第1章 问题解决的策略：反思 同步分层训练 2026--2027学年北师大教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦立体图形表面最短路径问题，通过基础、巩固、应用三层设计，以展开图与勾股定理为核心，构建从单一图形到综合情境的知识巩固路径，培养空间观念与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|正方体、圆柱等单一立体图形最短路径|8题选择填空，直接应用展开图与勾股定理，强化空间观念| |巩固提升|U型池、长方体及实际情境（华表、木门检测）|8题含解答题，结合综合图形与生活场景，培养几何直观| |能力应用|台阶、圆柱多步骤探究（变式与拓展）|1题分层探究题，需自主展开与推理，发展创新意识|

问题解决的策略：反思-北师大版数学八年级上册同步分层训练 一、基础训练 1．如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 3．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 4．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点A处沿着表面爬到顶点C处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为　 　cm． 6．如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为　 　． 7．如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？ 8．如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是　 　． 二、巩固提升 9．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（　　）米.（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B．24 C．26 D．8π 10．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点之间的距离，由此可推断出是不是直角.这样做的依据是（　　） A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 11．如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）dm． A．12 B．10 C．17 D．25 12． 如图， 一个无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm， 8cm， 12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的外表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是　 　cm． 13．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm． 14．如图所示，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现使一绳子从点A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是　 　cm． 15．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm． 16．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间.社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°. （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 三、能力应用 17． 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20 dm，3d m，2d m，A 和B 是一个三级台阶上两个相对的端点. 【探究实践】 老师让同学们探究：如图(1)，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少? （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图(2)为三级台阶的平面展开图，可得到长为20 dm，宽为15 dm的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长度为　 　，就是最短路程. （2）【变式探究】 如图(3)，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4d m，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为　 　. （3）【拓展应用】 如图(4)，圆柱形玻璃杯的高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少?(杯壁厚度不计) 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：正方体的部分展开图如图所示，连接PQ，即PQ的长度即为蚂蚁爬行的最短路程 由题意可得：PB=AB=6，AQ=2 ∴BQ=6+2=8 ∴ 故答案为：C 【分析】根据正方体展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：底面圆周长为cm，底面半圆弧长为6cm， 展开图如图所示，连接AB， ∵BC=8cm，AC=6cm， ∴ 故选C． 【分析】将圆柱侧面展开，再根据勾股定理即可求出答案. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意和柱体的展开性质，可得如下图： 其中点E、F分别是AD和BC的中点，展开图四边形ABCD是矩形，AB=6米； ∵点E是AB的中点， ∴AE=AD=×16=8米， ∵四边形ABCD是矩形， ∴=90°， ∴在中，BE==10米， ∵点E、F是AD、BC的中点， ∴DF=BE=10米， ∴雕刻在石柱上的巨龙的最短距离=DF+BE=10+10=20米. 故选：A． 【分析】根据柱体的性质将其侧面展开，可得矩形ABCD；根据线段中点的性质，可得AE的长度；根据勾股定理，可得BE的长度；根据两点之间线段最短即可直接计算. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，则沿线段AC爬行，就可以使爬行路线最短，是根据两点之间，线段最短． 故答案为：A． 【分析】先将正方体展成平面图形，确定平面图形中A、C的位置，连接AC，则AC的长即为爬行路线最短. 5．【答案】25 【解析】【解答】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 【分析】根据勾股定理即可求出答案. 6．【答案】25 【解析】【解答】解：如图， ∵长方体盒子的宽为，高为，， ∴， 故答案为：． 【分析】将长方体盒子沿过点A的高展开，连接AB，可得线段AB的长度就是蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理计算即可. 7．【答案】解：如图所示． ∵BC＝2cm，棱长为6cm， ∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm 由勾股定理得， AB＝＝10（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm． 【解析】【分析】根据正方体侧面展开图特征，结合勾股定理即可求出答案. 8．【答案】13 【解析】【解答】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接、，其中， 由题意可知：，， ∴需要爬行的最短路径是， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 【分析】连接、，其中，再根据勾股定理即可求出答案. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：根据下面的展开图可得，，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴他滑行的最短距离约为． 故答案为：A 【分析】根据展开图得到，，，进而根据勾股定理求出AE，从而即可求解。 10．【答案】B 【解析】【解答】解：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足AB2+BC2=AC2，则可判断△ABC是直角三角形，即∠B为直角；若AB2+BC2≠AC2，则∠B不是直角. 故答案为：B. 【分析】根据勾股定理的逆定理，如果AB2+BC2=AC2，则可判断△ABC是直角三角形，由此可推断∠B是否为直角. 11．【答案】C 【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得． 故选 C． 【分析】三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，根据勾股定理即可求出答案. 12．【答案】20 【解析】【解答】解：蚂蚁从A点爬到B点的最短路径，需将长方体的侧面展开为平面图形，利用勾股定理计算，分两种展开方式： ①将长方体的前侧面与右侧面展开， 此时形成的直角三角形两直角边分别为：高12cm，底面长与宽的和， 根据勾股定理，路径长； ②将长方体的前侧面与上侧面展开， 此时形成的直角三角形两直角边分别为：宽8cm，长与高的和， 根据勾股定理，路径长， ∵， ∴最短行程为20cm， 故答案为：20 【分析】本题考查立体图形表面最短路径问题，核心是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求解。解题时需考虑蚂蚁爬行的不同路径对应的展开方式，长方体从A到B的最短路径主要有两种展开情况：一是展开前侧与右侧，二是展开前侧与上侧；分别计算两种展开方式下直角三角形的斜边长（即路径长），再比较两个斜边长的大小，较小的即为最短行程。 13．【答案】15 【解析】【解答】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形， 过作于，作关于的对称点，连接交于，连接， 则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ，， ， ，， 在△中，由勾股定理得：， 故答案为：15． 【分析】沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据边之间的关系可得CQ，A'Q，再根据勾股定理即可求出答案. 14．【答案】5 【解析】【解答】解：如图，将长方体右边的表面翻折90°得长方形，连接AC，则AC的长即为绳子最短距离， ∴AC==5cm，即绳子最短是5cm. 故答案为：5cm. 【分析】将长方体右边的表面展开，连接AC，根据两点之间线段最短，可知AC的长即为绳子最短距离， 利用勾股定理求出AC的长即可. 15．【答案】15 【解析】【解答】 解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH， 过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE=A′E，A′P=AP， ∴AP+PC=A′P+PC=A′C， ∵（cm），A′Q=12-4+4=12（cm）， 在Rt△A′QC中，由勾股定理得：（cm）， 故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm. 故答案为：15. 【分析】过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，根据两点之间相等最短可得AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可． 16．【答案】（1）解：如图，连接AC， ∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m， ∴（m）， ∴AB+BC-AC=9+12-15=6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程； （2）解：∵CD=17m，AD=8m， AD2+AC2=DC2 ∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°， ∴（m2）， （m2）， ∴S四边形ABCD=60+54=114（m2）， 答：这片绿地的面积是 114m2. 【解析】【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，进而即可得出答案； （2）由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，然后由三角形的面积公式即可得出答案. 17．【答案】（1）25dm （2）10 dm （3）解：玻璃杯一半的侧面展开示意图如图(2)，作B关于EF 的对称点B'，作B'D⊥AE，交AE延长线于点 D，连接AB'，则AB'的长为最短路程. 由题意得DE=FB'=BF=1 cm，AE=9-4=5(cm)，所以 AD =AE+DE = 6 cm. 因为底面周长为16cm，所以 因为∠D=90°，所以在 中， 100，所以AB'=10cm，所以蚂蚁从外壁 B 处到内壁A 处所爬行的最短路程为10 cm 【解析】【解答】解：(1)由勾股定理，得 所以AB=25 dm.故答案为25 dm. (2)如图(1)，将圆柱侧面沿点C 所在高线展开，易知AC=AC'.因为圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4dm，所以AB=4dm，BC=BC'=3dm，所以 所以AC=5dm，所以2AC=10 dm.即这只蚂蚁爬行的最短路程为 10 dm. 故答案为10 dm. 【分析】(1)直接利用勾股定理进行求解即可； (2)将圆柱体侧面沿母线AB剪开展平，利用勾股定理求解即可； (3)将玻璃杯侧面沿过A，B的母线剪开展平，作B关于EF的对称点B'，作 交AE延长线于点D，连接AB'，根据两点之间线段最短可知AB'的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得. 学科网（北京）股份有限公司 $