第1章 问题解决策略：反思&第1章 三角形的证明及其应用 章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

(2)△ADE≌△FCE,AE=EF。又：BE⊥AF,∴BE是线段AF的垂直平分线。 AB=BF=BC+CF。AD=CF,AB=BC十AD。9.(1)证明：连接AE。EF是 AB的垂直平分线，∴AE=BE。:AD⊥BC,且D为CE的中点，AD是CE的垂直平分 线。∴AE=AC。.BE=AC。(2)解：：AE=BE,∠BAE=∠B=35°。∠AEC=∠B +∠BAE=70°。AE=AC,∴.∠C=∠AEC=70°。.∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。 思维拓展 10.A 第2课时三角形三边的垂直平分线 例题引路 【例1】证明：连接OA,OB,OC。,点O在AB,BC的垂直平分线上，.OA=OB=OC。.点 O在AC的垂直平分线上。【例2】解：如图所示：M4 ①作BC=a,并作其垂直平分 线MN交BC于点D:②在DM上截取DA=b:③连接AB,AC,则△ABC即为所求。 基础过关 1.D2.解：如图， AF即为所求。3.C4.解：：点P为△ABC三边垂直 B 平分线的交点，，.PA=PC=PB。∴.∠PAB=∠PBA,∠PAC=∠PCA=18°，∠PBC= ∠PCB=32。∴∠PAB=2180-2∠PAC-2∠PCB)=号×(180°-2X18°-2X32) =40°。5.C6.解：如图， 点P即为所求。 能力提升 7.D8.B9.1210.解：(1)如图， 直线MN即为所求。(2)：∠A=32, AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(I80°-∠A)=74°。MN垂直平分AB,BD=AD。 ∴∠ABD=∠A=32°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°。 思维拓展 11.(1)证明：连接PB,PC。PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,.PA=PB,PA=PC。 PB=PC。∴点P在线段BC的垂直平分线上。(2)证明：：PE垂直平分AB,PA= PB,FA=FB。∴.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。∴.∠PAB-∠FAB=∠PBA ∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(I),得PB=PC,.∠PBF= ∠PCN。∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN。(3)解：18Oe 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②平分线 例题引路 【例1】证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，∴.DE=DC,∠C=∠DEB= DE=DC. 90°。在△DEB和△DCF中，∠DEB=∠C,.△DEB≌△DCF(SAS)。.BD=FD. BE=FC, 【例2】证明：：BE⊥AC,CF⊥AB,∴.∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中， ∠BFD=∠CED, ∠FDB=∠EDC,∴.△BDF≌△CDE(AAS)。∴.DF=DE。又.DF⊥AB,DE⊥AC, BD=CD, .AD平分∠BAC。 基础过关 1.B2.C3.44.D5.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°。.D是 BC的中点品BD=CD,在Rt△BDE和Rt△CDF中，BECP·R1△BDE② Rt△CDF(HL)。.DE=DF。DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC。 第7页（共48页） 能力提升 6.C7.解：如图， 点M即为所求。8.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则 B ∠AED=90°=∠C。.'AD平分∠CAB,DC⊥AC,.CD=DE。∠ACD=∠AED=90°， AD=AD,.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。.AC=AE。:△ABC是等腰直角三角形， ∠B=45°。∠BDE=90°-∠B=45°。.DE=EB。.CD=EB。AB=AE+EB= AC+CD. 思维拓展 9.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作CN1 AD交AD的延长线于点N。,CN⊥AD,CM⊥AB,∴∠N=∠BMC=90°。，∠BAD十 ∠BCD=180°，∴∠ADC+∠B=180°。：∠CDN+∠ADC=180°，.∠B=∠CDN。:BC= CD,∴.△CBM≌△CDN(AAS)。.CM=CN。.'CN⊥AD,CM⊥AB,∴.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 L.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。：∠D=90°，.CD⊥AD。:AC平分 D,.CD=CE。在R△ADC和R△AFC中，{CD=CE,·RIAADC≌Rt△AFC AD=AF。同理，得BF=BE,∴AB=AF+BF=AD十BE。【变式题·一题多解】证法 (BC=FC, 一：证明：在△BCE和△FCE中，∠BCE=∠FCE,∴.△BCE≌△FCE(SAS)。∴.∠B= CE=CE, ∠CFE。'AD∥BC,∠A+∠B=180°。∴.∠A+∠CFE=180°。：∠CFE+∠DFE= M∠A=∠DFE, 18O°，∴.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE,.△ADE≌ DE=DE, △FDE(AAS)。∴.AD=FD。∴.CD=FD十FC=AD十BC。证法二：证明：在△DME和 (MD=CD, △DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌△DCE(SAS)。.ME=CE,∠M=∠DCE DE-DE. ∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。'AD∥BC,.∠MAE=∠B。在△AME和△BCE I∠M=∠BCE, 中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。..AM=BC。..CD=MD=AD+AM= ME=CE, AD十BC。2.证明：过点E作EF⊥BC于点F,则∠BFE=∠CFE=90°。：BD平分 ∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE=9O°。在Rt△ABE和Rt△FBE中， BE=BE:R△ABE≌R△FBE(HL)∴AB=FB。:EB=EC,EF⊥BC,FB=FC。 EA=EF, .BC=2FB=2AB。 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.25°3.证明：设AG,BM交于点P,过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点 E,PF⊥AC于点F。:AG平分∠BAC,BM平分∠ABC,∴.PD=PF,PD=PE。∴.PE= PF。∴.点P在∠ACB的平分线CN上。.AG,BM,CN交于一点。4.解：作三角形三条 角平分线的交点即可。如图， 点O即是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：1)9(2)0H=0A。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,0QLAC 于点Q。BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,∴.OH=OG。同理可得OH=OQ。∴.OG =OQ。∴A0平分∠BAC∠GA0=∠BAC=30.0G=20A.即0H=20A. 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法一：证明：CA=CB,∠A=∠B。DM∥AB, .∠CDM=∠A,∠M=∠B。∴.∠CDM=∠M。CD=CE,∴.∠CDE=∠CED。 :'∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴.∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90° .DE⊥DM。DM∥AB,.DE⊥AB。证法二：证明：：CD=CE,∴∠CDE=∠CED。 BN∥DE,∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。.∠CBN=∠N。CA=CB,∴∠A= ∠ABC。:∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，∴.∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN= 90°。BN⊥AB。:BN∥DE,.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG∥AC,交BC于点G, 则∠BGE=∠ACB,∠GED=∠F。:AB=AC,∠ACB=∠B。∴∠B=∠BGE。∴.BE ∠GED=∠F, =EG。在△GDE和△CDF中，DE=DF, .△GDE≌△CDF(ASA)。.EG= ∠EDG=∠FDC, 第8页（共48页） CF。.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长DB到F,使BF=BA,连接AF。 BF=BA,∴∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+∠BAF,∠ABC=2∠F。:∠ABC= 2∠C,∠F=∠C。∴AF=AC。AD⊥BC于点D,FD=CD,即FB+BD=CE+DE。 BF=BA,AE为BC边上的中线，即BE=CE,.BE十DE=AB十BD。(2)解：BE十DE =AB+BD,BD=2,DE=3,.(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，.AM ∈2AC。:AB=AC,AM=AV。F∠A=∠A,·△AMC≌2 CM=BN。【变式题1】3【变式题2】3【归纳总结】相等【进阶反思】相等 【策略运用D2.解：如图所示，（④（⑦）（①6一②-⑤一（③17-4+ 11-71+|6-1+12-61+|5-21+|3-5|=3+6+5十4+3+2=23。（答案不唯-一） 【变式题1】24【变式题2】40 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n一2)·180°360°等角等边60°相等60°一半相等 相等 考点整合 1.C2.45°3.解：(1)：∠BCD=10°，∠AEB=75°，∴.∠CFE=∠AEB-∠BCD=75°- 10°=65。∠AFD=∠CFE=65°。：CD是△ABC的高线，.∠ADC=90°。.∠BAE =90°-∠AFD=25°。(2)AE平分∠BAC,∠BAC=2∠BAE=50°。.∠ACD=90°- ∠DAC=40°。4.C5.AD=AB(答案不唯一)6.B7.B8.B9.(1)解：：△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°。：DE∥AB,∴.∠EDC=∠B=60°。EF⊥ DE,∴.∠DEF=90°。∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。(2)证明：：∠F+∠FEC= ∠ECD=60°，∠F=30°，.∠FEC=30°=∠F。.CE=CF。.△CEF是等腰三角形。 10.A11.1.212.D13.(1)证明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上，BP =CP。:AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,PD=PE。在Rt△BDP和 R△CEP中，BP=CP:R△BDP2R△CEP(HL)。BD=CE。(2)解：在R△ADP PD=PE, 和R△AEP中，{APER△ADP≌Rt△AEP(HL)。·AD=AE。:AB=6cm AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 14.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一)任务2：证明：.∠A= 40°，∠B=60°，.∠ACB=180°-∠A-∠B=80°。.在△ABC中，CD为角平分线， .∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。.CD=AD。.△ACD是等腰三角形。 ∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，∴.∠BDC=180°-100°=80°。 ∴∠BDC=∠ACB。又：∠B=∠B,∠BCD=∠A,△ABC与△CBD是“等角三角形”。 .CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92°或106°。（写出其中任何一 个即可)[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当△ACD是等腰三角形，CD=AD 时，∠BCD=∠ACD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD十∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三 角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°，∠BCD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+ ∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形，CD=AC时，不符合题意，舍去；④当△BCD是 等腰三角形，CD=BD时，∠ACD=∠B=∠BCD,∠B=180°？∠A=46。÷∠ACB= 3 180°-∠A-∠B=92°：⑤当△BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B,∠BCD= ∠BDC=∠A+∠ACD=42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B+∠B=180°。 ∴∠B=32°，∠ACB=180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不 符合题意，舍去。综上所述，∠ACB的度数为84°或111°或92°或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.D2.D3.B4.x2+y2≤105.解：(1)x2≥0。(2)-x-1≥2。(3)x十17<5x。 (4)4m>5π。 能力提升 10+m>10 6.C7.100+m>100 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10-x)>25。(2)根据题意，得3 400x十2×700(10-x)≥12000。 第2课时不等式的解与解集 基础过关 A2个B3.2x<6(答案不唯-）4.C5.C6.解：1)方0广方 (2) -5-4-3-2-101 第9页（共48页）问题解决策略：反思 【导语】“反思”并非解题后的冗余环节，而是深化思雏深度的核心策略。本次聚焦“一题多变”：以基 础题为依托，通过变更条件、转换设问、拓展场景，打破思维定式，挖掘题目背后潜藏的数学规律。 1.一题多变思维延伸小明想要证明命题：等腰 【进阶反思】挖掘隐含条件，在△ABC中，AB= 三角形两腰上的中线相等。 AC,通过对称性易得△ABC≌△ACB,上述 请将该命题的已知与求证补充完整，并证明。 结论拓展到全等三角形对应中线、高、角平 已知：如图，在△ABC中，AB ,CM, 分线的性质方面，可得全等三角形对应边上 BN分别为AB,AC边上的中线。 的中线、高、角平分线分别 【策略运用】如图，在△ABC中，AB=AC,点 求证： D,E分别在边AB和AC上，连接BE,CD, 交点为F。若AB=4AD,AC=4AE,则下列 结论不一定正确的是 ( A.BE=CD B.∠ABE=∠ACD C.DF-EF D.CF-CE 2.一题多变思维延伸将1~7这7个数字填入 下图7个直线型圆圈内，使得相邻两数差的 绝对值的和最大。 拓展思考：若M,V分别是腰AB,AC上的三等分 核心策略：让最大数与最小数交替排列，通 点，则CM与BN仍然相等吗？n等分点呢？ 过最大化每一步的差值来累加相邻两数差 【变式题1】等腰三角形两腰上的中线→高 的绝对值的总和 如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点 D,CE⊥AB于点E。若BD=3,则CE的长 为 【变式题1】改变条件，直线型→环形（首尾相连） 将1~7填入图中7个圆圈内，统计相邻两个圆 圈之差（大减小），那么7个差之和最大为 (变式题1图)（变式题2图）（策略运用图） 【变式题2】等腰三角形两底角的平分线 如图，在△ABC中，AB=AC,BD和CE是 △ABC的角平分线。若BD=3,则CE的长 为 (变式题1图) (变式题2图) 【变式题2】改变条件，增加数字 拓展思考：若∠ACE=1∠ACB,∠ABD=1 ABC. 将0~8这9个数字填入图中9个圆圈内，使 则CE与BD仍然相等吗？ 得相邻两数差的绝对值的和最大，这个最大 【归纳总结】等腰三角形两腰上的中线、高、 值为 两底角的平分线分别 提示 请完成阶段微测试（二）[1.3一1.5] 第一章三角形的证明及其应用33 第一章 章末复习 思维导图 ···构建知识体系 定理三角形三个内角的和等于 推论 三角形的一个外角等于和它 的两个内角的和， 任何一 三角形内角和 个和它不相邻的内角 -n边形的内角和等于 多边形的内角和与外角和 多边形的外角和都等于 性质—等边对 ；三线合 等腰三角形 判定一等角对 性质一三个角都等于 等边三角形 的 判定三个角都 的三角形；有一个角等于 的等腰三角形 30°所对直角边的性质 30°角所对直角边等于斜边的 直角三角形 勾股定理及其逆定理 直角三角形全等的判定 线段的垂直平分线 性题点到线段两个端点的距离 判定 角平分线 性质 判定 点到角的两边的距离 【考点整合 ◆●◆直击核心要点 考点1三角形内角和定理及推论 (2)若AE平分∠BAC,求∠ACD的度数。 1.(2025·黔东南期未)如图，在△ABC中，∠A 50°，∠C=70°，BD平分∠ABC,交AC于点 D,那么∠BDC的度数是 ) A.60° B.70° C.80° D.90° P 80 起重机 Be (第1题图) (第2题图) 2.一台起重机的工作简图如图所示，前后两次 考点2全等三角形 吊杆位置OP,OP2与线绳（线绳垂直于地 4.如图，已知△ABC≌△DAE,BC=2,DE= 面)的夹角分别是35°和80°，则吊杆前后两 5,则CE的长为 次的夹角∠POP2的度数为 A.2 3.(2025·毕节期未)如图，CD是△ABC的高 B.2.5 线，E为BC边上的一点，连接AE交CD于 C.3 点F,∠BCD=10°，∠AEB=75°。 D.3.5 (1)求∠BAE的度数； 34数学Ⅲ八年级下册(BS) 5.如图，在四边形ABCD 考点5直角三角形 中，∠BAC=∠DAC,请 A 10.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,由下列 补充一个条件： 条件不能判断△ABC是直角三角形的是 ,使△ABC≌△ADC。 (） 考点3 多边形的内角和与外角和 A.∠A=2∠B=3∠C 6.下列多边形中，内角和等于360°的是( B.∠A=∠C-∠B C.a:b:c=3:4:5 D.a2=(b+c)(b-c) B 11.(2025·南通中考)南通是“建筑之乡”，工 7.(2025·凉山中考)已知一个多边形的内角 程建筑中经常采用三角形的结构。屋架设 和是它的外角和的4倍，则从这个多边形的 计图的一部分如图所示，E是斜梁AC的中 一个顶点处可以引对角线的条数为( 点，立柱AD,EF垂直于横梁BC。若AC= A.6 B.7 C.8 D.9 4.8m,∠C=30°，则EF的长为 m。 考点4等腰三角形的性质与判定 8.(2025·铜仁模拟)如图， △ABC和△ADE均为等边三 B D 角形，点B,D,E在同一直线 考点6线段的垂直平分线和角平分线 上，若∠EBC=35°，则∠ECA 12.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥ 的度数为 OA,ED⊥OB,垂足分别是C,D,连接CD。 下列结论不一定成立的是 ( Λ.35° B.25° C.30° D.45° A.DE-CE 9.（2025·遵义期末)如图，在等边三角形ABC B.EO平分∠DEC 中，点D,E分别在边BC,AC上，且DE∥ C.OE垂直平分CD AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于 D.CD垂直平分OE 点F。 13.如图，AP是△ABC的外角∠DAC的平分 (1)求∠F的度数； 线，交BC边的垂直平分线于点P,PD (2)求证：△CEF是等腰三角形。 AB于点D,PE⊥AC于点E。 (1)求证：BD=CE; (2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长。 第一章三角形的证明及其应用35 【聚焦课标 、强化情境任务 14.新定义新趋势根据引入概念，理解应用概念。 经历数学概念的学习过程 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么称这两个三角形 概念1 互为“等角三角形”。 引入概念 连接不等边三角形的一个顶，点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三 概念2 角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来三角形互为“等角三角 形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”。 问题解决 (1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1 任务1 AB,写出图中两对“等角三角形”。 ① ;② 。 图① 理解概念 (2)如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A= 任务2 40°，∠B=60°。 求证：CD是△ABC的“等角分割线”。 D 图② (3)在△ABC中，若∠A=42°，CD为△ABC的“等角分割线”，写出∠ACB可能的 应用概念 任务3 度数（写出一个即可）。 36数学Ⅲ八年级下册(BS)