2.2 一元二次方程的解法第4课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦用因式分解法求解一元二次方程，课堂导入先复习分解因式（如5x²-4x=x(5x-4)等），通过“数的平方与3倍是否相等”的问题引出方程x²=3x，对比不同解法搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题探究驱动，对比小颖（公式法）、小明（错误解法）、小亮（因式分解法）的过程培养推理意识，小结明确四步步骤用数学语言规范表达。学生能发展抽象能力和推理意识，教师可借助实例提升教学效率。

第2章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 复习导入 将下列各式分解因式： (1)5x2－4x＝____________； (2)x2－4x＋4＝_________； (3)4x(x－1)－2＋2x＝_______________； (4)x2－4＝_______________； (5)(2x－1)2－x2＝_____________。 x(5x－4) (x－2)2 2(x－1)(2x＋1) (x＋2)(x－2) (3x－1)(x－1) 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 实践探究 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都设这个数为x。根据题意，可得方程x2＝3x。但他们的解法各不相同： 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3 小颖：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0。 这里a＝1，b＝－3，c＝0。 ∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×0＝9＞0， ∴x＝2× 。即x1＝3，x2＝0， ∴这个数是3或0。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 小明：方程x2＝3x两边同时约去x，得x＝3， ∴这个数是3。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 小亮：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0， 即x(x－3)＝0。 于是x＝0，或x－3＝0。 ∴x1＝3，x2＝0， ∴这个数是3或0。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 “或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。 如果 ab = 0，那么 a = 0 或 b = 0 . 说一说，你是怎么理解这句话的？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (1)以上三种解法都对吗？为什么？ 解法分析 (2)三种解法分别用的是什么方法？ (3)小亮的解法是我们以前学过的哪种变形？利用这种方法解方程的依据是什么？ (4)你能总结一下什么是因式分解法吗？对于这道题，哪种解法更简便？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 归纳 x2-3x = 0 x(x-3) = 0 当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解. 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 应用举例 【例1】 解下列方程： （1）5x2 = 4x； 【方法指导】先让学生观察第(1)个方程的特点，然后让学生试着口述解题过程，教师根据学生的回答板书，期间可以做出必要的引导，如：移项要使“＝”号的右边为“0”；分解因式要先判断是否有公因式，若有公因式，则先用提公因式法分解因式；利用“若ab＝0，则a＝0或b＝0”将原来的一元二次方程转化成两个一元一次方程。 解：（1）原方程可变形为 5x2–4x = 0 ， x(5x– 4) = 0 ， x = 0 ，或 5x–4 = 0. x1＝0，x2 ＝。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例1】 解下列方程： （2）x(x - 2) = x - 2. 解： （2）原方程可变形为 x(x–2) – (x–2) = 0 ， (x–2)(x–1) = 0 ， x–2 = 0 ，或 x–1 = 0. x1 = 2 ，x2 = 1. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】用适当的方法解下列方程： (1)3x(x＋5)＝5(x＋5)； (2)3x2＝4x＋1； (3)5x2＝4x－1。 【方法指导】解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解。能用因式分解法或直接开平方法的，选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解。在用公式法时，要先计算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，则判断原方程没有实数根。没有特殊要求时，一般不用配方法。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】用适当的方法解下列方程： (1)3x(x＋5)＝5(x＋5)； 解：(1)原方程可变形为 3x(x＋5)－5(x＋5)＝0， (x＋5)(3x－5)＝0， 所以x1＝－5，x2＝。 x＋5＝0，或3x－5＝0， 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】用适当的方法解下列方程： (2)3x2＝4x＋1； (3)5x2＝4x－1。 解：(2)将方程化为一般形式，得3x2－4x－1＝0。 这里a＝3，b＝－4，c＝－1。 ∵b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0， ∴x＝ ＝ ＝， 即x1＝ ，x2＝ 。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】用适当的方法解下列方程： (3)5x2＝4x－1。 解：(3)将方程化为一般形式，得5x2－4x＋1＝0。 这里a＝5，b＝－4，c＝1。 ∵b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0， ∴原方程没有实数根。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 操作·思考 x2–4 = 0 解：原方程可变形为 (x + 2)(x－2) = 0 x + 2 = 0 或 x－2 = 0 x1 =－2，x2 = 2. (x+1)2–25 = 0 解：原方程可变形为 (x + 1 + 5)(x + 1－5) = 0 (x + 6)(x－4) = 0 x + 6 = 0 或 x－4 = 0 x1 =－6，x2 = 4. 你能用因式分解法解方程 x2–4=0，(x+1)2–25 = 0 吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解. 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 方程右边化为______. 将方程左边分解成两个__________的乘积. 至少________因式为零，得到两个一元一次方程. 两个__________________就是原方程的解. 0 一次因式 有一个 一元一次方程的解 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 随堂练习 用因式分解法解下列方程： （1）(x + 2)(x–4) = 0； （2）4x(2x + 1) = 3(2x + 1). 解：（1） x + 2 = 0 或 x–4 = 0 x1 = –2，x2 = 4. （2）原方程可变形为 4x(2x + 1) –3(2x + 1) = 0 (2x + 1)(4x – 3) = 0 2x + 1 = 0 或 4x–3 = 0 x1＝，x2＝. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 一个数平方的 2 倍等于这个数 的 7 倍，求这个数. 解：设这个数为 x. 2x2 = 7x. 2x2 - 7x = 0. x(2x – 7) = 0. x = 0 或 2x–7 = 0. x1＝，x2＝. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．用因式分解法解下列方程： (1)(x＋2)(x－4)＝0； (2)4x(2x＋1)＝3(2x＋1)； (3)4(x－1)＝(x－1)2； (4)x(x＋2)＝4＋2x。 解：(1)x1＝－2，x2＝4。 (2)x1＝－，x2＝。 (3)x1＝1，x2＝5。 (4)x1＝－2，x2＝2。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．已知三角形的两边分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长。 解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0， 得x1＝7，x2＝10。 ∵当x＝10时，3＋7＝10，不符合三角形的三边关系， ∴x2＝10不合题意，舍去。∴x＝7， ∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $