2.2《一元二次方程的解法》第3课时《因式分解法解一元二次方程》教学课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解法解一元二次方程，通过小球竖直上抛实际问题导入，温故知新回顾配方法、公式法的降次思想，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解“若ab=0则a=0或b=0”的核心原理及“移项、分解、求解”步骤。 其亮点在于结合实际情境建模和错误案例分析，培养模型意识与推理意识，如通过小明约去含未知数项丢根的错误，引导学生感悟严谨思维的重要性。课堂小结采用思维导图梳理原理、步骤、误区及方法择优策略，助力学生系统掌握知识，教师可高效开展教学，提升学生解题能力与数学思维品质。

第二章 一元二次方程 第一节 求解一元二次方程 第3课时 因式分解法解一元二次方程 主讲人：X老师 授课班级：XX级X班 北师大新版数学九年级上册 1.7.2013 同学们好！今天我们继续学习第二章《一元二次方程》。在上一节课中，我们已经掌握了用公式法解一元二次方程。今天，我们将学习一种更简便、更快捷的方法——因式分解法。通过本节课的学习，大家将能够解决一类特殊的一元二次方程，让我们一起开启今天的数学之旅吧！ ‹#› 课程目录 01. 本节思路 明确学习路径与目标 02. 教学目标 掌握知识与技能要求 03. 温故知新 回顾旧方法，铺垫新知识 04. 新知探究 探索因式分解法的奥秘 05. 例题精析 熟练运用因式分解法解方程 06. 课堂小结 总结归纳，巩固所学 07. 课后巩固 应用知识，解决问题 1.7.2013 本节课我们将按照这七个步骤进行。首先，我们会明确本节课的学习思路和目标。然后，通过回顾旧知识来引入新方法。接着，我们将深入探究因式分解法的原理和步骤，并通过例题进行巩固。最后，我们会进行课堂小结和课后练习。希望同学们能跟上节奏，积极思考。 ‹#› 01 本节思路 明确学习路径与目标，开启本节课的学习之旅。 1.7.2013 首先，让我们明确一下本节课的学习思路。我们将从一个有趣的实际问题出发，通过对比不同的解法，引出因式分解法。然后，我们会深入学习这种方法的原理和步骤，并通过一系列例题来巩固。最后，我们会总结这种方法的优缺点，并与之前学过的方法进行比较。 ‹#› 本节思路 因式分解法：解一元二次方程的“简便利器”。它是解某些特殊一元二次方程的快捷方法，通过将方程变形为乘积形式实现降次，能更高效地求出方程的根。 思考：面对小球运动的方程 ，除了配方法，我们能否通过因式分解的方式，更快速地求出方程的解呢？ 学习思路 01. 聚焦研究对象 本节课聚焦于研究因式分解法解一元二次方程。它是解特定一元二次方程的简便高效方法，核心是利用因式分解将二次方程转化为一次方程求解。 02. 遵循科学路径 从实际问题（小球竖直上抛）出发，对比不同解法感受其优越性；接着探究因式分解法的原理，总结“移项、分解、求解”的标准解题步骤。 03. 明确课堂目标 理解因式分解法的核心降次思想，掌握提公因式、公式分解等方法，能熟练运用该方法快速求解一元二次方程并解决相关实际问题。 1.7.2013 大家请看这张图，这是一个小球竖直上抛的问题。这个问题可以转化为一个一元二次方程。我们将通过解决这个问题，来探索一种新的解方程的方法。我们的学习路径是：首先聚焦于因式分解法这个新工具，然后通过科学的探究步骤，最终达到能够熟练运用它的目标。 ‹#› 02 教学目标 明确学习目标，把握学习方向。 1.7.2013 接下来，我们来看一下本节课的具体教学目标。这节课我们要学什么，要掌握什么，都在这里明确了。希望大家带着这些目标来学习，这样能更有针对性。 ‹#› 教学目标 目标1： • 理解“若则或”的原理 • 掌握因式分解法解方程的完整步骤 • 熟练运用提公因式法解相关方程 目标2： • 经历特殊到一般推导，培养逻辑思维 • 对比不同解法，体会因式分解法优势 • 在解题中提升观察、分析与归纳能力 目标3： • 在实际应用中感受数学的实用价值 • 通过纠错培养严谨求实的科学态度 • 在掌握新方法中收获自信与成就感 学习建议：紧扣“降次”核心理解方法，多对比不同解法的优劣；解题时先观察方程结构再选择分解方式，注意因式分解的彻底性；尝试用因式分解法解决生活中的面积、增长率等实际问题。 1.7.2013 本节课的目标分为三个维度。在知识与技能上，我们要理解原理、掌握步骤。在过程与方法上，我们要学会思考和对比。在情感态度上，我们要感受数学的魅力，培养严谨的学风。希望大家在学习过程中，不仅学会知识，更能提升能力。 ‹#› 03 温故知新 回顾旧知识，衔接新知识。 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下已经学过的内容。我们已经学过用配方法和公式法来解一元二次方程。这两种方法都很通用，但有时候计算会比较繁琐。那么，有没有更简单的方法呢？这就是我们今天要探讨的问题。 ‹#› 温故知新 知识回顾：我们学过的一元二次方程解法 配方法回顾 通过配成完全平方式将“二次”降为“一次”。关键步骤：移项→化系数为1→配方→变形→求解。是推导公式的基础。 公式法通解 通用解法，直接代入公式：。适用于所有一元二次方程，是解题的“万能钥匙”。 核心：降次思想 两种方法本质都是将未知的“二次”方程转化为已知的“一次”方程求解，体现了数学中重要的转化与化归思想。 灵活选择策略 缺一次项用开平方法；易配方用配方法；系数复杂或通用情况用公式法。针对不同方程，选择最优解法可事半功倍。 思考与引入：探寻更优解法｜ 小球上抛得方程 ，若用公式法计算繁琐，能否通过因式分解快速求解？这正是我们要探索的新解法！ 1.7.2013 我们回顾一下配方法和公式法。配方法是基础，公式法是通法。现在，我们来看这个小球运动的问题，它列出的方程是 15t - 5t² = 0。如果用公式法，计算量不小。大家可以思考一下，有没有更简单的方法来解这个方程？ ‹#› 04 新知探究 从一般形式出发，探索因式分解法的奥秘。 1.7.2013 好的，通过小球弹起的问题，我们已经初步认识了因式分解法。接下来，我们将从更一般的形式出发，系统地学习因式分解法的原理和应用，探索它更多的奥秘。 ‹#› 新知探究 数学视角：这是一个典型的“运动建模”问题，将竖直上抛的物理过程转化为一元二次方程，通过求解方程探索运动的时间规律，体现数形结合的思想。 思考：当小球落回地面时高度，代入公式得到方程，如何解这个方程？两个解分别代表什么物理意义？ 探究路径 01. 建立模型，关联实际 结合物理中的竖直上抛运动，提取初速度、重力加速度等关键条件，建立高度与时间的二次函数关系，将生活现象转化为数学问题。 02. 转化问题，构建方程 根据“落回地面时高度为0”的条件，将函数问题转化为一元二次方程，明确方程的未知量与求解目标，为后续计算做准备。 03. 求解辨析，回归本质 通过因式分解等方法求解方程，得到时间的数值解，并结合物理情境辨析解的合理性，理解数学解与实际问题的对应关系。 一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度(单位:m)与时间(单位:s)满足关系:。小球从弹出到落回地面，经过了几秒? 情境导入：小球的运动轨迹 1.7.2013 同学们，请看大屏幕。这是一个非常有趣的物理现象：一个小球被竖直向上抛出。它的高度和时间之间存在一个函数关系。现在，我们的问题是：这个小球从抛出到落回地面，一共需要多长时间？大家可以先思考一下，这个问题如何转化为数学问题来解决？ ‹#› 新知探究 从实际情境抽象出一元二次方程的解题步骤 步骤1：分析条件 关键现象：小球落回地面，意味着其竖直高度 。这是将物理情境转化为数学条件的核心。 步骤2：建立方程 代入公式：将代入高度公式 ，得到方程 ，即 。 步骤3：明确目标 求解对象：解此一元二次方程，找出满足条件的时间 的正数值（），即小球落地所需的时间。 建模核心思路 把实际问题中的“状态描述”转化为“数学等式”，再代入已知的函数关系，从而构建出待解的方程模型。 思考与追问：方程 等号左边有公因式吗？我们能否通过提取公因式的方法快速求出方程的解？这就是因式分解法的雏形！ 1.7.2013 要解决这个问题，我们首先要分析题目中的关键条件。小球落回地面，意味着它的高度h等于0。我们将h=0代入给出的公式，就得到了一个一元二次方程：15t - 5t² = 0。现在，问题就转化为了解这个方程。 ‹#› 新知探究 解法一：小颖的公式法 回顾旧知，严谨推导求解 01 整理方程：由 ，移项得 。 02 确定系数：二次项系数 ，一次项系数 ，常数项。 03 判别式：，方程有两个不等实根。 04 代入求根：，得 。 05 结果分析：表示小球弹出的初始时刻，表示小球经过3秒落回地面。此方法逻辑严谨但计算步骤相对繁琐。 1.7.2013 我们先来看看小颖同学的解法。她使用了我们上节课学的公式法。首先整理方程，确定a, b, c的值，然后代入求根公式。计算过程是对的，也得到了正确的答案。但是，大家有没有觉得，用公式法解这个方程，有点“杀鸡用牛刀”的感觉？计算过程还是挺麻烦的。 ‹#› 新知探究 解法二：小明的“简便”法 看似巧妙，实则有误 【小明的解题步骤】 1. 整理方程：由，得5。 2. 两边约去：方程两边同时除以， 化简后得到： 结论：小明认为方程的解为。 【课堂思考与剖析】 ❓ 小明得到的 是方程的根吗？ ❓ 他的答案完整吗？方程还有其他解吗？ 💡 核心问题：方程两边能直接约去吗？ 提示：注意除数不能为零！ 1.7.2013 再来看小明同学的解法。他觉得公式法太麻烦，于是想了一个“简便”方法。他把方程变形为5t² = 15t，然后直接两边约去5t，得到t=3。看起来很快，也得到了一个正确答案。但是，他的解法对吗？他的答案完整吗？大家可以讨论一下。 ‹#› 新知探究 认知冲突：为何会漏掉解？ 01. 错误根源深度剖析 ❌ 错误症结：小明在方程两边同时“约去”含未知数的代数式，忽略了的可能性，导致丢失了这个根。 �� 数学警示：方程变形时，严禁随意除以含未知数的代数式！因为它的值可能为0，此时不仅无意义，更会丢失关键的解。 🤔 深度追问：有没有一种方法，既能避免繁琐计算，又能确保不丢根？（提示：尝试因式分解法中的“提公因式法”） 避坑指南：遇到含公因式的方程，优先用因式分解法（提公因式）求解，把方程化为乘积为0的形式，这样能完整保留所有根，避免因盲目约分造成的丢根错误。 1.7.2013 大家讨论得非常好。小明的错误就在于他随意地在方程两边除以了5t。他忽略了5t可能等于0的情况。如果5t等于0，那么t=0，这也是方程的一个解，他把这个解给弄丢了。所以，我们不能在方程两边同时除以一个含有未知数的代数式，因为它可能为0。那么，到底有没有一种方法，既能像小明的方法一样简单，又能像小颖的方法一样严谨呢？ ‹#› 新知探究 小亮的巧妙解法 01. 解题核心步骤解析 01 整理方程：移项化为一般式，得 。 02 因式分解：提取公因式，变形为 。 03 转化求解：利用“积为0则因子为0”，得 。 04 得出结论：分别解一次方程，得。 💡 方法点睛：因式分解法是解一元二次方程的“捷径”，它通过降次将二次方程转化为两个一元一次方程，计算更简便、解题更高效！ 1.7.2013 现在，我们来看看小亮同学的解法。他首先也整理了方程，然后做了一个非常关键的步骤——因式分解。他提取了公因式5t，把方程变成了5t乘以(t-3)等于0的形式。然后，他利用一个我们非常熟悉的原理，轻松地求出了两个解。这个方法是不是既简单又严谨？这就是我们今天要学习的主角——因式分解法！ ‹#› 新知探究 01 核心原理 基本法则：若两个数的乘积为0，那么这两个数中至少有一个为0。 