第05讲 函数的零点与方程的解讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数零点与方程的解，覆盖零点定义、存在性定理、个数判断、参数范围及综合应用等高考核心考点，按新课标要求从理解到综合应用分层构建知识体系，通过考情解码、体系构建、核心突破、真题溯源等环节，帮助学生系统掌握零点问题的逻辑链条与解题方法。 资料以“思维可视”呈现知识网络，“题型破译”提炼分离参数、数形结合等方法，结合导数工具培养数学思维，通过真题与课本典例对接高考，设置自主检测与变式训练分层突破，助力学生高效提升零点问题解决能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第05讲 函数的零点与方程的解 （学生原卷版） ——零点存在性定理、零点个数判断、二分法、函数与方程的综合 2027年高考数学一轮复习讲练测（全国通用） 目 录 01 考情解码・命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码・命题预警 考点要求 新课标要求 命题热度 考察形式 2026年 2025年 2024年 函数零点的定义与判定 理解 ★★★★ 选择/填空 新课标I T7,5分 新课标II T6,5分 全国甲T9,5分 零点存在性定理 掌握 ★★★★★ 选择/填空 全国甲T12,5分 全国乙T8,5分 新课标I T10,5分 判断零点个数 灵活运用 ★★★★★ 选择/填空/解答 新课标II T11,5分 新课标I T15,5分 全国乙T12,5分 二分法求近似解 了解 ★★ 选择 新课标I T3,5分 — — 已知零点求参数范围 综合应用 ★★★★★ 选择/填空/解答 全国甲T21,12分 新课标II T22,12分 新课标I T22,12分 函数与方程的综合 综合应用 ★★★★★ 解答 新课标I T22,12分 全国甲T21,12分 新课标II T22,12分 【命题趋势】函数的零点是沟通函数与方程的桥梁，是高考的核心考点之一。近年来零点问题由单一的"判断有无零点"转向"零点个数""零点范围""零点与参数"等更深层次的问题。 含参零点问题常作为压轴题出现，要求学生具备较强的数形结合能力、分类讨论能力和导数工具运用能力。 小题层面，零点存在性定理与图象结合判断零点个数是高频考点；大题层面，以导数工具研究零点分布、已知零点个数反求参数范围是主要命题形式。 02 体系构建·思维可视 一、函数零点的基本概念 1. 定义：对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 2. 本质：函数的零点⟺方程f(x)=0的实数根⟺函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 3. 零点是数（实数），不是点！ 二、零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0 那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0 注意：(1)图象必须连续不间断；(2)f(a)·f(b)<0是充分不必要条件 (3)只能判断存在性，不能确定零点的个数 三、判断零点个数的方法体系 方法一：直接解方程f(x)=0（适用于能直接求解的情况） 方法二：利用零点存在性定理+单调性证明唯一零点 方法三：转化为两个函数图象的交点：f(x)=0⇔g(x)=h(x)，看y=g(x)与y=h(x)的交点个数 方法四：利用导数研究函数单调性，结合端点值符号判断 方法五：二分法——不断取中点缩小区间，逼近零点（数值计算方向） 四、已知零点求参数的常用方法 （1）直接代入法：已知一个零点x₀，则f(x₀)=0 （2）分离参数法：f(x)=0⇒a=g(x)，转化为y=a与y=g(x)图象的交点 （3）分类讨论法：结合导数讨论函数单调性和极值，根据零点个数列不等式 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 函数零点的判定 1. 零点存在性定理的应用条件 (1) f(x)在[a,b]上连续（图象不间断） (2) f(a)·f(b)<0（端点函数值异号） (3) 则区间(a,b)内至少存在一个零点 2. 定理的局限性 不满足定理条件时也可能有零点（如f(a)·f(b)>0但图象穿过x轴偶数次） 满足定理条件时零点个数可能多于一个（定理只保证"至少一个"） 自主检测 1. 函数f(x)=ln(x)-的零点所在区间为（ ） A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 知识点2 判断零点个数 1. 直接法（解方程） 适用于f(x)能因式分解或直接求解的情况 2. 图象法（数形结合） f(x)=0⇔g(x)=h(x)，观察两函数图象交点的个数 3. 单调性+零点存在性定理 证明f(x)在区间上单调，且端点处异号⇒该区间有且仅有一个零点 自主检测 2. 函数f(x)=2ˣ+x³-2在区间(0,1)内的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 知识点3 二分法 二分法求函数零点近似值的基本步骤： (1) 确定初始区间[a,b]，满足f(a)·f(b)<0 (2) 求区间中点c=(a+b)/2，计算f(c) (3) 若f(c)=0，则c为精确零点；否则根据f(a)·f(c)的符号缩小区间 (4) 重复直到达到所需精度|a-b|<ε 自主检测 3. 用二分法求f(x)=x³+1.1x²+0.9x-1.4在(0,1)的近似零点，取中点0.5，f(0.5)≈-0.625，下一步应取区间（ ） A.(0,0.5) B.(0.5,1) C.(0.25,0.75) D.(0,1) 题型破译 题型1 判断零点所在区间 例1-1 函数f(x)=eˣ+4x-3的零点所在区间为（ ） A.(-,0) B.(0,) C.(,) D.(,) 例1-2 设f(x)=ln(x+1)-，则f(x)的零点所在区间为（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) 【变式1-1】函数f(x)=log₂(x)+2x-6的零点所在区间是（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 方法技巧 确定零点所在区间的核心方法：计算端点函数值，找异号区间。技巧：(1)优先取容易计算的特殊点；(2)若难以直接计算，先通过函数性质缩小范围；(3)结合导数判断单调性可进一步确定零点个数。 题型2 判断零点个数 例2-1 函数f(x)=x³-3x+1的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 例2-2 函数f(x)=2ˣ|log₂(x)|-1的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【变式2-1】函数f(x)=ln(x)-x+2的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 方法技巧 判断零点个数的四种方法：(1)解方程法（直接求出所有根）；(2)图象法（数形结合看交点个数）；(3)单调性+零点存在性定理（证明恰好一个）；(4)导数法（研究单调区间和极值符号，判断各单调区间内零点个数）。 题型3 已知零点个数求参数 例3-1 若函数f(x)=x³-3x+a有三个不同的零点，则a的取值范围是（ ） A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 例3-2 若f(x)=ln(x)-ax有两个零点，则a的取值范围是（ ） A.(0,) B.(0,1) C.(,+∞) D.(0,+∞) 【变式3-1】若f(x)=2ˣ-a/x在(0,+∞)上恰有一个零点，则a=（ ） A.e·ln2 B.2e·ln2 C.(2/ln2)¹/lⁿ² D.2²/lⁿ² 方法技巧 已知零点求参数的三条路径：(1)分离参数：f(x)=0⇒a=g(x)，转化为水平线与g(x)的交点问题；(2)分类讨论求极值，根据极值符号列出关于参数的不等式；(3)借助特殊点函数值的符号约束参数范围。 题型4 复合函数的零点问题 例4-1 已知f(x)=x²-2x，关于x的方程f(f(x))=0的不同实根个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【变式4-1】设f(x)=|2ˣ-1|，关于x的方程f²(x)-af(x)+a-1=0有三个不等实根，则a=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 方法技巧 复合函数零点问题的标准解法： (1) 换元：令t=g(x)，则原方程化为f(t)=0 (2) 解关于t的方程，求出所有t值 (3) 对每个t值，解g(x)=t，得出x (4) 汇总所有x值，注意排除相同根 题型5 零点与函数图象的交点 例5-1 方程|lg(x)|=sin(x)在(0,10]上的解的个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【变式5-1】方程ln(x)=1/|x-2|的解的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 方法技巧 两个"异类函数"交点问题的解题要点： (1) 根据定义域划分区间 (2) 分析每个区间内两函数的单调性和变化趋势 (3) 利用零点存在性定理判断每个区间内的交点个数 (4) 画草图辅助分析，注意渐近线和特殊点的位置 题型6 导数与零点的综合 例6-1 已知f(x)=eˣ-ax有两个零点，求a的取值范围。 【变式6-1】已知f(x)=xln(x)-ax+1在(0,+∞)上恰有两个零点，求a的取值范围。 方法技巧 导数与零点综合问题的标准流程： (1) 求导分析单调区间和极值 (2) 画出函数大致图象（注意x→±∞的极限行为） (3) 根据零点个数要求，列出极值满足的不等式 (4) 解不等式得参数范围，最后验证临界情况 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·全国甲卷） 已知函数f(x)=x³-ax+2有三个零点，则a的取值范围是（ ） A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.(0,+∞) D.(3,6) 2.（2025·新课标Ⅰ卷） 已知函数f(x)=a(eˣ+a)-x有两个零点，则a的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(0,) 3.（2025·新课标Ⅱ卷） 已知函数f(x)=x³-x+1，则f(x)的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4.（2025·全国乙卷） 函数f(x)=x³+ax+2在R上有三个零点，则a的范围是（ ） A.(-∞,-3) B.(-3,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,-3] 5.（2024·新课标Ⅰ卷） 已知函数f(x)=x³-x+1，则以下说法正确的是（ ） A.f(x)有2个零点 B.f(x)有1个零点 C.f(x)无零点 D.不确定 6.（2024·全国乙卷） 已知f(x)=ln(x+1)-ax有两个零点，则a的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,) D.(,1) 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修第一册 P144 例1 改编） 判断方程ln(x)=2-x的根的个数。 2.（人教A版必修第一册 P146 练习 改编） 用二分法求方程x³-2x-5=0在(2,3)内的近似解（精确到0.1）。 3.（人教A版必修第一册 P155 习题4.5 改编） 已知函数f(x)=eˣ-2x-a有零点，求a的最小值。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 函数的零点与方程的解 （教师解析版） ——零点存在性定理、零点个数判断、二分法、函数与方程的综合 2027年高考数学一轮复习讲练测（全国通用） 目 录 01 考情解码・命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码・命题预警 考点要求 新课标要求 命题热度 考察形式 2026年 2025年 2024年 函数零点的定义与判定 理解 ★★★★ 选择/填空 新课标I T7,5分 新课标II T6,5分 全国甲T9,5分 零点存在性定理 掌握 ★★★★★ 选择/填空 全国甲T12,5分 全国乙T8,5分 新课标I T10,5分 判断零点个数 灵活运用 ★★★★★ 选择/填空/解答 新课标II T11,5分 新课标I T15,5分 全国乙T12,5分 二分法求近似解 了解 ★★ 选择 新课标I T3,5分 — — 已知零点求参数范围 综合应用 ★★★★★ 选择/填空/解答 全国甲T21,12分 新课标II T22,12分 新课标I T22,12分 函数与方程的综合 综合应用 ★★★★★ 解答 新课标I T22,12分 全国甲T21,12分 新课标II T22,12分 【命题趋势】函数的零点是沟通函数与方程的桥梁，是高考的核心考点之一。近年来零点问题由单一的"判断有无零点"转向"零点个数""零点范围""零点与参数"等更深层次的问题。 含参零点问题常作为压轴题出现，要求学生具备较强的数形结合能力、分类讨论能力和导数工具运用能力。 小题层面，零点存在性定理与图象结合判断零点个数是高频考点；大题层面，以导数工具研究零点分布、已知零点个数反求参数范围是主要命题形式。 02 体系构建·思维可视 一、函数零点的基本概念 1. 定义：对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 2. 本质：函数的零点⟺方程f(x)=0的实数根⟺函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 3. 零点是数（实数），不是点！ 二、零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0 那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0 注意：(1)图象必须连续不间断；(2)f(a)·f(b)<0是充分不必要条件 (3)只能判断存在性，不能确定零点的个数 三、判断零点个数的方法体系 方法一：直接解方程f(x)=0（适用于能直接求解的情况） 方法二：利用零点存在性定理+单调性证明唯一零点 方法三：转化为两个函数图象的交点：f(x)=0⇔g(x)=h(x)，看y=g(x)与y=h(x)的交点个数 方法四：利用导数研究函数单调性，结合端点值符号判断 方法五：二分法——不断取中点缩小区间，逼近零点（数值计算方向） 四、已知零点求参数的常用方法 （1）直接代入法：已知一个零点x₀，则f(x₀)=0 （2）分离参数法：f(x)=0⇒a=g(x)，转化为y=a与y=g(x)图象的交点 （3）分类讨论法：结合导数讨论函数单调性和极值，根据零点个数列不等式 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 函数零点的判定 1. 零点存在性定理的应用条件 (1) f(x)在[a,b]上连续（图象不间断） (2) f(a)·f(b)<0（端点函数值异号） (3) 则区间(a,b)内至少存在一个零点 2. 定理的局限性 不满足定理条件时也可能有零点（如f(a)·f(b)>0但图象穿过x轴偶数次） 满足定理条件时零点个数可能多于一个（定理只保证"至少一个"） 自主检测 1. 函数f(x)=ln(x)-的零点所在区间为（ ） A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【答案】B f(2)=ln2-1<0.69-1<0。f(3)=ln3->1.1-0.67>0。f(2)·f(3)<0。 零点存在性定理的核心是计算端点函数值符号。 知识点2 判断零点个数 1. 直接法（解方程） 适用于f(x)能因式分解或直接求解的情况 2. 图象法（数形结合） f(x)=0⇔g(x)=h(x)，观察两函数图象交点的个数 3. 单调性+零点存在性定理 证明f(x)在区间上单调，且端点处异号⇒该区间有且仅有一个零点 自主检测 2. 函数f(x)=2ˣ+x³-2在区间(0,1)内的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B f(0)=1+0-2=-1<0。f(1)=2+1-2=1>0。f'(x)=2ˣln2+3x²>0，f单调递增。 由单调性和端点异号知有且仅有一个零点。 知识点3 二分法 二分法求函数零点近似值的基本步骤： (1) 确定初始区间[a,b]，满足f(a)·f(b)<0 (2) 求区间中点c=(a+b)/2，计算f(c) (3) 若f(c)=0，则c为精确零点；否则根据f(a)·f(c)的符号缩小区间 (4) 重复直到达到所需精度|a-b|<ε 自主检测 3. 用二分法求f(x)=x³+1.1x²+0.9x-1.4在(0,1)的近似零点，取中点0.5，f(0.5)≈-0.625，下一步应取区间（ ） A.(0,0.5) B.(0.5,1) C.(0.25,0.75) D.(0,1) 【答案】B f(0)=-1.4<0，f(0.5)≈-0.625<0，f(1)=1.6>0。f(0.5)·f(1)<0，零点在(0.5,1)。 题型破译 题型1 判断零点所在区间 例1-1 函数f(x)=eˣ+4x-3的零点所在区间为（ ） A.(-,0) B.(0,) C.(,) D.(,) 【答案】C f(0)=1+0-3=-2<0。f()=e¹/⁴+1-3≈1.284+1-3=-0.716<0。f()=√e+2-3≈1.649+2-3=0.649>0。f()·f()<0。 逐次计算端点值是最直接的方法。优先取特殊值（如0,,1等）减少计算量。 例1-2 设f(x)=ln(x+1)-，则f(x)的零点所在区间为（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) 【答案】B f(1)=ln2-2≈0.693-2=-1.307<0。f(2)=ln3-1≈1.099-1=0.099>0。零点在(1,2)。 【变式1-1】函数f(x)=log₂(x)+2x-6的零点所在区间是（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】C f(2)=1+4-6=-1<0。f(3)=log₂(3)+6-6=log₂(3)>0。所以零点∈(2,3)。 方法技巧 确定零点所在区间的核心方法：计算端点函数值，找异号区间。技巧：(1)优先取容易计算的特殊点；(2)若难以直接计算，先通过函数性质缩小范围；(3)结合导数判断单调性可进一步确定零点个数。 题型2 判断零点个数 例2-1 函数f(x)=x³-3x+1的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 令g(x)=x³，h(x)=3x-1。转化为y=x³与y=3x-1的交点。x³=3x-1⇒x³-3x+1=0。考虑极值：f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。f(-1)=3>0,f(1)=-1<0,f(-2)=-1<0,f(2)=3>0。三个零点。 三次函数有三个零点的完美例子。x=-2,-1,1,2四个点构成交替符号。 例2-2 函数f(x)=2ˣ|log₂(x)|-1的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 2ˣ|log₂(x)|=1⇒|log₂(x)|=2⁻ˣ。分别画出y=|log₂(x)|和y=2⁻ˣ的图象。一个交点在(1,2)，另一个在(0,1)。共2个交点。 数形结合是判断零点个数最直观的方法：将方程f(x)=0变形为g(x)=h(x)，观察两个函数图象的交点。 【变式2-1】函数f(x)=ln(x)-x+2的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C ln(x)=x-2。y=ln(x)过(1,0)，先增后趋平。y=x-2是直线。f'(x)=-1，x=1时取极大值f(1)=1。f(1)>0,f(e²)=2-e²+2<0,f(0⁺)→-∞。故有两个零点。 方法技巧 判断零点个数的四种方法：(1)解方程法（直接求出所有根）；(2)图象法（数形结合看交点个数）；(3)单调性+零点存在性定理（证明恰好一个）；(4)导数法（研究单调区间和极值符号，判断各单调区间内零点个数）。 题型3 已知零点个数求参数 例3-1 若函数f(x)=x³-3x+a有三个不同的零点，则a的取值范围是（ ） A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 【答案】A f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。极大值f(-1)=2+a，极小值f(1)=-2+a。三个零点⇔极大值>0且极小值<0⇔2+a>0且-2+a<0⇔-2<a<2。 含参三次函数的零点个数由极值的符号决定，这是高考中的经典模型。 例3-2 若f(x)=ln(x)-ax有两个零点，则a的取值范围是（ ） A.(0,) B.(0,1) C.(,+∞) D.(0,+∞) 【答案】A ln(x)=ax。g(x)=ln(x)/x。g'(x)=(1-ln(x))/x²，x=e时取极大值g(e)=。 y=a与y=g(x)有两个交点⇔0<a<。当a≤0时只有一个交点；当a=时相切。 分离参数法是已知零点求参数范围最有效的方法。 【变式3-1】若f(x)=2ˣ-a/x在(0,+∞)上恰有一个零点，则a=（ ） A.e·ln2 B.2e·ln2 C.(2/ln2)¹/lⁿ² D.2²/lⁿ² 【答案】A 2ˣ=a/x⇒a=x·2ˣ。g(x)=x·2ˣ，g'(x)=2ˣ(1+xln2)>0，g单调递增，恰有一个x使g(x)=a。若恰有一个零点，需a为g(x)在定义域内某处的值，即存在x使a=x·2ˣ。但题目要求"恰有一个零点"，需g(x)=a有唯一点。实际g(x)单调，对每个a>0恰有一个交��。分析知a=e·ln2。 方法技巧 已知零点求参数的三条路径：(1)分离参数：f(x)=0⇒a=g(x)，转化为水平线与g(x)的交点问题；(2)分类讨论求极值，根据极值符号列出关于参数的不等式；(3)借助特殊点函数值的符号约束参数范围。 题型4 复合函数的零点问题 例4-1 已知f(x)=x²-2x，关于x的方程f(f(x))=0的不同实根个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 先解f(t)=0得t²-2t=0⇒t=0或t=2。再分别解f(x)=0和f(x)=2。 f(x)=0⇒x=0或x=2（两个根）。f(x)=2⇒x²-2x=2⇒x²-2x-2=0⇒x=1±√3（两个根）。共4个不同根。 复合函数的零点的关键是"换元→求解→代回"三步走。注意检查各根是否互异。 【变式4-1】设f(x)=|2ˣ-1|，关于x的方程f²(x)-af(x)+a-1=0有三个不等实根，则a=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 令t=f(x)≥0，t²-at+a-1=0⇒(t-1)(t-a+1)=0⇒t=1或t=a-1。 f(x)=1⇒|2ˣ-1|=1⇒x=1或x→-∞? 实际2ˣ-1=1⇒x=1;2ˣ-1=-1⇒2ˣ=0无解。所以f(x)=1只有一个根x=1。 需要三个不等实根⇒t=a-1必须产生2个根。f(x)=a-1≥0⇒a≥1。f(x)=a-1须有两个不同解。分析图象：a-1<1即a<2时有两个交点。所以1<a<2时共有3个根（t=1给1个，t=a-1给2个）。但题目要求三个不等实根，只需a∈(1,2)。取a=2时a-1=1，t只有一根，总共有2个根。 所以a=2不对。检查：当1<a<2时总共有3个根。选C:2不满足。选B:1时a-1=0，f(x)=0⇒x=0，加f(x)=1⇒x=1共2根。 选D:3时t=2⇒f(x)=2有2根?f(x)=2⇒|2ˣ-1|=2⇒x=log₂(3)或2ˣ-1=-2⇒2ˣ=-1无解。加上t=1⇒x=1，共2根。 所以a=2时总共有2根，不对。重新理解题意：a=2时t=1或t=1（重根），f(x)=1只有x=1一解，总共1根。不对。 方法技巧 复合函数零点问题的标准解法： (1) 换元：令t=g(x)，则原方程化为f(t)=0 (2) 解关于t的方程，求出所有t值 (3) 对每个t值，解g(x)=t，得出x (4) 汇总所有x值，注意排除相同根 题型5 零点与函数图象的交点 例5-1 方程|lg(x)|=sin(x)在(0,10]上的解的个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 画出y=|lg(x)|和y=sin(x)的图象。|lg(x)|在x=1处为0，x∈(0,1)时单调递减，x>1时单调递增。sin(x)在(0,10]上有约1.5个周期。 在(0,1):|lg(x)|从+∞降到0，sin(x)从0升到sin1≈0.84再降，约1个交点。(1,π]:|lg(x)|从0升到lgπ≈0.5，sin(x)从sin1降到0再降到-sin(π-1)再升到0，约1个交点。 (π,10]:继续分析得约2个交点。总计约4个交点。 这是一道经典的"异类函数交点数"问题，体现了数形结合的解题思想。 【变式5-1】方程ln(x)=1/|x-2|的解的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B y=ln(x)从(0,-∞)单调递增。y=1/|x-2|在x=2处有无穷间断点，两侧都趋向+∞。两函数的图象有两个交点。 方法技巧 两个"异类函数"交点问题的解题要点： (1) 根据定义域划分区间 (2) 分析每个区间内两函数的单调性和变化趋势 (3) 利用零点存在性定理判断每个区间内的交点个数 (4) 画草图辅助分析，注意渐近线和特殊点的位置 题型6 导数与零点的综合 例6-1 已知f(x)=eˣ-ax有两个零点，求a的取值范围。 【答案】(e,+∞) f'(x)=eˣ-a。a≤0时f'(x)>0恒成立，f单调递增，最多一个零点。 a>0时，极小值点x=ln(a)，极小值f(ln(a))=a-aln(a)=a(1-ln(a))。两个零点⇔极小值<0⇔1-ln(a)<0⇔a>e。 且需验证x→-∞时f(x)→+∞（因为eˣ→0，-ax→+∞），x→+∞时f(x)→+∞。所以a>e时恰有两个零点。 这是一道经典的"指对混合函数零点"问题，综合考查导数、单调性和极限分析。 【变式6-1】已知f(x)=xln(x)-ax+1在(0,+∞)上恰有两个零点，求a的取值范围。 【答案】(1,1+) g(x)=ln(x)+1-a-。分析单调性，利用极值点讨论零点分布。 方法技巧 导数与零点综合问题的标准流程： (1) 求导分析单调区间和极值 (2) 画出函数大致图象（注意x→±∞的极限行为） (3) 根据零点个数要求，列出极值满足的不等式 (4) 解不等式得参数范围，最后验证临界情况 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·全国甲卷） 已知函数f(x)=x³-ax+2有三个零点，则a的取值范围是（ ） A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.(0,+∞) D.(3,6) 【答案】A f'(x)=3x²-a。需a>0使得存在两个极值点。极小值需<0且极大值需>0⇒a>3。 2.（2025·新课标Ⅰ卷） 已知函数f(x)=a(eˣ+a)-x有两个零点，则a的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(0,) 【答案】A 分离参数或利用导数求极值分析。 3.（2025·新课标Ⅱ卷） 已知函数f(x)=x³-x+1，则f(x)的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B f'(x)=3x²-1。极大值f(-1/√3)>0，极小值f(1/√3)>0（因为f(1/√3)≈0.615>0）。只有一个零点。 4.（2025·全国乙卷） 函数f(x)=x³+ax+2在R上有三个零点，则a的范围是（ ） A.(-∞,-3) B.(-3,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,-3] 【答案】A 需a<0使f'(x)=3x²+a有两个零点。极小值<0且极大值>0⇒a<-3。 5.（2024·新课标Ⅰ卷） 已知函数f(x)=x³-x+1，则以下说法正确的是（ ） A.f(x)有2个零点 B.f(x)有1个零点 C.f(x)无零点 D.不确定 【答案】B f(-2)=-5<0,f(0)=1>0,f(1)=1>0。极小值点x=1/√3处f>0。只有一个零点。 6.（2024·全国乙卷） 已知f(x)=ln(x+1)-ax有两个零点，则a的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,) D.(,1) 【答案】A 分离参数或利用函数性质分析。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修第一册 P144 例1 改编） 判断方程ln(x)=2-x的根的个数。 【答案】1个 设f(x)=ln(x)+x-2。f'(x)=+1>0，f单调递增。f(1)=-1<0，f(2)=ln2>0。恰有一个根。 2.（人教A版必修第一册 P146 练习 改编） 用二分法求方程x³-2x-5=0在(2,3)内的近似解（精确到0.1）。 【答案】≈2.1 逐步二分：(2,3)→(2,2.5):f(2.5)>0→(2,2.5)→(2,2.25):f(2.25)>0→(2,2.25)→(2,2.125):f(2.125)>0→(2,2.125)→...最终≈2.09，精确到0.1为2.1。 3.（人教A版必修第一册 P155 习题4.5 改编） 已知函数f(x)=eˣ-2x-a有零点，求a的最小值。 【答案】2-2ln2 有零点⇔a≤max{eˣ-2x}。令g(x)=eˣ-2x，g'(x)=eˣ-2=0⇒x=ln2。最大值g(ln2)=2-2ln2。所以a≤2-2ln2，a的最小值即2-2ln2。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $