3.2.2基本不等式的应用练习-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

3.2.2　基本不等式的应用 一、选择题 1.若正实数a,b满足a+b=1,则+ 的最小值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.6 B.8 C.9 D.10 2.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为 (　 ) A.9 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 3.已知x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值是 (　 ) A.9 B.8 C.7 D.10 4.若实数x>0,y>0,且x+4y=xy,则x+y的最小值为 (　 ) A.7 B.8 C.9 D.10 5.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,设第二年和第三年的平均增长率为x,则 (　 ) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 6.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 (　 ) A.80元 B.160元 C.180元 D.240元 7.设0<m<,若+≥k恒成立,则k的最大值为 (　 ) A.4 B.2 C.8 D.1 8.(多选题)若a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 (　 ) A.a2+1>a B.≥4 C.(a+b)≥4 D.a2+9>6a 9.(多选题)[2024·深圳外国语学校高一月考] 如图,某小区拟建造一个矩形绿地,如果在AB的中点M正北方向25米处立起一根旗杆E,在BC的中点N正东方向40米处立起一根旗杆F,且E,B,F三点在同一条直线上,那么该矩形绿地的周长可能为 (　 ) A.40米 B.60米 C.80米 D.90米 二、填空题 10.已知+=2(x>0,y>0),则xy的最小值是　　　　.  11.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为　　　　.  12.某公司欲购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转的时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转　　　　年时,年平均利润最大,最大是　　　　万元.  三、解答题 13.(1)已知x>1,求y=4x+的最小值. (2)若a,b均为正实数,且满足a+2b=1,求+的最小值. 14.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示),大棚的总占地面积为S平方米,其中a∶b=1∶2. (1)试用x,y表示S; (2)若要使S的值最大,则x,y的值各为多少? 15.设x,y均为正数,且xy+x-y-10=0,则x+y的最小值是　　　　.  16.[2024·河北唐山高一期中] 某玩偶生产公司为加大生产,计划租地建造临时仓库储存货物.若设仓库到车站的距离为x(单位:千米),经过市场调查了解到:每月土地占地费y1(单位:万元)与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与3x+1成正比;若在距离车站5千米处建仓库,则y1与y2分别为8万元和16万元,记两项费用之和为ω. (1)求ω关于x的解析式; (2)该公司把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小?并求出最小值. 3.2.2　基本不等式的应用 1.C　[解析] +=(a+b)=4+++1≥5+2 =9,当且仅当= ,即a=2b时,等号成立,所以+的最小值是9.故选C. 2.C　[解析] 设矩形模型一条边的长为x cm,相邻边的长为y cm,则x>0,y>0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4.设矩形模型的面积为S cm2,则S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时等号成立,故选C. 3.A　[解析] 根据题意,x>0,y>0,且+=1,则x+2y=(x+2y)=5++≥5+2=5+4=9,当且仅当x=y=3时,等号成立,故x+2y的最小值是9.故选A. 4.C　[解析] 因为实数x>0,y>0,x+4y=xy,所以+=1,则x+y=(x+y)=++5≥2+5=9,当且仅当x=2y时等号成立,即x+y的最小值为9,故选C. 5.B　[解析] 依题意有A(1+x)2=A(1+a)(1+b),所以1+x=≤[(1+a)+(1+b)]=1+(当且仅当a=b时等号成立),则x≤.故选B. 6.B　[解析] 设底面矩形的一边长为x m,由容器的容积为4 m3,高为1 m,得另一边长为 m.记容器的总造价为y元,则y=4×20+2×1×10=80+20≥80+20×2=160,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.因此当x=2时,y取得最小值160,即该容器的最低总造价为160元. 7.C　[解析] 由题可知k的最大值即为+的最小值.又+=[2m+(1-2m)]=4+2≥8,当且仅当2m=1-2m,即m=时取等号.故选C. 8.ABC　[解析] 对于A,根据基本不等式可知a>0时,a2+1≥2a>a,当且仅当a=1时等号成立,所以a2+1>a,故A恒成立;对于B,当a>0,b>0时,a+≥2=2,当且仅当a=1时等号成立,b+≥2=2,当且仅当b=1时等号成立,所以≥4,当且仅当a=b=1时等号成立,故B恒成立;对于C,(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b时等号成立,故C恒成立;对于D,当a=3时,a2+9=6a,故D不恒成立.故选ABC. 9.CD　[解析] 如图,设矩形ABCD的中心为O.设MB=x米,BN=y米,由题意知△EMB∽△BNF,则=,又EM=25米,NF=40米,所以=,化简得xy=1000.设矩形绿地的周长为l米,则l=2(2x+2y)≥2×2=8×10=80,当且仅当x=y=10时取等号.结合选项知,该矩形绿地的周长可能为80米,90米.故选CD. 10.15　[解析] 因为x>0,y>0,+=2,所以2=+≥2=2,所以xy≥15,当且仅当=且+=2,即x=5,y=3时取等号. 11.9　[解析] =1+4x2y2++4=5+4x2y2+≥5+2=9,当且仅当4x2y2=,即xy=±时,等号成立.故所求最小值为9. 12.5　8　[解析] 每台机器运转x年的年平均利润为=18-,且x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大为8万元. 13.解:(1) 因为x>1,所以x-1>0,所以y=4(x-1)++4≥2+4=4+4=8, 当且仅当4(x-1)=,即x=时,等号成立, 所以y=4x+的最小值为8. (2) 因为a,b均为正实数,a+2b=1, 所以a+1>0,b>0,(a+1)+2b=2, 则+=+=[(a+1)+2b]=≥=3+2,当且仅当=,即a=3-2,b=-1时,等号成立,所以+的最小值为3+2. 14.解:(1)由题意可得xy=1800,b=2a,则y=a+b+3=3a+3,所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)·=1808-3x-y(x>3,y>3). (2)S=1808-3x-×=1808-≤1808-2=1808-240=1568,当且仅当3x=,即x=40时等号成立,S取得最大值,此时y==45,所以当x=40,y=45时,S取得最大值. 15.6　[解析] 由xy+x-y-10=0,得x==+1,∵x>0,y>0,∴x+y=+1+y≥2=6,当且仅当=1+y,即y=2时,等号成立. 16.解:(1)因为每月土地占地费y1(单位:万元)与x+1成反比,所以设y1=. 因为每月库存货物费y2(单位:万元)与3x+1成正比,所以设y2=k2(3x+1). 因为在距离车站5千米处建仓库时,y1与y2分别为8万元和16万元,所以=8,可得k1=48,(3×5+1)k2=16,可得k2=1,所以y1=,y2=3x+1, 故ω=y1+y2=+3x+1(x>0). (2)ω=+3x+1=+3(x+1)-2≥2-2=22,当且仅当=3(x+1),即x=3时等号成立, 所以该公司把仓库建在距离车站3千米处,才能使两项费用之和最小,最小值为22万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$