数学表达：若，则 或 。这是因式分解法解方程的理论基础。 02 原理应用 实例分析：方程，将看作，看作。 推导结论：因为，所以必然有 或者，将原方程拆解为两个独立等式。 03 实现“降次” 转化思想：将一个复杂的一元二次方程，转化为两个简单的一元一次方程来求解。 核心价值：“降次”是解一元二次方程的核心策略，把未知的高次问题转化为已知的低次问题，化繁为简。 核心点睛：“若两数乘积为0，则至少其一为0”是因式分解法的灵魂，它将二次方程“降次”为一次方程，是连接已知与未知的关键桥梁。 1.7.2013 为什么小亮的方法是正确的呢？它背后的数学原理其实非常简单，就是我们小学就学过的：如果两个数相乘等于0，那么其中至少有一个数是0。我们把这个原理应用到方程中，把5t看作a，把t-3看作b，因为它们的乘积是0，所以a=0或者b=0。这样，我们就把一个复杂的一元二次方程，分解成了两个简单的一元一次方程，这个过程就叫做“降次”。 ‹#› 新知探究 因式分解法：定义与核心原理 学习目标：理解因式分解法解一元二次方程的“降次”本质，掌握“若两数积为0，则至少一数为0”的核心依据，学会将一元二次方程转化为两个一元一次方程的求解思路。 01 核心依据：积为零的基本性质 原理本质：若实数 满足，则必有。这是将二次方程“降次”为一次方程的关键数学依据。 02 方法定义与变形形式 因式分解法：当一元二次方程化为的形式（一边为0，另一边分解为两个一次因式之积），则可转化为和两个一元一次方程求解，这种方法称为因式分解法。 1.7.2013 好，现在我们可以给这种方法下一个正式的定义了。当一个一元二次方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用这种方法来解。这种方法就叫做因式分解法。它的核心原理其实就是利用了我们学过的“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，通过这个原理，我们把一个二次方程拆解成两个一次方程，从而实现降次求解的目的。 ‹#› 新知探究 因式分解法：解题三步法 目标：掌握因式分解法解一元二次方程的核心逻辑，理解“降次化归”的数学思想，熟练运用“移、分、解”三步完成方程求解，体会将二次方程转化为一次方程的解题策略。 01 第一步：一移 — 化为标准零式 核心操作：将方程右边所有项移至左边，消去右边项，使方程变为“左边多项式 = 0”的标准形式。这是因式分解法的前提，只有右边为0，才能利用“若两数乘积为0，则至少其一为0”的原理求解。 02 后续两步：二分与三解 — 降次求解 二分：将左边分解为两个一次因式的乘积，如，实现“降次”；三解：令每个因式为0，得两个一元一次方程，解出未知数的值，即为原方程的两个根。 1.7.2013 因式分解法的解题步骤非常清晰，大家可以记住这三个字：“移、分、解”。第一步，移项，把所有项都移到左边，让右边变成0。第二步，分解，把左边的式子分解成两个一次因式的乘积。第三步，求解，让这两个因式分别等于0，解出方程的两个根。 ‹#› 新知探究 三种解法的优劣分析与核心结论 01 公式法 适用所有一元二次方程，是“万能解法”，但计算过程涉及根式与复杂运算，步骤繁琐易出错。 02 错误约去法 看似步骤简单、计算量小，但盲目约去含未知数的项会直接丢失方程的根，是解题中典型的易错陷阱。 03 因式分解法 将方程化为两个因式乘积为零的形式，兼具简便性与完整性，能快速求出所有根，是解特定方程的高效优选。 方法选择策略 优先观察能否因式分解，其次用公式法保底；坚决避免直接约去含未知数的项，从源头规避丢根错误。 核心结论：因式分解法是解一元二次方程的重要简便方法！它既避开了公式法的繁琐计算，又杜绝了错误约去法的丢根问题，在方程可分解时是最高效的解题选择。 1.7.2013 我们来对比一下这三种方法。公式法是通用的，但计算起来比较麻烦。小明的错误约去法虽然简单，但容易丢根。而我们今天学的因式分解法，结合了前两者的优点，既简单快捷，又能保证答案的完整性。所以说，因式分解法是我们解一元二次方程的一个非常重要的简便工具。 ‹#› 新知探究 核心原理：降次思想与零乘积性质 “降次”是解一元二次方程的核心思想，其关键依据是零乘积性质：若两数乘积为0，则至少其一为0。利用这一性质可将一元二次方程拆解为两个一元一次方程求解。 01 理论基石：零乘积性质 数学表达：若 ，则 或。这是将“二次”转化为“一次”的关键，把复杂的高次方程拆解为两个简单的一元一次方程，实现“降次”的目的。 02 实战演练：解方程 步骤：因式分解得 ，由零乘积性质得 或 ，最终解得 。这正是“降次”思想的具体应用。 1.7.2013 因式分解法的核心原理其实非常简单，就是我们小学就学过的一个知识：如果两个数相乘等于0，那么其中至少有一个数是0。我们把这个原理应用到方程中，就可以把一个复杂的一元二次方程，分解成两个简单的一元一次方程来解。这个过程，我们称之为“降次”。 ‹#› 新知探究 操作思考 (1)解下列方程 : (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程?。 解法一：原方程可变形为 所以 解法2：原方程可变形为 所以 1.7.2013 因式分解法的核心原理其实非常简单，就是我们小学就学过的一个知识：如果两个数相乘等于0，那么其中至少有一个数是0。我们把这个原理应用到方程中，就可以把一个复杂的一元二次方程，分解成两个简单的一元一次方程来解。这个过程，我们称之为“降次”。 ‹#› 新知探究 操作思考 (1)解下列方程 : (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程?。 解法一：原方程可变形为 或 所以 解法2：原方程可变形为 所以 1.7.2013 因式分解法的核心原理其实非常简单，就是我们小学就学过的一个知识：如果两个数相乘等于0，那么其中至少有一个数是0。我们把这个原理应用到方程中，就可以把一个复杂的一元二次方程，分解成两个简单的一元一次方程来解。这个过程，我们称之为“降次”。 ‹#› 新知探究 操作思考 (1)解下列方程 : (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程?。 解法2：原方程可变形为 所以 解法一：∵ ∴ ∴. ∴ 1.7.2013 因式分解法的核心原理其实非常简单，就是我们小学就学过的一个知识：如果两个数相乘等于0，那么其中至少有一个数是0。我们把这个原理应用到方程中，就可以把一个复杂的一元二次方程，分解成两个简单的一元一次方程来解。这个过程，我们称之为“降次”。 ‹#› 新知探究 操作思考 (1)解下列方程 : (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程?。 解法二：移项，得 配方得 开方得 或 ∴ 解法一：∵ ∴ ∴. 或 ∴ 1.7.2013 因式分解法的核心原理其实非常简单，就是我们小学就学过的一个知识：如果两个数相乘等于0，那么其中至少有一个数是0。我们把这个原理应用到方程中，就可以把一个复杂的一元二次方程，分解成两个简单的一元一次方程来解。这个过程，我们称之为“降次”。 ‹#› 05 例题精析 学以致用，熟练运用因式分解法解一元二次方程。 1.7.2013 理论学习完了，接下来就是实践环节。我们通过几个例题来巩固一下因式分解法的应用。请大家仔细看解题步骤，注意每一步的依据和易错点。 ‹#› 典例精析 例1：解方程 （2） 01. 因式分解法标准解题流程 【规范解法】 1.移项整理：将含未知数项移至左侧，得 2.因式分解：提取公因式 ，得 3.转化求解：由“积为0则因子为0”，得 或 ，解得 ⚠️ 高频易错点警示 切勿直接在方程两边同时除以！ 原因：如果，这种除法运算无意义；且会直接丢失 这个根，导致解不完整。这是初学者最容易犯的错误，务必警惕！ 1.7.2013 我们来看第一个例题：解方程 5x² = 4x。第一步，移项，把4x移到左边，得到 5x² - 4x = 0。第二步，分解，我们发现左边有公因式x，提取出来，得到 x(5x - 4) = 0。第三步，求解，令x=0和5x-4=0，得到两个解。这里要特别提醒大家，千万不要直接两边除以x，这样会漏掉x=0这个解！ ‹#› 典例精析 01. 因式分解法解题格式 解：原方程可变形为 或 ， 所以 例1：解方程 （2） 1.7.2013 我们来看第一个例题：解方程 5x² = 4x。第一步，移项，把4x移到左边，得到 5x² - 4x = 0。第二步，分解，我们发现左边有公因式x，提取出来，得到 x(5x - 4) = 0。第三步，求解，令x=0和5x-4=0，得到两个解。这里要特别提醒大家，千万不要直接两边除以x，这样会漏掉x=0这个解！ ‹#› 典例精析 02. 因式分解法应用 解：原方程可变形为 或 ， 所以 例1：解方程 （2） 1.7.2013 再来看第二个例题：解方程 x(x - 2) = x - 2。同样，第一步移项，把右边的 x-2 移到左边。第二步分解，这次的公因式是 x-2，提取出来后得到 (x - 2)(x - 1) = 0。第三步求解，得到x=2和x=1。这里同样要注意，不能直接两边除以 x-2，否则会漏掉x=2这个解。 ‹#› 06 课堂小结 总结归纳，巩固所学。 1.7.2013 好了，例题讲完了。现在我们来对本节课的内容进行一个总结。通过这节课的学习，我们应该掌握哪些核心知识呢？ ‹#› 课堂小结 知识思维导图 01. 核心原理与步骤 原理：若，则 或 （方程解的存在性基础）。 步骤：一移（右边化为0）、二分（左边因式分解）、三解（分别求解）。 02. 关键思想与条件 思想：降次转化，将一元二次方程拆解为两个一元一次方程求解。 条件：方程一边为0，且另一边易于因式分解（如平方差、完全平方）。 03. 常见误区警示 ⚠️ 丢根风险：方程两边随意除以含未知数的项，会导致丢失一个根。 易错点：因式分解不彻底（如漏提公因式）、移项时忘记变号。 04. 方法择优策略 对比：配方法繁琐，公式法计算量大，因式分解法最简便。 策略：解一元二次方程时，优先观察结构，能因式分解的优先用！ 1.7.2013 这张思维导图清晰地展示了本节课的核心内容。因式分解法的核心是“降次”思想，步骤是“一移、二分、三解”。我们要特别注意避免丢根的错误。与配方法和公式法相比，因式分解法在适用的情况下是最高效的。所以，以后解方程时，大家要先观察，看看能不能用因式分解法。 ‹#› 07 课后巩固 应用知识，解决问题。 1.7.2013 最后，为了巩固今天所学的知识，我给大家布置一些课后练习。请大家认真完成，检验一下自己的学习成果。 ‹#› 课后巩固 因式分解法解方程：实战演练与巩固提升 随堂小练 1. 直接求解： 2. 提公因式：。 实际建模 问题：一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数？ 建模：设数为，得2，快速得解。 课后作业 1. 2. 3. 要求：写出详细分解步骤。 1.7.2013 这里有几道练习题，包括随堂练习和课后作业。随堂练习大家可以现在就做一做，课后作业请大家回去完成。这些题目都是对今天所学知识的直接应用，希望大家能独立完成，真正掌握因式分解法。 ‹#› 谢谢观看！ THANKS 数学是思维的体操，希望同学们能在探索中享受数学的乐趣！ 课后小任务：完成练习册对应页习题巩固基础，预习下一节《一元二次方程根与系数的关系》。 1.7.2013 今天的课就到这里。数学是思维的体操，希望大家能在解题的过程中感受到数学的乐趣。课后请大家记得完成练习，并预习下一节课的内容。谢谢大家！ ‹#› $