4.2指数函数同步练-2026年暑期预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕指数函数概念、性质及应用，通过基础到综合的分层设计，强化数学抽象、推理与表达能力，适配暑假自主巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念辨析、图象识别、定点求法|直接应用定义与性质，夯实数学抽象基础| |提升层|单调性参数讨论、大小比较、最值计算|结合易错点设置，培养逻辑推理意识| |综合层|奇偶性、单调性证明与恒成立问题|整合多知识点，强化数学语言表达与综合应用|

4.2指数函数 一、指数函数的概念 1. 定义：一般地，函数（a>0，且 a=1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，定义域是 R。 2. 结构特征（判断关键）一个函数是指数函数，必须同时满足以下三点： ① 底数： 是大于0且不等于1的常数； ② 系数：前面的系数必须是 1（不能有其他系数，如 不是指数函数）； ③ 指数：位置上只能是自变量 x，不能是 x 的多项式（如 不是指数函数）。 3. 底数 的规定理由 若 =1，则 是常值函数，无研究价值； 若 =0，当 x≤0 时无意义（如 无意义）； 若 <0，对于某些 x（如​）在实数范围内无意义（如 无实根）； 故规定 >0 且 ≠ 1。 二、指数函数的图象与性质 指数函数 （且 ）的性质对照表如下： 性质 a>1（增函数，“撇”形） 0<a<1（减函数，“捺”形） 图象​ 过 (0,1)，从左下到右上上升 过 (0,1)，从左上到右下下降 定义域​ R R 值域​ (0,+∞) (0,+∞) 定点​ 恒过定点 (0,1)，即 x=0 时 y=1 恒过定点 (0,1)，即 x=0 时 y=1 单调性​ 在 R 上单调递增​ 在 R 上单调递减​ 函数值变化​ x>0 ⇒y>1；x<0 ⇒0<y<1 x>0 ⇒0<y<1；x<0 ⇒y>1 奇偶性​ 非奇非偶 非奇非偶 渐近线​ x→−∞ 时，y→0（x轴为渐近线） x→+∞ 时，y→0（x轴为渐近线） 补充结论： 1. 对称性： 与 的图象关于 y 轴对称。 2. 底数大小比较（底大图高）：在 y 轴右侧（x>0），底数越大的图象越靠上；在 y 轴左侧（x<0），底数越大的图象越靠下。 三、常见题型与解题方法 1. 比较指数幂的大小 ① 同底不同指：利用指数函数的单调性（如 ，因为 递增）； ② 同指不同底：利用幂函数的单调性和图象规律（如 ）； ③ 不同底不同指：引入中间量（如 0,1 或常见幂）进行比较（如 ，，故前者大）。 2. 解指数不等式 形如 ： ① 当 a>1 时，f(x)>g(x)； ②当 0<a<1 时，f(x)<g(x)。 （核心：利用单调性去掉底数 a） 3. 指数型复合函数（如 ） ① 定义域： 与 定义域相同； ② 值域：先求 的值域，再结合 的单调性求最终值域； ③ 单调性（同增异减）： 若 a>1， 与 单调性相同； 若 0<a<1， 与 单调性相反。 4. 求指数型函数的定点 对于 ，令 求出 x，再代入求 y，即得定点（如 过定点 (3,4)）。 四、易错点提醒 1. 忽略底数限制：见到 必须默认 a>0 且 ，解题时若含参需分类讨论； 2. 值域漏掉 >0：指数函数的值域永远是 ，无论 x 取何值，y 不可能 ； 3. 单调性用反：解含参不等式时，忘记判断 a 与 1 的大小导致不等号方向错误； 4. 混淆指数函数与指数型函数：是指数型函数，不是严格的指数函数。 一、单选题 1．已知函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】结合分段函数的解析式，直接计算得到答案. 【详解】，. 故选：D 2．的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质即可判断得出结论. 【详解】由可得， 由图知函数单调递减，故，排除A，B项； 由图知，当时，， 因时，函数为减函数，故得. 故选：D. 3．如图是指数函数①、②、③、④的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是（    ） A．c＜d＜1＜a＜b B．d＜c＜1＜b＜a C．c＜d＜1＜b＜a D．1＜c＜d＜a＜b 【答案】B 【分析】由指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系． 【详解】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时是定义域内的减函数， 可知，大于1，，大于0小于1． 又由图可知，即，，即． ∴，，，与1的大小关系是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了指数函数的图象和性质，考查了指数函数的单调性，训练了特值思想方法，属于中档题． 4．函数且的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数且的图象过定点，再结合函数图象平移变换即可得答案. 【详解】因为指数函数且的图象过定点， 函数的图象由函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到， 故函数的图象过定点 故选：C. 5．已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性法则列不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 解得．故选：B 二、多选题 6．以下比较大小的结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用指数函数单调性可判断A和B；根据，可判断C；计算两个数的12次方即可判断D. 【详解】对于A，因为指数函数在上单调递增，且，所以，故A正确； 对于B，因为指数函数在上单调递减，且，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：AB. 7．若函数 的图像经过点 ， 则（    ） A． B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 81 D． 的最小值为 【答案】AC 【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可. 【详解】对于:由题意得  ， 得 ,故正确; 对于:令函数 ， 则该函数在上单调递减，在 上单调递增． 因为 是减函数， 所以在上单调递增， 在 上单调递减， 故错误; 对于:因为在上单调递增， 在 上单调递减, 所以 ,无最小值．故正确, 错误; 故选:. 三、填空题 8．函数在上的最大值与最小值和为3，则函数在上的最大值是_____________. 【答案】 【分析】根据指数函数是单调函数和题意求出的值，再代入函数解析式整理后，由函数的单调性求出在区间上的最大值． 【详解】∵函数函在定义域上是单调函数，且在上的最大值与最小值和为3， ∴，解得，∴函数， ∵函数在定义域上增函数，∴在上的最大值为当时，函数值是3． 故答案为：． 9．已知且，且函数在定义域上单调，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【详解】函数在定义域上单调， 当在定义域上单调递减时，，解得； 当在定义域上单调递增时，，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 10．已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解；（2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 11．已知函数，为实数. (1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论； (2)若为奇函数，求实数的值； (3)在条件（2）下，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在上是增函数，证明如下： 对于任意，令， 则， 因为在上是增函数，且，所以， 又因为，所以，即， 所以在上是增函数. (2) (3) 【分析】（1）对于任意，令，计算并判断正负即可得出单调性. （2）由是奇函数可知，可求出，并用定义检验即可. （3）由题意可知原不等式等价于恒成立，即恒成立，利用判别式小于0可求出. 【详解】（1）在上是增函数，证明略； （2）因为为奇函数是奇函数，定义域为， 所以，所以， 当时，， 此时，满足题意，所以. （3）因为在上是增函数且是奇函数, 则不等式恒成立，等价于恒成立， 即，即恒成立，所以，解得， 所以的取值范围. 12．已知函数. (1)在给出的坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间和值域； (2)若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围； (3)若在开区间上既有最大值，又有最小值，写出的取值范围． 【答案】(1)作图见解析，单调递减区间为，值域为； (2)； (3). 【分析】（1）探讨函数的性质，作出函数图象，求出递减区间及值域. （2）结合函数图象，求出的范围. （3）利用分段函数图象及性质，结合图象求出范围. 【详解】（1）函数，当时，在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为， 函数的图象，如图： 函数的单调递减区间为，值域为. （2）观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，则或， 所以的取值范围是. （3）由 ，，得 ， 如图，在开区间上既有最大值，又有最小值，则， 所以的取值范围分别为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2指数函数 一、指数函数的概念 1. 定义：一般地，函数 （a>0，且 a=1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，定义域是 R。 2. 结构特征（判断关键）一个函数是指数函数，必须同时满足以下三点： ① 底数： 是大于0且不等于1的常数； ② 系数：前面的系数必须是 1（不能有其他系数，如 不是指数函数）； ③ 指数：位置上只能是自变量 x，不能是 x 的多项式（如 不是指数函数）。 3. 底数 的规定理由 若 =1，则 是常值函数，无研究价值； 若 =0，当 x≤0 时无意义（如 无意义）； 若 <0，对于某些 x（如​）在实数范围内无意义（如 无实根）； 故规定 >0 且 ≠ 1。 二、指数函数的图象与性质 指数函数 （且 ）的性质对照表如下： 性质 a>1（增函数，“撇”形） 0<a<1（减函数，“捺”形） 图象​ 过 (0,1)，从左下到右上上升 过 (0,1)，从左上到右下下降 定义域​ R R 值域​ (0,+∞) (0,+∞) 定点​ 恒过定点 (0,1)，即 x=0 时 y=1 恒过定点 (0,1)，即 x=0 时 y=1 单调性​ 在 R 上单调递增​ 在 R 上单调递减​ 函数值变化​ x>0 ⇒y>1；x<0 ⇒0<y<1 x>0 ⇒0<y<1；x<0 ⇒y>1 奇偶性​ 非奇非偶 非奇非偶 渐近线​ x→−∞ 时，y→0（x轴为渐近线） x→+∞ 时，y→0（x轴为渐近线） 补充结论： 1. 对称性： 与 的图象关于 y 轴对称。 2. 底数大小比较（底大图高）：在 y 轴右侧（x>0），底数越大的图象越靠上；在 y 轴左侧（x<0），底数越大的图象越靠下。 三、常见题型与解题方法 1. 比较指数幂的大小 ① 同底不同指：利用指数函数的单调性（如 ，因为 递增）； ② 同指不同底：利用幂函数的单调性和图象规律（如 ）； ③ 不同底不同指：引入中间量（如 0,1 或常见幂）进行比较（如 ，，故前者大）。 2. 解指数不等式 形如 ： ① 当 a>1 时，f(x)>g(x)； ②当 0<a<1 时，f(x)<g(x)。 （核心：利用单调性去掉底数 a） 3. 指数型复合函数（如 ） ① 定义域： 与 定义域相同； ② 值域：先求 的值域，再结合 的单调性求最终值域； ③ 单调性（同增异减）： 若 a>1， 与 单调性相同； 若 0<a<1， 与 单调性相反。 4. 求指数型函数的定点 对于 ，令 求出 x，再代入求 y，即得定点（如 过定点 (3,4)）。 四、易错点提醒 1. 忽略底数限制：见到 必须默认 a>0 且 ，解题时若含参需分类讨论； 2. 值域漏掉 >0：指数函数的值域永远是 ，无论 x 取何值，y 不可能 ； 3. 单调性用反：解含参不等式时，忘记判断 a 与 1 的大小导致不等号方向错误； 4. 混淆指数函数与指数型函数：是指数型函数，不是严格的指数函数。 一、单选题 1．已知函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 3．如图是指数函数①、②、③、④的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是（    ） A．c＜d＜1＜a＜b B．d＜c＜1＜b＜a C．c＜d＜1＜b＜a D．1＜c＜d＜a＜b 4．函数且的图象过定点（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．以下比较大小的结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若函数 的图像经过点 ， 则（    ） A． B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 81 D． 的最小值为 三、填空题 8．函数在上的最大值与最小值和为3，则函数在上的最大值是_____________. 9．已知且，且函数在定义域上单调，则a的取值范围是______． 四、解答题 10．已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 11．已知函数，为实数. (1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论； (2)若为奇函数，求实数的值； (3)在条件（2）下，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 12．已知函数. (1)在给出的坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间和值域； (2)若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围； (3)若在开区间上既有最大值，又有最小值，写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $