第21章 二次函数与反比例函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册第21章二次函数与反比例函数，通过科技（人形机器人）、生活（投掷实心球）等真实情境，分层考查抽象能力、模型意识与运算能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|抛物线性质、二次函数定义|结合推铅球运动考函数应用，体现数学眼光| |填空题|4/20|反比例函数象限、二次函数增减性|设置开放题（如m值），考查思维灵活性| |解答题|9/90|图像绘制、利润最值、运动轨迹建模|21题机器人盈利方案融合数据分析与二次函数最值，23题实心球运动路线考查几何直观与模型意识，符合核心素养要求|

( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… ……………… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… … … ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 保密★启用前 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章二次函数与反比例函数 能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（本题4分）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 4．（本题4分）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 5．（本题4分）下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 6．（本题4分）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 7．（本题4分）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 10．（本题4分）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 12．（本题5分）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 13．（本题5分）已知二次函数图像经过，则______． 14．（本题5分）已知二次函数（其中b，c为常数），当自变量x依次取正整数1，2，3，…，n时，对应的函数值分别为，，…，．相邻两个函数值的差为． （1）的值为______； （2）若，则的值为______． 三、解答题（共9题 共90分） 15．（本题8分）已知抛物线（为常数）向上平移个单位长度后经过点，求的值． 16．（本题8分）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 17．（本题8分）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 18．（本题8分）在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题： （1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？ 19．（本题10分）如图，梯形的顶点都在抛物线上，且轴．点的坐标为，点的坐标为． (1)求a，b的值． (2)求，两点的坐标． 20．（本题10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 21．（本题12分）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 22．（本题12分）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 23．（本题14分）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 第7页 共8页 ◎ 第8页 共8页 第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章二次函数与反比例函数能力提升 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B C D A 0 Q B A A B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.-3 12.113.202614. 2 10300 三、解答题（共9小题，共90分） 15. 【解析】解：将抛物线y=-+m+ 向上平移°个单位长度后的抛物线的函数解析式为 y=-x2+mx+1+3=-x2+mx+4 将么4 代入少=-+m+4得4=-小+m+4 解得m=1. 16,【解析】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为'=60(x+ 六十月份医用防护服的产量y(万件)与x之间的函数表达式为：y=60(+ 17.【解析】(1)解：y与x成反比例，z与y成正比例， 设y= x’z=y, 1 当x=8时，y=2, 28’ .k=4, y=4 x, 答案第1页，共6页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 当y=3时，2=-2： -2=3”, .n=-6, .∴.z=-6y ,即2-24 2=-6x4 （2)解：将x=16代入2=-24 , 243 得2= 162· 18. 3 【解析】解：作函数'=2的图象如图所示. 6 5 3 3 -6-5-4-3-2-10 23456 2 3 -6开 (1)根据图象可知，当x=0时，y有最小值，最小值是0. (2)解：根据图象可判断， 当x>0时，y随x的增大而增大； 当x<0时，y随x的增大而减小. 19. 【解析】(1)解：当y=-4时，-4=-a2, ∴a=t2. 答案第2页，共6页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A在第三象限， ∴a=-2 当x=3时，y=-9, b=-9 综上：a=-2,b=-9 (2)解：：ABIICDI轴， ∴点A与点B,点C与点D的纵坐标相同. y=-x2 y 关于轴对称， ·点B的坐标 为2④，点P的坐标为 (-3,-9) 20 【解析】(1)解：令y=0,-x2+4=0, 解得-25=2 .A(-2,0) 将引代入=+4得y=-P+4=3 得 C(1,3) 设le:y=xr+b, 「-2k+b=0 将A(-2,0),C(1,3)代入k+b=3, [k=1 解得b=2, ∴.14cy=x+2 (2)解：设P(x,x+2).E(-+4) 答案第3页，共6页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 129 PE=yg-=-2+4-(x+2)=--x+2=x+2)+4, ∵a=-1<0 1 9 ∴当x=一2时，PE有最大值4 21. 【解析】(1)解：设A型智能机器人每台的销售单价为a万元，B型智能机器人销售单价 为b万元， [3a+4b=62 2a+5b=60 a=10 解得：b=8, ∴.A型智能机器人每台的销售单价为10万元，B型智能机器人销售单价为8万元， (2)解：设总销售量'（台）与A型智能机器人每台销售单价x(万元/台)之间的关系 为：y=k+n, (12,300)(15,240) 将 代入得 [12k+n=300 15k+n=240, 「k=-20 解得：n=540, ∴.y=-20x+540 设A型机器人的销售单价定为m万元， ∴A,B两种型号的机器人利润之和为： S=(-20m+540)×60%×(8-6)+(-20m+540)×40%×(m-7） 31)2 :5=-8m2+248m1-864=-8m-2 +1058 答案第4页，共6页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31 “当m=2时，S取得最大值， 31 ∴A型机器人的销售单价定为2万元时，A,B两种型号的机器人利润之和最大. 22. 【解折】(1)解：将A1-3)代入y= 得-3=-k, 解得k=3, 品 A,B在反比例函数图象上， ∴点A,B关于原点成中心对称， 1,3) 点B坐标为 3 把x=-3代入y=元得y=1, 点C坐标为 -3,-1) a+b=3 将(1,3)，（-3，-)代入乃2=ax+b得-3a+b=-1, [a=1 解得b=2, :乃x+2 (2)解：如图，作DE∥y轴交AC于点E, y 答案第5页，共6页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AC所在直线解析式为y=mr+n -m+n=-3 将A(-1,-3),C(-3,-l)代入y=mx+n得-3m+n=-1, m=-1 解得n=-4, .y=-x-4, 将"=0代入乃=x+ 得术+2=0 解得x=-2, -2,0) 点D坐标为 把x=-2代入y=-x-4得y=-2, “点日坐标为2-2)，DE=2. SAACD=S△cDE+S△MDE =DE(。-+DE(-o) ×2x[2-(3明+x2x[1-(2 =2: (3)解：由阴数图象可知，当>乃时，x<-3欧0<x<1 23. 【解折】4)解：根据题意可知，抛物线的项点为43)，点P坐标为 0,1.8) 设抛物线的顶点式为：y=a(r-4+3 1-8=a0-4+3 .q=- 3 40, 答案第6页，共6页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 抛物线的表达式为：y= (x-4)2+3 40 (2)略 (3)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=4, P(0,1.8) ·点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为 8,1.8) ,同学身高1.8m,为了保证安全，此时y>1.8, 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为0<x<8, 答案第7页，共6页 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章二次函数与反比例函数 能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（本题4分）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 4．（本题4分）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 5．（本题4分）下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 6．（本题4分）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 7．（本题4分）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 10．（本题4分）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 12．（本题5分）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 13．（本题5分）已知二次函数图像经过，则______． 14．（本题5分）已知二次函数（其中b，c为常数），当自变量x依次取正整数1，2，3，…，n时，对应的函数值分别为，，…，．相邻两个函数值的差为． （1）的值为______； （2）若，则的值为______． 三、解答题（共9题，共90分） 15．（本题8分）已知抛物线（为常数）向上平移个单位长度后经过点，求的值． 16．（本题8分）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 17．（本题8分）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 18．（本题8分）在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题： （1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？ 19．（本题10分）如图，梯形的顶点都在抛物线上，且轴．点的坐标为，点的坐标为． (1)求a，b的值． (2)求，两点的坐标． 20．（本题10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 21．（本题12分）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 22．（本题12分）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 23．（本题14分）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章二次函数与反比例函数 能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 2．（本题4分）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3．（本题4分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，令，求解方程即可； 【详解】解：令，则， 解得：（舍）， ∴他推出铅球的距离为m； 故选：D 4．（本题4分）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 5．（本题4分）下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 6．（本题4分）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 7．（本题4分）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 8．（本题4分）若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 9．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 10．（本题4分）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 【答案】B 【分析】先利用几何图形的对称性确定关键点的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据上口宽确定点的横坐标，代入解析式求出其纵坐标，该纵坐标即为冷却塔的高度． 【详解】解：由题可知，四边形是矩形，在轴上，轴垂直平分， ∵， 根据对称性可知：， ∴， ∵，且， ∴， 设所在的反比例函数解析式为， 把代入中，得， 解得， ∴所在的反比例函数解析式为， ∵，且图形关于轴对称， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入中，得， ∵所在直线为轴，即地面高度为0， ∴整个冷却塔的高度为110． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 12．（本题5分）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 13．（本题5分）已知二次函数图像经过，则______． 【答案】2026 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到与的关系式，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：将点代入，得 ， 整理得，即， ∴． 14．（本题5分）已知二次函数（其中b，c为常数），当自变量x依次取正整数1，2，3，…，n时，对应的函数值分别为，，…，．相邻两个函数值的差为． （1）的值为______； （2）若，则的值为______． 【答案】 2 10300 【分析】（1）根据的定义，先推导的一般表达式，再计算即可； （2）利用累加抵消的方法，将到的和转化为，代入计算即可. 【详解】解：（1）由题意得，对任意正整数， ， ， ， 当时， ， 当时， ， ； （2） ， 将代入得 ， ， ． 3、 解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）已知抛物线（为常数）向上平移个单位长度后经过点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象的平移，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律：“左加右减，上加下减”． 由平移的规律可求得平移后的二次函数解析式，代入点直接求得答案． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位长度后的抛物线的函数解析式为， 将点代入得， 解得． 16．（本题8分）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 17．（本题8分）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设把时，代入，求得的值；设，把，，代入计算求出的值，即可确定与的函数解析式；将代入，可求得与的函数解析式， （2）将代入（1）中的解析式再计算即可． 【详解】（1）解：∵y与x成反比例，z与y成正比例， ∴设，， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， ，即. （2）解：将代入， 得． 18．（本题8分）在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题： （1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？ 【答案】函数的图象如图所示． （1）当时，y有最小值，最小值是0． （2）当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 根据可知，点均在函数图象上，描点后相连即可； （1）根据图象知当时，有最小值； （2）根据图象即可判断时，随的增大而增大；时，随的增大而减小． 【详解】解：作函数的图象如图所示． （1）根据图象可知，当时，有最小值，最小值是． （2）解：根据图象可判断， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 19．（本题10分）如图，梯形的顶点都在抛物线上，且轴．点的坐标为，点的坐标为． (1)求a，b的值． (2)求，两点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）分别将和的坐标代入解析式即可； （2）由抛物线的对称性和、的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 点在第三象限， ． 当时，， ． 综上：． （2）解：轴， 点与点，点与点的纵坐标相同． 关于轴对称， 点的坐标为，点的坐标为． 20．（本题10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 21．（本题12分）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【答案】(1)型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， (2)A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【分析】（1）列二元一次方程求解即可； （2）根据题意，构造二次函数，求最大值即可． 【详解】（1）解：设型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， 解得：， ∴型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， （2）解：设总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系为：， 将，代入得 ， 解得：， ∴， 设A型机器人的销售单价定为万元， ∴A，B两种型号的机器人利润之和为：， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 22．（本题12分）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3)或 【分析】（1）先将代入反比例解析式求解，然后求出点C坐标，再将点B，C坐标代入求解； （2）作轴交于点E，求出点D坐标及所在直线解析式，从而可得长度，再根据求解； （3）直接根据函数图象求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵A，B在反比例函数图象上， ∴点A，B关于原点成中心对称， ∴点B坐标为， 把代入得， ∴点C坐标为， 将，代入得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴交于点E， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴点D坐标为， 把代入得， ∴点E坐标为，， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当时，或． 23．（本题14分）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． (3) 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 （3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $