专题03 二次函数图象与角度（举一反三专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“等角构造-特殊角转化-角的运算”为主线，系统整合二次函数角度问题的9类核心题型，通过“知识点+典例+变式”实现方法迁移与逻辑建构。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等角构等腰|1例+3变式|构造等腰三角形转化角度关系|从基础等角构造切入，建立形与数的关联| |等角构全等|1例+3变式|利用全等性质转移角度条件|深化几何变换在函数中的应用| |二次函数与倍角|1例+3变式|加倍/减半构造辅助线（翻折/延长）|拓展角度运算的代数化路径| |特殊角(45°/60°/135°/15°)|4例+12变式|特殊角三角函数/构造含特殊角的直角三角形|聚焦高频考点，强化模型意识| |角的和差倍分|1例+3变式|角度关系转化为线段关系|提升综合推理与数学表达能力|

专题03 二次函数图象与角度（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数中等角构等腰】 1 【题型2 二次函数中等角构全等】 3 【题型3 二次函数与倍角】 5 【题型4 二次函数与45°角】 7 【题型5 二次函数与直角】 9 【题型6 二次函数与角的和差倍分】 11 【题型7 二次函数与60°角】 12 【题型8 二次函数与135°角】 14 【题型9 二次函数与15°角】 15 知识点1 等角构等腰 类型 等角构等腰 图示 条件 ，作BD∥PC交CA的延长线于点D 结论 【题型1 二次函数中等角构等腰】 【例1】（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 【变式1-1】（24-25九年级下·安徽淮南·期中）已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． （1）___________． （2）在轴上有一点，则点的坐标为___________． 【变式1-2】（2026九年级下·福建泉州·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 知识点2 等角构全等 类型 等角构全等 图示 条件 ， BC平分，CD∥x轴， 结论 【题型2 二次函数中等角构全等】 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标． 【变式2-1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 【变式2-2】抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点 C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点 D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标； (3)点 M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点 P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，使得与的面积相等，求线段长度的最小值，并写出此时Q点坐标． 知识点3 二倍角（一题多法） 类型 二倍角加倍 图示 条件 解题思路 翻折得PB∥AD 类型 二倍角减半 图示 条件 解题思路 延长PB交x轴于点D 类型 二倍角减半 图示 条件 解题思路 作作轴，交BP的延长线于点D，于点H 【题型3 二次函数与倍角】 【例3】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 【变式3-1】（24-25九年级下·福建莆田·开学考试）抛物线与x轴交于点A，（点A在点 B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P是上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线交线段于点Q，连接，求线段的长度最大值． (3)在（2）的条件下，在y轴的正半轴上有一点D，且，过点P的直线与抛物线交于点E(点E在点P右侧)，且，连接，点F是y轴上一点，若，求点F的坐标 【变式3-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线AC上方抛物线上一动点，当时，点的坐标为______; (3)如图②，若是线段OA的上一个动点，过点作直线EF垂直于轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点的横坐标为．当为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； (4)在（2）条件下，点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2，若动点在直线上，动点在x轴上，连接，请直接写出的最小值． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 知识点4 特殊角 类型 特殊角 图示 条件 解题思路 构等腰，得点Q坐标直线AQ解析式点P坐标 【题型4 二次函数与45°角】 【例4】（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数． (1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点． ①求该二次函数表达式； ②当时，求点的坐标； (2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【变式4-1】（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 【变式4-3】（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型5 二次函数与直角】 【例5】如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接． (1)求、、三点的坐标； (2)若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 【变式5-1】已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， (1)求此抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 【变式5-2】（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【变式5-3】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【题型6 二次函数与角的和差倍分】 【例6】（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【变式6-1】如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【变式6-3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【题型7 二次函数与60°角】 【例7】如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点. (1)求点A，B，C的坐标； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标. 【变式7-3】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为___________． 【题型8 二次函数与135°角】 【例8】如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求a，b的值； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【变式8-2】函数y＝，其中a是常数且a≠0，该函数的图象记为G． (1)图象G经过3个定点，分别为 　 　，　 　，　 　； (2)图象G与直线y＝a有2个交点时，结合函数图象，求a的值； (3)图象G与直线x＝2和直线x＝﹣2分别相交于点P，Q，当∠POQ＝135°时，直接写出a的值． 【变式8-3】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为下方抛物线一动点，直线上有点、满足点在点的左侧且，当最大时，求此时点的坐标与的最小值． (3)将抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线找一点使，求符合条件的所有的坐标，并写出至少一个求解的坐标的过程． 【题型9 二次函数与15°角】 【例9】如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    【变式9-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线． （1）如图1，当时，点，的坐标分别为，，过点，分别作轴的垂线，交抛物线于，，，四点，连接，，则___________； （2）如图2，过点作轴的垂线，分别交抛物线于点，，，，与对称轴交于点，连接，，已知点的横坐标为，且，则该抛物线的表达式为___________． 【变式9-2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 【变式9-3】（2026·广东清远·二模）已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于，交抛物线于点． (1)求二次函数解析式． (2)若点在线段上运动（不与，重合），求四边形面积的最大值，并求此时点坐标． (3)设点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数图象与角度（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数中等角构等腰】 1 【题型2 二次函数中等角构全等】 11 【题型3 二次函数与倍角】 22 【题型4 二次函数与45°角】 33 【题型5 二次函数与直角】 42 【题型6 二次函数与角的和差倍分】 51 【题型7 二次函数与60°角】 58 【题型8 二次函数与135°角】 70 【题型9 二次函数与15°角】 81 知识点1 等角构等腰 类型 等角构等腰 图示 条件 ，作BD∥PC交CA的延长线于点D 结论 【题型1 二次函数中等角构等腰】 【例1】（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②时为锐角三角形 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）①连接，交于，根据二次函数解析式求出，进而求出，根据平分，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立直线与二次函数的解析式求出点坐标即可； ②设的中点为，连接，当时，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用两点间距离公式列方程求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将、代入， ∴， 解得：， ∴． （2）解：①如图，连接，交于， 由（1）可知，， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∵，， ∴，， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴，即为的中点， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． ②设的中点为，连接， ∵，， ∴， ∵点C的横坐标为， ∴， 当时，， ∴， 解得：或， ∴时，为锐角三角形． 【变式1-1】（24-25九年级下·安徽淮南·期中）已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． （1）___________． （2）在轴上有一点，则点的坐标为___________． 【答案】 90 或 【分析】（1）先用待定系数法求出抛物线解析式，得出点D的坐标，用勾股定理逆定理判断为直角三角形即可求解； （2）分①当点在的上方时和②当点在的下方时两种情况求解即可． 【详解】点，点都在抛物线上， 抛物线的解析式为． 令，则， 或， ， ． ， ． 如图1，过点作于点，过点作于点，于点，则， ． ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ． （2）如图2，①当点在的上方时，设与交于点， 由（1）知， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 设直线的解析式为， 直线的解析式为． 令，则， ； ②如图3，当点在的下方时， ， ． 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为． 设直线的解析式为， 则， ， 直线的解析式为． 令，则， ． 综上，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，的图象与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，求一次函数解析式，，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【变式1-2】（2026九年级下·福建泉州·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 知识点2 等角构全等 类型 等角构全等 图示 条件 ， BC平分，CD∥x轴， 结论 【题型2 二次函数中等角构全等】 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，二次函数的应用——角度问题，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）设与轴交于点，过点作于点，由角平分线性质可得，，证明，所以，在中，，则，从而求得，再求出直线解析式为，再根据当时，，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴． 【变式2-1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，根据四边形的面积为，即可求解； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 过点D作轴交直线于点E，如图1， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴ ∴四边形的面积为 （3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下： 如图2， ①取点关于对称轴的对称点，连接，， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意； ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为1． 设与平行的直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 【变式2-2】抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点 C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点 D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标； (3)点 M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点 P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，使得与的面积相等，求线段长度的最小值，并写出此时Q点坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值为1，或 【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可． （2）取点，先证明，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，解答即可． （3）确定直线的解析式为：，设，则，，则，，设，则点Q到直线的距离为，利用三角形面积相等，构造二次函数求值计算即可． 【详解】（1）解：把，点分别代入解析式，得 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：取点，作直线交抛物线于点Ｄ， ∵抛物线， ∴， ∵，点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时，， 故． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则，， ∴，，， 设， 则点Q到直线的距离为， ∵与的面积相等，， ∴ 解得； 故点Q到直线的距离为1； ∴， ∴或， 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时的值最小为1； 此时，，Q点坐标． 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时的值最小为1； 此时，，Q点坐标． 综上所述：线段长度的最小值为1，或 知识点3 二倍角（一题多法） 类型 二倍角加倍 图示 条件 解题思路 翻折得PB∥AD 类型 二倍角减半 图示 条件 解题思路 延长PB交x轴于点D 类型 二倍角减半 图示 条件 解题思路 作作轴，交BP的延长线于点D，于点H 【题型3 二次函数与倍角】 【例3】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案； （2）求出抛物线的对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而减小，即可得出答案； （3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y的值最大，为 即当时，二次函数的最大值为； （3）解：由已知可得二次函数解析式为：， 则点，点，， 当点在轴下方的抛物线上时，在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当点在轴上方的抛物线上时，延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点， 设交抛物线于点， 轴，， ， 同理可得，直线的解析式为：， 综上所述直线的解析式为：和． 【变式3-1】（24-25九年级下·福建莆田·开学考试）抛物线与x轴交于点A，（点A在点 B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P是上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线交线段于点Q，连接，求线段的长度最大值． (3)在（2）的条件下，在y轴的正半轴上有一点D，且，过点P的直线与抛物线交于点E(点E在点P右侧)，且，连接，点F是y轴上一点，若，求点F的坐标 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，求一次函数关系式和平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据点和求出点的坐标为，把点的坐标代入，求出的值即可得出二次函数解析式； （2）求出直线的解析式为，设,得，求出，运用二次函数的性质可得的最大值为4； （3）过点P作轴于点，得出，可得点关于对称点在上，可求出直线的解析式为，联立抛物线的解析式求出点的坐标，设，根据列方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵和，且点A在点 B左侧， ∴点的坐标为， 把点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 设 ，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴有最大值， 当时，的最大值为4； （3）解：当的最大值为4时，， ∵，， ∴点在轴上，且， 过点作轴于点， ∴ ∴， 又， ∴， ∴点关于对称的点在直线上， ∵, ∴点关于对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为, 联立方程组， 解得或， ∴点的坐标为， 设，则, ， ∵， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 【变式3-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线AC上方抛物线上一动点，当时，点的坐标为______; (3)如图②，若是线段OA的上一个动点，过点作直线EF垂直于轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点的横坐标为．当为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； (4)在（2）条件下，点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2，若动点在直线上，动点在x轴上，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)当时，线段有最大值为4 (4) 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； （4）根据题意确定，将点D向下平移四个单位长度到点H，得，连接交x轴于点Q，过点Q作轴，连接，过点N作的延长线于点E，利用平行四边形的性质得出 ，，确定点H、Q、N三点共线，此时取得最小值，即取得最小值，然后由各点的坐标结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； （3）由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； （4）∵点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2， ∴当时，， ∴， 由（2）得的坐标为， 将点D向下平移四个单位长度到点H， ∴， 连接交x轴于点Q，过点Q作轴，连接，过点N作的延长线于点E，如图所示： ∵在直线上，动点在x轴上， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴点H、Q、N三点共线，此时取得最小值，即取得最小值， ∵，， ∴， ∴， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、最短路程等，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握运用这些知识点． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴，则 ∴ ②∵点在抛物线上 ∴ ∴点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ ，， ∴ 解得：， 所以点的坐标为: 知识点4 特殊角 类型 特殊角 图示 条件 解题思路 构等腰，得点Q坐标直线AQ解析式点P坐标 【题型4 二次函数与45°角】 【例4】（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数． (1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点． ①求该二次函数表达式； ②当时，求点的坐标； (2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】此题考查了一次函数和二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）①由待定系数法即可求出答案；②当时，则直线的表达式为，联立解一元二次方程即可得到答案； （2）由定义可知，求得，当与只有一个交点时，有两个相等的实数根，则，解得，当时，，则当函数过时满足题意，当时，，当函数过时满足题意，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：①由题意可得， ， 解得， ∴该二次函数表达式为； ②当时，， 解得， ∴， 当时，则直线的表达式为， 和抛物线解析式联立得到，或， 解得（舍去）或或， 即点的坐标为或； （2）由定义可知， 由题意可得， ，解得， ∴抛物线解析式为 当与只有一个交点时， 有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时， 当函数过时满足题意， ∴，解得， 当时， 当函数过时满足题意， 则，解得， ∴或 【变式4-1】（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点 或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作于点E，可证明是等腰直角三角形，得到；求出设，则，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点D作于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴ 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D坐标为 (2)m＝或 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后表示出P的坐标为，然后分三种情况：①当点P在x轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可； （3）如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，根据题意得到，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）将点代入抛物线中 得 解得： ∴抛物线解析式为 ∴顶点D坐标为； （2）令 解得， ∴ ∵P的横坐标为且 ∴ ∴将代入 ∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为； ①如右图所示，当点P在x轴上方时， 则，即 此时：， 解得：，符合题意； ②如右图所示，当点P在x轴下方时， 则，即 此时： 解得：，（舍去） ③当点P在x轴上时， 则，即 此时：（或），解得：（舍去） 综上所述，或； （3）存在点P，使，点P的坐标为 理由如下： 如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为，过， ∴直线的解析式为 ∵ ∴设直线的解析式为 将代入得 解得： ∴直线的解析式为 由 解得：，（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式是解题的关键． 【题型5 二次函数与直角】 【例5】如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接． (1)求、、三点的坐标； (2)若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点坐标 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令y=0则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，则可表示出点坐标，从而可用表示的长，再利用二次函数的性质即可求解； （3）由（2）可知点坐标，设点，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，令，则， ， 令，则， 解得：，， ，； （2）设的表达式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，最大， 此时点坐标为； （3）， 抛物线的对称轴为直线， 设，且，， ，，， 为直角三角形， 分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况， 当点为直角顶点时，则有 即， 解得：， 此时点坐标为； 当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：，， 此时点坐标为或， 当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点，三角形的面积，二次函数的性质，勾股定理，方程思想以及分类讨论思想等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 【变式5-1】已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， (1)求此抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)存在点，使锐角三角形的面积等于3； (3)8 【分析】（1）根据抛物线对称轴解析式列式求出，再把点的坐标代入求出，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点的坐标，再求出的长度，然后利用三角形的面积公式求出点到的距离，然后根据是锐角三角形判断点在轴下方，从而确定点的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出横坐标，从而得解； （3）根据点的坐标可得，然后求出，从而写出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标，再利用勾股定理求出、的长度，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可得解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 解得， 点在抛物线上， ， 解得． 所以此抛物线的表达式为； （2）解：存在． 理由如下：令，则， 解得，， 点在点左边， 点的坐标为， ， 设点到的距离为，则， 解得， 是锐角三角形， 点应该在轴的下方， 点的纵坐标为， 代入抛物线解析式得，， 即， 解得，， 又点在对称轴右边的图象上， 点的横坐标为2， 点的坐标为， 此时，过点作轴于点，则，， ，， ，是锐角， 是锐角三角形， 故存在点，使锐角三角形的面积等于3； （3） 解：由（2）得， ， ， 点在直线上， 联立， 解得（舍去），， 点的坐标为， 根据勾股定理，， ， 所以的面积． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴，点在抛物线上，三角形的面积，直角三角形的面积以及直线与抛物线的交点的求解，难度不是很大，先求出抛物线的解析式是解题的关键，数据的巧妙设计也是本题的一大特点． 【变式5-2】（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为，， 【分析】（1）把，代入，再建立方程组解题即可； （2）由抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可； （3）分三种情况讨论：当，为对角线时，当，为对角线时， 当，为对角线时，再利用中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， ， 解得：， ． （2）解：抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设， 则 解得， ∴P点的坐标为或 （3）解：设的横坐标为，则的坐标为 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴， 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴ 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴ 点的坐标为，，． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式5-3】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)，，， 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． （3）解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【题型6 二次函数与角的和差倍分】 【例6】（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； （3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 【变式6-1】如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点坐标分别求出、、的长度；然后通过勾股定理逆定理判断出，得出；由得出；作点关于轴的对称点，连接；即可构造出，从而得出；根据平行线的斜率相同以及点的坐标求出直线的表达式；最后联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则 解得：， ∴， ∴，， 当时， ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，作点关于轴的对称点，连接； 则， ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为： 将代入得： ∴直线的表达式为： 解方程组得：或 ∵点在第三象限 ∴点的坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角三角形两锐角互余等知识点；综合运用上述知识求出直线的函数表达式是解题的关键． 【变式6-2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为4，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，设，然后用的代数式表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式，过点作轴于点，则，那么，设，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 ∴ ∵ 设直线， 则 解得 ∴直线 设 ∵轴， ∴， ∵轴， ∴ 整理得， ∵， ∴当时，取得最大值为， 此时点； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设点的对应点为点，作轴于点，则为等腰直角三角形，， 则由题意得， ∵ ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点， 而抛物线， 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∵ ∴， 过点作轴于点 ∴ ∴ 设，则 ∴或 解得，或（舍去）； 解得，或（舍去） ∴当时，；当时，， 综上：符合条件的点的坐标为或． 【变式6-3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 【题型7 二次函数与60°角】 【例7】如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值为2，的坐标为； (3)存在，或． 【分析】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用了三角形的面积得出关于n的方程，以防遗漏； （1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，根据解方程，可得答案； 【详解】（1）点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）存在． 设点， 如图，过点作于点，连接． ， ， ． ， ． 由的面积，得， 即化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【变式7-1】如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，最小值为， (3) 【分析】（1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案； （2）由（1）可知，求得，作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，利用坐标点的距离公式，得到，即可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到点的坐标，即可求得点Q的坐标． （3）如图，过作于，设，则，可得， ，，而，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：点在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 是抛物线与y轴的交点， ， ； （2）解：存在最小值，理由如下： 由（1）可知，， 点D是抛物线上一点，坐标为， ， ， 作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，    由对称性可知，， ， 当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小， 抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直， ， ，轴， ， ， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ． （3）∵， 如图，过作于，设，则， ∴，    ∵， ∴，， ∴ ， 而， 解得：， ∵在第一象限，则， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点. (1)求点A，B，C的坐标； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标. 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标； （2）由点A，B，C的坐标，利用两点间的距离公式可得出的长度，结合，可得出为直角三角形； （3）设边与y轴交于点M，由的长度及可得出点M的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标． 【详解】（1）当时，， ∴点C的坐标为； 当时，， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）为直角三角形，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）设边与y轴交于点M，如图所示． 在中，， ∴ ∴ ∴， ∴点M的坐标为或． 当点M的坐标为时，设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立直线和抛物线的解析式成方程组，得： ， 解得：，（舍去）， ∴点P的坐标为； 同理，当点M的坐标为时，直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式成方程组，得： ， 解得：，（舍去）， ∴点P的坐标为． 综上所述：点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B，C的坐标；（2）由点A，B，C的坐标，找出；（3）通过解直角三角形及待定系数法求一次函数解析式，求出直线的解析式． 【变式7-3】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得的坐标是解题的关键． 根据平移的性质求得交点Q的坐标，得到解析式，代入C求得Q的坐标， 过作交于，利用为等边三角形，则，构建方程求解即可． 【详解】如图，过作交于， 根据题意， 抛物线，代入得， 若，由图易知为等边三角形， ，即， 则，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 【题型8 二次函数与135°角】 【例8】如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 【变式8-1】（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求a，b的值； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)，； (2)当时，的最大值为4，此时 (3) 【分析】本题考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键． （1）将代入中得到二元一次方程组求解即可； （2）由（1）可知抛物线的解析式为，得直线的解析式为，设，则，故，再根据二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的抛物线解析式为，再证明为等腰直角三角形，由得，过作，交移动后的抛物线于．当时，，即． 【详解】（1）解：将代入中， ， ，； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为4，此时； （3）解：设抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线平移后经过原点， ， 解得：或（舍）， ∴平移后的抛物线解析式为， ， ， ，令，则或1， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 过作，交移动后的抛物线于， 当时，， ． 【变式8-2】函数y＝，其中a是常数且a≠0，该函数的图象记为G． (1)图象G经过3个定点，分别为 　 　，　 　，　 　； (2)图象G与直线y＝a有2个交点时，结合函数图象，求a的值； (3)图象G与直线x＝2和直线x＝﹣2分别相交于点P，Q，当∠POQ＝135°时，直接写出a的值． 【答案】(1)，，． (2)或． (3)． 【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线经过定点，根据抛物线的对称性求解． （2）求出函数在及时抛物线顶点坐标，分类讨论与两种情况求解． （3）过点作延长线于点，作轴交轴于点，于点，由可得为等腰直角三角形，用含代数式求出所在直线解析式，求出点坐标，进而求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线的对称轴为直线， 把代入得， 抛物线经过定点， 由抛物线对称性可得抛物线经过定点， 当时，同理可得抛物线经过定点， 故答案为：，，． （2）函数顶点坐标为， 函数顶点坐标为， 时，如图，顶点在直线上满足题意， 令， 解得． 当时，如图，顶点落在直线满足题意， 令， 解答． 综上所述，或时，图象与直线有2个交点． （3）由（2）得点坐标为，点坐标为， 时，如图，过点作延长线于点，作轴交轴于点，于点， ， ， 为等腰直角三角形，从而可得， 设，则， ， 解得， 点坐标为，， 设所在直线为，将代入解析式得， 解得， ， 把，代入得， 解得（舍，． 当时，如图，同理可得． 综上所述，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握全等三角形的判定及性质，根据数形结合求解． 【变式8-3】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为下方抛物线一动点，直线上有点、满足点在点的左侧且，当最大时，求此时点的坐标与的最小值． (3)将抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线找一点使，求符合条件的所有的坐标，并写出至少一个求解的坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，轴对称的性质，直线与二次函数的交点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作轴的平行线，交于点，根据铅锤法求得最大时，点的坐标，再把沿的方向移动个单位，求得移动后点的对应点的坐标，再利用两点之间线段最短的原理，求得的最小值，再加上即可解答； （3）抛物线沿直线方向平移个单位，即向下平移个单位，向右平移个单位，得到新抛物线的解析式，根据，得，即，分两种情况，点在轴上方和点在轴下方，分别列方程，求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 令，则， ， ， ∴当时，的面积取最大值，此时； 如图，把沿的方向移动个单位，点的对应点为，点的对应点为点， ， 根据勾股定理可得， ， ∴把沿的方向移动个单位，相当于向左平移个单位，向下平移1个单位， ， ， ， 当取最小值，即取最小值， 三点共线时，取最小值，此时点在处， ， ∴的最小值为； （3）解：， 为等腰直角三角形， ， 抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，即向下平移个单位，向右平移个单位， ， 抛物线的顶点为， ∴新抛物线的顶点为，即， ， ， ， ， ， ， 如图，当点在轴上方时，作，交轴于点， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 令， 解得，， ，； 如图，当点在轴下方时，作直线关于轴的对称直线，交轴于点， 则， 令， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 令， 解得，， ，； 综上，点的坐标为或或或． 【题型9 二次函数与15°角】 【例9】如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    【答案】 【分析】先求出B、C的坐标得到，则，从而得到，设与x轴的交点为N，求出，进而求出直线的解析式为，由此联立两函数解析式即可求出答案． 【详解】解：在，当时，，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 设与x轴的交点为N， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 故答案为：．    【点睛】 本题主要考查了一次函数与二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确求出点N的坐标是解题的关键． 【变式9-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线． （1）如图1，当时，点，的坐标分别为，，过点，分别作轴的垂线，交抛物线于，，，四点，连接，，则___________； （2）如图2，过点作轴的垂线，分别交抛物线于点，，，，与对称轴交于点，连接，，已知点的横坐标为，且，则该抛物线的表达式为___________． 【答案】 【分析】（1）先求出抛物线的解析式，然后求出，的坐标，再过点作交于，判断和的形状，即可求出； （2）根据和抛物线的对称性可以得到，从而得出，再过作，可以求出，确定的坐标，从而确定抛物线对称轴，然后用待定系数法即可求出函数表达式． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于， ，， 抛物线表达式为，当时，， 解得或， ， 当时，，解得或， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． （2）解：如图2，过点作交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， ， 设抛物线的表达式为， 将点，代入， 得 解得， ． 【变式9-2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1) (2)当时，线段有最大值 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式即可得到答案； （2）设点，根据题意，得到抛物线及直线解析式，求出点的坐标，由两点之间距离公式表示出，由抛物线图象与性质求出最值即可得到答案； （3）根据题意，分两种情况，作出图形，由含的直角三角形性质求出长，由待定系数法求直线解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线， 抛物线与轴交于点， ， 解得， 即， 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 由（1）知抛物线的解析式为， 当时，， 即； 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当时，， 即； ， ， 抛物线开口向上，当时，线段有最大值； （3）解： 、， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 由可知，分两种情况， 当点在上方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当点在下方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 解得，则， 设， 将、代入解析式得 ， 解得， ； 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、两点之间距离表示、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，数形结合，掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【变式9-3】（2026·广东清远·二模）已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于，交抛物线于点． (1)求二次函数解析式． (2)若点在线段上运动（不与，重合），求四边形面积的最大值，并求此时点坐标． (3)设点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在点，使得；点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后得出直线的解析式为，设，且，则，然后根据铅垂法表示出四边形的面积，进而问题可求解； （3）由题意可分当点在轴的上方时，当点在轴的下方时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴是直线， ∴，即， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意可得如图所示： 由（1）可知：二次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：，即， 令，则有，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，且， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时点的坐标为 （3）解：由题意可分：当点在轴的上方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由（2）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 当点在轴的下方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由题意知：， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $