第21章 二次函数与反比例函数 单元检测卷 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 沪科版数学九上第21章单元检测卷，聚焦二次函数与反比例函数，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，适配单元复习，强化知识综合运用与数学眼光、思维、语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|图像性质、点坐标、平移规律|基础概念辨析，如函数图像过点判断| |填空题|8题|对称轴、取值范围、顶点坐标|结合几何对称（如关于原点对称点面积）| |解答题|5题|实际应用（漏刻计时、喷水池高度）、综合计算（函数与几何结合）|情境真实（漏刻模型），分层设问（从解析式到面积最值）|

2026-2027学年沪科版数学九上第21章二次函数与反比例函数单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．15 3．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 4．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知是反比例函数上一点，轴于点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 7．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 8．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 9．在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线，如图所示，，是方程的两个根，且，则函数的坐标系中的图象大致为（    ） A． B． B． C． D． 10．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．抛物线的对称轴是_____． 12．如果反比例函数 的图象位于第一、三象限内，那么 的取值范围为 ________． 13．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 14．将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 15．物体从空中下落时，受重力影响速度会匀速加快，实验测得重力加速度米/秒2（下落速度以每秒10米/秒的速率增加）．一个距地面30米（相当于10层楼高）的砖块从静止状态自然落下，触地瞬间的速度约为_____米/秒（保留一位小数）． 16．已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 17．如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 18．若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 三、解答题 19．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻模型，研究发现水位读数是供水时间的一次函数，下表是兴趣小组记录的部分数据： 供水时间 0 1 2 3 4 … 水位读数 2 2.4 2.8 3.2 3.6 … (1)水位读数与供水时间的关系式为______； (2)若供水时间为，水位读数为______； (3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？ 20．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 21．如图，点在第一象限，且在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是4． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点的横坐标为1，延长交反比例函数的图象于点，连接，点在反比例函数图象上，满足的面积等于的面积，求直线的解析式． 22．在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 23．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)直接写出坐标：点___________，点___________； (2)若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年沪科版数学九上第21章二次函数与反比例函数单元检测卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B B D A C B C 1．D 【分析】将点的横坐标代入各选项的函数解析式，计算得到的值若等于，则该函数图象经过该点，据此判断即可． 【详解】解：把分别代入各选项计算： A. 不符合题意； B. 不符合题意； C. 不符合题意； D. 符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征． 利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入函数式求解即可 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入解析式得：， 解得：． 故选：A． 3．A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 4．B 【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合的大小关系比较的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点、都在第三象限的函数图象上， ． 5．B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是设出点A的坐标代入三角形面积公式． 设点A的坐标为，由此可得点B的坐标为，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵已知是反比例函数上一点， ∴设点A的坐标为， ∵轴于点， ∴点B的坐标为， ∴，的高为， ∴， 即，即， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴． 故选：D ． 7．A 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点式即可判断． 【详解】解：， ∵抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值为4， ∴水喷出的最大高度是4米． 故选：A． 8．C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 9．B 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，一次函数、二次函数图象交点与一元二次方程根的关系等知识点，通过图象交点的横坐标确定，的正负是解题的关键． 根据方程的两个根和，即转化为与函数图象交点问题，通过图象交点可得，即可确定函数在坐标系中的大致图象． 【详解】解：，是方程的两个根， 与函数图象两交点横坐标为，， 由图象可得：， ，， 故函数在坐标系中的图象经过第二、三、四象限， 故选：B． 10．C 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 11．直线 【分析】将抛物线的表达式化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线． 12． 【分析】反比例函数中，当比例系数时，函数图象位于第一、三象限，据此列出关于的不等式求解即可 【详解】解：已知反比例函数的图象位于第一、三象限， 根据反比例函数的性质可得比例系数大于，即 移项得 13． 【分析】抛物线有最低点说明抛物线开口向上，则二次项系数大于0，由此可以确定的取值范围． 【详解】解：抛物线有最低点， ， 解得． 14． 【分析】根据抛物线顶点坐标为，然后通过向右平移个单位后，再向下平移个单位进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴把向右平移个单位后，再向下平移个单位得到， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 15． 【分析】本题考查函数解析式，物体从静止开始自由落体，已知重力加速度、下落高度，利用速度与位移的关系公式求解末速度． 【详解】解：由自由落体运动公式，其中初始速度，加速度 ，下落高度． 代入得， 所以，保留一位小数约为． 故答案为：． 16．（答案不唯一，即可） 【分析】根据题意得到正比例函数的图象分布在第二，四象限，得到，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，比例系数， ∴反比例函数的图象分布在第一，三象限， ∵正比例函数与反比例函数的图象没有交点， ∴正比例函数的图象分布在第二，四象限， ∴， ∴符合条件的可以为（答案不唯一）． 17． 【分析】因为点与点关于原点对称，且的面积为7，所以的面积为，由反比例函数的几何意义可知，的面积为1，则的面积为，结合反比例图象所在象限可求解题目． 【详解】解：连接， ∵点与点关于原点对称，的面积为7， ∴， ∴的面积为， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵在反比例函数上 ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 18． 【分析】根据定弦抛物线的定义和对称轴求出原抛物线的解析式，得到原抛物线顶点坐标，再根据二次函数图象平移规律计算平移后抛物线的顶点坐标. 【详解】解：定弦抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点间的距离为， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向左平移个单位，横坐标减，再向下平移个单位，纵坐标减， 可得平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 平移后抛物线顶点坐标为. 19．(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据表格可知当时，，时间增加，水位上涨了，即可得出关系式； （2）将代入关系式可得答案； （3）将代入关系式可得时间，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据表格可知：当时，，时间增加，水位上涨了， ∴； （2）解：当时，； （3）解：在中， 令，得， 解得， ∵本次实验开始记录的时间是上午， ∴水位读数为时是． 20．(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 21．(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识． （1）设与轴交于点．是点关于轴的对称点，的面积是4，则．得到．又．则．即可得到反比例函数的解析式； （2）依次求出、、，过点作，直线与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点，则．求出直线解析式为．由可设直线的解析式为，将代入上式，得到，解得．即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：如图，设与轴交于点． ∵是点关于轴的对称点，的面积是4， ∴． ∴，即． 又． ∴． ∴反比例函数的解析式． （2）∵点的横坐标为1， 当时，， ∴． 由点与点关于轴对称得． 由题可得，点与点关于原点对称， ∴， 过点作，直线与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点， ∴． 设直线的解析式为． 将代入上式，得， ∴直线解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为， 将代入上式，得到， 解得． ∴直线的解析式为． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 23．(1)，； (2)； (3)或． 【分析】解方程，可得：，，所以点的坐标是，点的坐标是； 过点作轴，交于点，利用待定系数法求出直线的解析式是，设点的坐标为，可得：点的坐标是，所以，根据三角形面积公式可得：，根据二次函数的性质可以求出面积的最大值； 当为直角三角形时，应分两种情况讨论，一种情况是当时，另一种情况是当时． 【详解】（1）解：解方程， 分解因式可得：， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 当时，， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 当时，， 则点的坐标是， ， ， 面积最大值是； （3）解：如下图所示，当时， 则有轴， 点和点关于对称轴对称， 点的坐标是，抛物线的对称轴是， 点的坐标是； 如下图所示，当时，过点作轴， ， ， ，， ， 设，则， 点的坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：(与点重合，舍去)，， 当时，， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $