这部电梯使用15年后，年平均使用费用最少． 15.解：（1）由题意可得，矩形AMQD的面积为，因此AM＝， 因为AM＞0，所以0＜x＜20. （2）设总造价为y元，由题意可得，y＝1 000x2＋400×（400－x2）＋200×4××（）2＝100（＋）＋140 000， 由基本不等式得y≥100×2＋140 000＝240 000， 当且仅当＝，即x＝4时，等号成立， 所以当x＝4时，总造价y最小，最小值为240 000元. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $