4.1 指数 同步练-2026年暑期预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“指数”同步练，分层覆盖概念理解、运算应用及综合提升，通过基础题巩固核心知识，提升题突破易错点，解答题培养综合运算与推理能力，适配暑假自主巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|n次方根定义、根式性质、基本运算|单选1-2、填空8-9直接考查概念记忆与简单运算，强化符号意识| |提升层|分数指数幂与根式互化、运算性质辨析、易错点|单选3-5、多选6-7结合易错提醒设计辨析题，发展推理意识| |综合层|综合化简、求值及实际应用|解答题10-11包含多步骤化简与条件求值，培养运算能力与应用意识|

4.1指数 指数主要包含n次方根与根式、分数指数幂以及无理数指数幂三部分内容，核心是完成指数从整数到实数的推广，并掌握相应的运算性质。 一、n次方根与根式 n次方根定义：若 （），则x叫做a的n次方根。 ①n为奇数：，方根唯一，记为 。 ②n为偶数：，方根有两个（）；a<0 时无偶次方根。 0的任何次方根都是0。 根式性质（ 中 ）： ① （恒成立）。 ② （n为奇数）；（n为偶数，常考易错点）。 二、分数指数幂 分数指数幂是根式的另一种写法，底数 a>0 是前提（保证负分数指数幂和偶分母分数指数幂有意义）。 正分数指数幂：（）。 负分数指数幂：。 特殊规定：0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义。 三、实数指数幂的运算性质 有理数指数幂的运算性质可推广到实数指数幂（）： ① ② ③ 四、常见易错提醒 1. 化简 时，偶数次根一定要注意加绝对值 |a|，再根据 a 的范围去绝对值。 2. 根式化分数指数幂时，根指数作分母，被开方数的指数作分子。 3. 运算过程中尽量统一化为分数指数幂形式，便于利用运算法则化简。 一、单选题 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】．故选：A． 2．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数幂的运算性质求解． 【详解】解：原式＝.故选：D． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据的正负求出. 【详解】根据题意，得， 因为，所以．故选：D. 4．已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据得，再平方得，再结合立方和公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，整理得，所以，整理得，所以. 故选：B. 5．下列命题错误的是（    ） A．关于的不等式解集为，则 B．已知，则是的必要不充分条件 C．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是 D．将化成有理数指数幂的形式是 【答案】C 【分析】根据不等式的性质、二次函数的性质、指数幂的运算等知识逐项计算求解即可. 【详解】对于A： 因为关于的不等式解集为， 所以且是方程的两个根， 则有，所以. 所以，A正确； 对于B： ，，不等式两边平方得，解得； ，化简得，解得. 由于而推不出，所以是的必要不充分条件，B正确； 对于C： 因为命题“存在，使得”为真命题， 所以当时，，符合题意； 当时，抛物线开口向上，始终存在使得不等式成立； 当时，则，解得， 综上，. 所以当时，命题“存在，使得”不一定为真命题， 所以不是命题“存在，使得”为真命题的充分条件，所以C错误； 对于D： ，D正确. 故选：C. 二、多选题 6．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 7．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】按照指数幂的运算进行化简. 【详解】因为，所以选项A错误； 因为，所以选项B错误； 因为，所以选项C正确； 因为，所以选项D正确. 故答案为：CD. 三、填空题 8．___________． 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则可得： 原式 . 故答案为： 9．若，则___________． 【答案】 【分析】由指数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 10．解答下列问题 (1)若，化简 (2)求值： (3)已知，求值： 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）结合的范围与根式性质计算即可得； （2）借助指数幂运算法则计算即可得； （3）借助完全平方公式与指数幂运算法则计算即可得. 【详解】（1）因为，则，， 所以，， 所以； （2） ； （3）由两边取平方，，即得， 再两边取平方，可得，即得. 故. 11．计算： (1)； (2)已知，其中，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂运算和对数运算法则直接求解即可； （2）由，可得，结，可得，代入可求解． 【详解】（1）原式； （2），， ，， ，， 又，， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1指数 指数主要包含n次方根与根式、分数指数幂以及无理数指数幂三部分内容，核心是完成指数从整数到实数的推广，并掌握相应的运算性质。 一、n次方根与根式 n次方根定义：若 （），则x叫做a的n次方根。 ①n为奇数：，方根唯一，记为 。 ②n为偶数：，方根有两个（）；a<0 时无偶次方根。 0的任何次方根都是0。 根式性质（ 中 ）： ① （恒成立）。 ② （n为奇数）；（n为偶数，常考易错点）。 二、分数指数幂 分数指数幂是根式的另一种写法，底数 a>0 是前提（保证负分数指数幂和偶分母分数指数幂有意义）。 正分数指数幂：（）。 负分数指数幂：。 特殊规定：0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义。 三、实数指数幂的运算性质 有理数指数幂的运算性质可推广到实数指数幂（）： ① ② ③ 四、常见易错提醒 1. 化简 时，偶数次根一定要注意加绝对值 |a|，再根据 a 的范围去绝对值。 2. 根式化分数指数幂时，根指数作分母，被开方数的指数作分子。 3. 运算过程中尽量统一化为分数指数幂形式，便于利用运算法则化简。 一、单选题 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．下列命题错误的是（    ） A．关于的不等式解集为，则 B．已知，则是的必要不充分条件 C．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是 D．将化成有理数指数幂的形式是 二、多选题 6．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．___________． 9．若，则___________． 四、解答题 10．解答下列问题 (1)若，化简 (2)求值： (3)已知，求值： 11．计算： (1)； (2)已知，其中，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $