2026年云南中考数学复习二次函数区间最值问题

专题一 二次函数区间最值问题 1． 例题赏析 1. （昆明市2026年4月市统测第26题）已知关于的二次函数为常数． 当时，求二次函数图象的对称轴； 当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】直线  的值为或  【解析】解：当时，， 二次函数图象的对称轴为直线； 二次函数为常数的对称轴为直线， 若对称轴在区间左侧时， 则，即， 此时，当时，有最小值为 当时， 有最大值为 ， ， 即， 舍去； 若对称轴在区间右侧时， 则，即， 此时，当时，有最大值为 当时，有最小值为 ， ， 即， 舍去； 若对称轴在区间内且靠近区间左端点时， 则，即， 此时，当时，有最大值为 当时，有最小值为， ， 即 即， 舍去，符合； 若对称轴在区间内且靠近区间右端点时， 则，即． 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， ，即， 解得， 舍去，符合； 综上所述，的值为或． 2． 解题技巧 解决含参二次函数问题应注重分类讨论及数形结合（画草图）. 3． 专题讲解 类型一 定轴定区间 例1 在下列区间内求二次函数的最值． 全体实数． ． ． ． 【答案】(1)y=+2x-3=-4,抛物线对称轴为直线x=-. 当x>-1时,y随x的增大而增大,当x<-1时,y随x的增大而减小. 在全体实数范围内,当x=-1时,函数有最小值-4,没有最大值. (2)在-4x-2的范围内,当x=-2时,函数有最小值-3;当x=-4时,函数有最大值.  (3)在-3x0的范围内,当x=-1时,函数有最小值-4;当x=-3时,函数有最大值.  (4)在1x3的范围内,当x=1时,函数有最小值0;当x=3时,函数有最大值.  类型二 动轴定区间 例2 若−1≤x≤1,求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)当时，最小值：4-2a，最大值4+2a (2)当时，最小值：，最大值4+2a (3)当时，最小值：，最大值4-2a (4)当时，最小值：4+2a，最大值4-2a 类型三 定轴动区间 例3 已知二次函数． 求二次函数的顶点坐标和对称轴； 当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ 当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1)解：∵， ∴对称轴为，顶点坐标为． (2)解：∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为． (3)解：当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内， ∴， I当时，在时， ， ， 即， 解得：，（不合题意，舍去）； II当时，在时，， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴， 即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或． 类型四 动轴动区间 例4. 已知关于的二次函数为常数． 当时，求二次函数图象的对称轴； 当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】直线  的值为或  【解析】解：当时，， 二次函数图象的对称轴为直线； 二次函数为常数的对称轴为直线， 若对称轴在区间左侧时， 则，即， 此时，当时，有最小值为 当时， 有最大值为 ， ， 即， 舍去； 若对称轴在区间右侧时， 则，即， 此时，当时，有最大值为 当时，有最小值为 ， ， 即， 舍去； 若对称轴在区间内且靠近区间左端点时， 则，即， 此时，当时，有最大值为 当时，有最小值为， ， 即 即， 舍去，符合； 若对称轴在区间内且靠近区间右端点时， 则，即． 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， ，即， 解得， 舍去，符合； 综上所述，的值为或． 4． 题目训练 1.已知二次函数在时有最小值，则整数的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，函数最小值为， 当，即时，时取最小值， ，即无解， 当时，时取最小值， ， 解得或， 整数的值为或， 故选：． 由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得函数最小值及对称轴，分两种情况讨论得到关于的方程解方程即可求解． 2.已知二次函数为常数，当时，函数值的最小值为，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据的最小值为，结合二次函数的性质求解可得． 【解答】 解：， 若，当时，， 解得：； 若，当时，， 解得：舍； 若，当时，， 解得：或舍， 的值为或， 故选：． 3.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而增大， ， 解得：． 故答案为：． 根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解． 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 4.已知二次函数在时有最小值，则_________________． 【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的最值以及分类讨论的思想． 分和两种情况讨论即可． 【解答】 解：由题意可知： 二次函数的对称轴为， 当时，时，函数取得最大值，在时，当时，取得最小值， ， ； 当时，当时，函数取得最小值， ， ， 综上，的值为或， 故答案为或． 5. 已知二次函数为常数． 若二次函数的图象经过点，求函数的表达式． 在的条件下，当时，求函数的最大值和最小值； 若二次函数在时有最大值，求的值． 【答案】【小问详解】 解：把代入得， 解得： 二次函数解析式为：； 【小问详解】 ， 对称轴为， ， 在抛物线对称轴的右侧，且随的增大而增大， 当时，最小值为：； 当时，最大值为：； 函数的最大值为，最小值为； 【小问详解】 将二次函数化为顶点式得： 二次函数在时有最大值， 当时，开口向上， 当时，有最大值，最大值为， ， ， 当时，开口向下 当时，有最大值，最大值为， ， ， 综上，或．   6.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点点是抛物线上的任意一点，且不与点重合，直线经过，两点． 求抛物线的顶点坐标用含的式子表示； 当，时，函数的最大值记为，函数的最小值记为，当时，直接写出的值 ______； 若对于时，总有，求的取值范围． 【答案】；    或；       【解析】，  抛物线的顶点坐标为；  由题意得抛物线解析式为，  由可知，抛物线的对称轴为直线，  抛物线的图象开口向上，  时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，  当时，即，  则，  ，  即，，  ，即，  ；  当时，即，  则，  ，  即，，  ，即，  ；  当时，即，  则，，  或，  即，或，，  ，即或，  ，或，，  ，  此时，没有符合题意的值；  综上，的值为或；  故答案为：或；  对于抛物线，  令，则，  ，  点在直线上，  ，  直线的解析式为，  联立整理得，，  ，  ，  点是抛物线上的任意一点，且不与点重合，  ，  ，  对于时，总有，  ，总有，  ，总有，  ，  ． 由可得抛物线的顶点坐标；  由题意得抛物线解析式为，由可知，抛物线的对称轴为直线，分，，三种情况讨论，利用二次函数的性质结合，即可解答；  将代入得，则，过，两点的直线解析式为，联立，则，求出，根据时，总有，进而可得的取值范围． 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7.阅读下面材料： 对于二次函数，当时，二次函数在何处取得最值？对此，我们可做如下探究：当时，观察图到图： 由图可知，当时取最小值，当时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小； 由图、图可知，当时取最小值，点离对称轴越近，函数值越小； 由图可知，当时取最小值，当时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小． 结论：当抛物线开口向上时，抛物线上的点，离对称轴越近，其对应的函数值越小； 若对称轴在自变量的取值范围内，则二次函数在时取最小值； 若对称轴不在自变量的取值范围内，则二次函数在离对称轴最近的点处取得最小值． 请结合以上结论，解决下列问题： 已知二次函数，当时，此时函数的最大值和最小值； 已知二次函数在的范围内有最小值，求出的值； 二次函数，当时，，求出此时的，的值． 【答案】解：， 对称轴为，且 当时，函数取最小值， 而，，且， 当时，函数取最大值； 当，即时， 有最小值，且已知最小值是， ， 解得：大于，舍去，， ， 当，即时， 有最小值，且最小值是， ，解得， 此时无解， 当时， 有最小值，最小值是， ， 解得或小于，舍去， ， 综上所述，二次函数在的范围内有最小值，则或； 当时， ， ，两式相减并化简得：有， 解得：或大于，舍去， 时，大于，舍去 此时无解， 当时， 若，而，此时取最小值，取最大值， ，解得  ，舍去， 若，同理取最小值，取最大值， ，解得两个都不合题意舍去 当时，取最小值，取最大值， ，  解得或或或均不合题意舍去， 综上所述，二次函数，当时，，无解．  【解析】求出对称轴，在内，即可得出时的值是最小值，，，故时，函数值为最大值； 分三种情况讨论：、、，分别由最小值是列方程求出即可； 分三种情况：、、，其中第二种又可分和两种情况，分别列方程组求解即可． 本题考查二次函数的最大、最小值，解题的关键是读懂材料，根据材料进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 二次函数区间最值问题 1． 例题赏析 1. （昆明市2026年4月市统测第26题）已知关于的二次函数为常数． 当时，求二次函数图象的对称轴； 当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 2． 解题技巧 解决含参二次函数问题应注重 及 . 3． 专题讲解 类型一 定轴定区间 例1 在下列区间内求二次函数的最值． 全体实数．．．． 类型二 动轴定区间 例2 若−1≤x≤1,求函数的最大值和最小值. 类型三 定轴动区间 例3 已知二次函数． 求二次函数的顶点坐标和对称轴； 当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ 当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 类型四 动轴动区间 例4. 已知关于的二次函数为常数． 当时，求二次函数图象的对称轴； 当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 4． 题目训练 1.已知二次函数在时有最小值，则整数的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.已知二次函数为常数，当时，函数值的最小值为，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 4.已知二次函数在时有最小值，则_________________． 5. 已知二次函数为常数． 若二次函数的图象经过点，求函数的表达式． 在的条件下，当时，求函数的最大值和最小值； 若二次函数在时有最大值，求的值． 6.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点点是抛物线上的任意一点，且不与点重合，直线经过，两点． 求抛物线的顶点坐标用含的式子表示； 当，时，函数的最大值记为，函数的最小值记为，当时，直接写出的值 ______； 若对于时，总有，求的取值范围． 7.阅读下面材料： 对于二次函数，当时，二次函数在何处取得最值？对此，我们可做如下探究：当时，观察图到图： 由图可知，当时取最小值，当时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小； 由图、图可知，当时取最小值，点离对称轴越近，函数值越小； 由图可知，当时取最小值，当时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小． 结论：当抛物线开口向上时，抛物线上的点，离对称轴越近，其对应的函数值越小； 若对称轴在自变量的取值范围内，则二次函数在时取最小值； 若对称轴不在自变量的取值范围内，则二次函数在离对称轴最近的点处取得最小值． 请结合以上结论，解决下列问题： 已知二次函数，当时，此时函数的最大值和最小值； 已知二次函数在的范围内有最小值，求出的值； 二次函数，当时，，求出此时的，的值． 学科网（北京）股份有限公司 $