第1章 问题解决策略：反思&第1章 三角形的证明及其应用 章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

问题解决策略：反思 【导语】“反思”并非解题后的冗余环节，而是深化思雏深度的核心策略。本次聚焦“一题多变”：以基 础题为依托，通过变更条件、转换设问、拓展场景，打破思维定式，挖掘题目背后潜藏的数学规律。 1.一题多变思维延伸小明想要证明命题：等腰 【进阶反思】挖掘隐含条件，在△ABC中，AB 三角形两腰上的中线相等。 AC,通过对称性易得△ABC≌△ACB,上述 请将该命题的已知与求证补充完整，并证明。 结论拓展到全等三角形对应中线、高、角平 已知：如图，在△ABC中，AB ,CM, 分线的性质方面，可得全等三角形对应边上 BN分别为AB,AC边上的中线。 的中线、高、角平分线分别 【策略运用】如图，在△ABC中，AB=AC,点 求证： D,E分别在边AB和AC上，连接BE,CD, 交点为F。若AB=4AD,AC=4AE,则下列 结论不一定正确的是 ( A.BE=CD B.∠ABE=∠ACD C.DF-EF D.CF-CE 2.一题多变思维延伸将1~7这7个数字填入 下图7个直线型圆圈内，使得相邻两数差的 绝对值的和最大。 拓展思考：若M,V分别是腰AB,AC上的三等分 核心策略：让最大数与最小数交替排列，通 点，则CM与BN仍然相等吗？n等分点呢？ 过最大化每一步的差值来累加相邻两数差 【变式题1】等腰三角形两腰上的中线→高 的绝对值的总和 如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点 D,CE⊥AB于点E。若BD=3,则CE的长 为 【变式题1】改变条件，直线型→环形（首尾相连） 将1~7填入图中7个圆圈内，统计相邻两个圆 圈之差（大减小），那么7个差之和最大为 (变式题1图)（变式题2图）（策略运用图） 【变式题2】等腰三角形两底角的平分线 如图，在△ABC中，AB=AC,BD和CE是 △ABC的角平分线。若BD=3,则CE的长 为 (变式题1图) (变式题2图) 【变式题2】改变条件，增加数字 拓展思考：若∠ACE=1∠ACB,∠ABD=1 ABC, 将0~8这9个数字填入图中9个圆圈内，使 则CE与BD仍然相等吗？ 得相邻两数差的绝对值的和最大，这个最大 【归纳总结】等腰三角形两腰上的中线、高、 值为 两底角的平分线分别 提示 请完成阶段微测试（二）[1.3一1.5] 33第一章三角形的证明及其应用 第一章 章末复习 思维导图 。。·构建知识体系 定理一三角形三个内角的和等于 推论一三角形的一个外角等于和它 的两个内角的和， 任何 三角形内角和定理 个和它不相邻的内角 一n边形的内角和等于 多边形的内角和与外角和 多边形的外角和都等于 性质 等边对 ；三线合 等腰三角形 判定一等角对 性质一三个角都等于 等边三角形 的 判定三个角都 的三角形；有一个角等于 的等腰三角形 30°所对直角边的性质 30°角所对直角边等于斜边的 直角三角形 勾股定理及其逆定理 直角三角形全等的判定 线段的垂直平分线 性题点到线段两个端点的距离 判 角平分线 性质 判定 点到角的两边的距离 【考点整合 ◆◆直击核心要点 考点1三角形内角和定理 5.(2025·长春中考)图①是一个正十二面体， 1.(2025·榆林月考)如果一个三角形的三个内角 它的每个面都是正五边形，图②是其表面展 度数之比为2：3：4，则该三角形是( 开图，则∠a的度数为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 2.(2025·凉山中考)已知一个多边形的内角和 是它的外角和的4倍，则从这个多边形的一个 图① 图② 顶点处可以引对角线的条数为 考点2全等三角形 A.6 B.7C.8 D.9 6.(2025·渭南韩城市期末)下列条件中，不能 3.(2025·延安安塞区月考)如图，在△ABC 判定△ABC≌△DEF的是 中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC A.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E 的高，AD与BE相交于点F,∠C=74°， B.AB=DE,BC=EF,∠B=∠E ∠ABC=46°，则∠BFD的度数为( ) A.75 B.70 C.65° D.60° C.∠A=∠D=90°，AB=DE,BC=EE D.BC=EF,∠B=∠E,AC=DF 7.(2025·渭南月考)如图，在 △ABC中，BD是△ABC的 (第3题图) (第4题图) 中线，分别过点A,C作BD 4.(2025·安康期末)如图，∠2=2∠1，∠3 的垂线，垂足为E,F。若DE=6,CF=8, 70°，∠4=120°，则∠1的度数是 BF=10,则△ABC的面积是 数学八年级下册(BS)34 考点3等腰三角形的性质与判定 点，立柱AD,EF垂直于横梁BC。若AC 8.(2025·陕西中考)如图，在△ABC中，点D 4.8m,∠C=30°，则EF的长为m。 在边BC上，∠ADB=2∠C。若AB=5, BC=6,则△ABD的周长为 ( A.8 B.10 C.11 D.12 B D 考点5线段的垂直平分线和角平分线 13.(2025·咸阳杨陵区期末)如图，在△ABC 中，D,E为边AC上两点，连接BD,BE, DF⊥BE于点F,若∠A=90°，AD=DF, (第8题图) (第9题图) ∠DBF=25°，则∠BEC的度数为() 9.如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点 A.115°B.120°C.125°D.140 B,D,E在同一直线上，若∠EBC=35°，则 B ∠ECA的度数为 ( ) A.35° B.25° C.30° D.45° 10.(2025·榆林横山区期末)如图，BE和CF (第13题图) (第14题图) 是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且 14.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥ HB=HC,∠A=60°。求证：△ABC为等 OA,ED⊥OB,垂足分别是C,D,连接CD。 边三角形。 下列结论不一定成立的是 ( ) A.DE-CE B.EO平分∠DEC C.OE垂直平分CDD.CD垂直平分OE 15.如图，AP是△ABC的外角∠DAC的平分 线，交BC边的垂直平分线于点P,PDL AB于点D,PE⊥AC于点E。 (1)求证：BD=CE: (2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长。 考点4直角三角形 11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,由下 列条件不能判断△ABC是直角三角形的 是 ) A.∠A=2∠B=3∠C B.∠A=∠C-∠B C.a:b:c=3:4:5 D.a2=(b+)(b-c) 12.(2025·南通中考)南通是“建筑之乡”，工 程建筑中经常采用三角形的结构。屋架设 计图的一部分如图所示，E是斜梁AC的中 35第一章三角形的证明及其应用 【聚焦课标 、强化情境任务 16.新定义新趋势根据引入概念，理解应用概念。 经历数学概念的学习过程 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么称这两个三角形 概念1 互为“等角三角形”。 引入概念 连接不等边三角形的一个顶，点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三 概念2 角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来三角形互为“等角三角 形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”。 问题解决 (1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ 任务1 AB,写出图中两对“等角三角形”。 ① ;② 图① 理解概念 (2)如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A= 任务2 40°，∠B=60°。 求证：CD是△ABC的“等角分割线”。 D 图② (3)在△ABC中，若∠A=42°，CD为△ABC的“等角分割线”，写出∠ACB可能的 应用概念 任务3 度数（写出一个即可）。 数学八年级下册(BS)36∠CED。.∴.∠CBN=∠N。,'CA=CB,∴.∠A=∠ABC。,∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，∴.∠ABC+∠CBN=90°，即 ∠ABN=90°。∴.BN⊥AB。:BN∥DE,∴.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG∥AC,交BC于点G,则∠BGE=∠ACB,∠GED= ∠GED=∠F, ∠F。:AB=AC,.∠ACB=∠B。∠B=∠BGE。.BE=EG。在△GDE和△CDF中，JDE=DF, .△GDE≌ ∠EDG=∠FDC, △CDF(ASA)。∴.EG=CF。∴.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长DB到F,使BF=BA,连接AF。BF=BA, .∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+∠BAF,∴.∠ABC=2∠F。:∠ABC=2∠C,∴.∠F=∠C。∴.AF=AC。AD⊥BC于点D, .FD=CD,即FB+BD=CE+DE。,BF=BA,AE为BC边上的中线，即BE=CE,.BE+DE=AB十BD。(2)解：，BE+DE =AB+BD,BD=2,DE=3,.(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：CM是AB边上的中线，BV是AC边上的中线，AM=号AB,AV=AC。“AB=AC,AM AN。∠A=∠A,.△AMC≌△ANB(SAS)。.CM=BN。 【变式题1】3【变式题23【归纳总结】相等【进阶反思】相等 【策略运用】D2.解：如图所示。 )-(7)-(1)6)-(2)(5)(3)17-41+11-71+16-11+2-61+15-21+ |3-51=3+6十5十4十3十2=23。（答案不唯一）【变式题1】24【变式题2】40 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n-2)·180°360°等角等边60°相等60°一半相等相等 考点整合 1.A2.B3.D4.25°5.36°6.D7.1288.C9.B10.证明：HB=HC,∠HBC=∠HCB。CF⊥AB,BE⊥AC, .∠BFC=∠BEC=90°。∴.∠ABC+∠BCH=90°，∠ACB+∠CBH=90°。.∠ABC=∠ACB。∴.AB=AC。:∠A=60°， .△ABC是等边三角形。11.A12.1.213.D14.D15.(1)证明：连接BP,CP。:点P在BC的垂直平分线上，BP= BP=CP, CP。AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,∴PD=PE。在Rt△BDP和Rt△CEP中， .Rt△BDP≌ PD=PE, RCEPO),BD=CE。2)解：在RAADP和RAEP中，AP=AP RAADPS≌RLAAEPCHI)..AD=AE PD=PE, .AB=6cm,AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 16.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一）任务2：证明：：∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-∠A ∠B=80°。：在△ABC中，CD为角平分线，∴∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。.CD=AD。.△ACD是等腰三角形。 :∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，.∠BDC=180°-100°=80°。.∠BDC=∠ACB。又：∠B=∠B, ∠BCD=∠A,△ABC与△CBD是“等角三角形”。∴.CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92或106°。（写 出其中任何一个即可)[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当△ACD是等腰三角形，CD=AD时，∠BCD=∠ACD= ∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°，∠BCD=∠A=42°， ∴·∠ACB=∠ACD十∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形，CD=AC时，不符合题意，舍去；④当△BCD是等腰三角形，CD= BD时，∠ACD=∠B=∠BCD,∠B=180°∠A=46°。÷∠ACB=180°-∠A-∠B=92:O当△BCD是等腰三角形，BC= 3 BD时，∠ACD=∠B,∠BCD=∠BDC=∠A+∠ACD=42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B十∠B=180°。.∠B= 32°，∠ACB=180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不符合题意，舍去。综上所述，∠ACB的度数为84 或111°或92或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.A2.D3.B4.x2+y≤105.解：(1)x≥0。(2)-x-1≥2。(3)x+17<5x。(4)4m>5π 能力提升 6.c100品 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10-x)>25。(2)根据题意，得3×400x十2×700(10-x)≥12000。 第9页（共48页）