3.1.1 椭圆及其标准方程讲义-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.1.1 椭圆及其标准方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．椭圆的定义 （1）定义：如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足________的动点的轨迹称为椭圆． （2）相关概念：两个定点，称为椭圆的___焦点_____，两个焦点之间的距离称为椭圆的__焦距______． （3）与的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 动点的轨迹是椭圆 动点的轨迹是线段 动点不存在，因此轨迹不存在 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形       焦点 ___与___ ___与_ __ a，b，c的关系 _________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：椭圆的定义及辨析】 【练方法】 公式结论 ，动点轨迹为椭圆 ，动点轨迹为线段 ，无实数轨迹 焦点三角形周长公式 方法技巧 1对比定值2a与焦距2c的数值大小，判定轨迹类型 2借助椭圆定义，由椭圆上点到一个焦点的距离快速求解该点到另一焦点的距离 （2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. （2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假. 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由 ，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由 ， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由 ， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. （25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ）小试牛刀2 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断的轨迹. 【详解】因为两定点，则， 又因为动点满足， 动点满足，即， 满足椭圆的定义，所以点的轨迹是椭圆. 故选：A. （25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ）小试牛刀3 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 【题型2：利用椭圆的定义求方程】 【练方法】 公式结论 由定义计算2a，由焦点坐标求解2c，代入上式算出，结合焦点所在坐标轴匹配对应标准方程 方法技巧 1根据焦点坐标确定焦点位置与焦距大小 2由距离和求得参数，依靠平方关系式分步计算 3焦点在坐标轴上直接套用标准方程，平面内任意动点化简原始定义式即可得到轨迹方程 （26-27高三·全国·一轮复习）已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________．经典例题1例题 【答案】 【详解】因为由正弦定理可得， 即，满足椭圆定义， 则，，可得， 所以点C的轨迹方程为． （25-26高二下·上海青浦·期末）若将方程化简为的形式，则________．小试牛刀1 【答案】 25 【分析】方程左侧是平面上点到两个定点(0，5)的距离之和，根据椭圆的定义，若距离之和大于两定点间的距离，那么该点的轨迹是椭圆，以此作为解题突破口。 【详解】方程可以看作点P(x，y)到距离之和为26， 由椭圆的定义可知，方程表示的轨迹是以 𝐹 1 ， 𝐹 2 为焦点的椭圆， 设椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距分别为，，. 所以  所以 因此方程为 所以 因为a>0，b>0 所以a=12，b=13 故 𝑎 + 𝑏 = 12 + 13 = 25 . （25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________.小试牛刀2 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. （25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________.小试牛刀3 【答案】 【详解】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆， 因为，， 所以焦距，解得， 因为，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 因此，解得， 动点的轨迹方程是. 【题型3：判断方程是否为椭圆方程】 【练方法】 公式结论 方程标准分式形式 方程表示椭圆的充要条件 时轨迹为圆，任意一项小于零时无实数轨迹 方法技巧 1将原式整理为平方项除以常数相加等于1的标准结构 2依次验证两个分母均大于零，且两个分母数值不相等 3分母为含参代数式时，结合参数取值范围完成判定 （25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）（多选）关于的方程，下列说法正确的是（　　）经典例题1例题 A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 【答案】AC 【分析】根据给定条件，结合椭圆方程及圆的方程特征，逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故C正确； 对于D，当，，方程表示两条直线，故D错误. 故选：AC （24-25高二上·广东佛山·期中）（多选）已知曲线，则下列结论正确的有（   ）小试牛刀1 A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【分析】根据椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. （24-25高二上·全国·课后作业）（多选）（多选）已知曲线，则（    ）小试牛刀2 A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 【答案】AC 【分析】分别根据的范围及圆，椭圆，直线的解析式特征判断各个选项即可. 【详解】若，曲线可化为，其表示半径为的圆，A正确； 当时，曲线可化为，表示椭圆，因为，所以其焦点在轴上，B错误； 对于C，依题意得解得则曲线为椭圆，C正确； 取，此时曲线，其表示两条直线，D错误. 故选：AC. （23-24高二上·山东青岛·期中）（多选）已知曲线．下列结论正确的有（    ）小试牛刀3 A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【答案】AD 【分析】将方程，转化为，判断选项ABC，再根据，判断选项D. 【详解】方程，化为，表示椭圆，且其焦点在轴上，则，即，故A正确； 若，表示椭圆，且其焦点在x轴上，则，即，故B错误； ，表示圆，即，其半径为故C错误； 当，时，，则是两条直线，故D正确， 故选：AD 【题型4：由长轴长，短轴长，焦距求椭圆方程】 【练方法】 公式结论 长轴长，短轴长，焦距 结合焦点分布方位，选取对应椭圆标准方程书写解析式 （26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____.经典例题1例题 【答案】 【详解】由题意可得，解得，又， 所以椭圆方程为. （25-26高二下·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________小试牛刀1 【答案】 【分析】先设出椭圆的标准方程，再根据题设条件可求基本量，从而可求椭圆的标准方程. 【详解】由题意可得，椭圆长轴为6，短轴为4，焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为, 则，即, 所以椭圆的标准方程为. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________．小试牛刀2 【答案】 【详解】由题知，椭圆的焦点在轴上，且， 又长轴长是短轴长的2倍，故，即， 则有，解得，， 则椭圆的标准方程为． （2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点，短轴长为2.求椭圆的方程.小试牛刀3 【答案】 【详解】由题意得，椭圆的半短轴长，半焦距， 因， 故椭圆的标准方程为. 【题型5：由椭圆过点求椭圆方程】 【练方法】 公式结论 坐标轴标准方程 不分焦点通用待定式 方法技巧 1已知焦点坐标轴选用对应标准方程，焦点位置未知优先使用 2将点坐标代入解析式，联立二元方程组求解对应参数 3多个已知点联立计算，提升计算结果准确度 （24-25高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________.经典例题1例题 【答案】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. （26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆经过点、，则其标准方程为______．小试牛刀1 【答案】 【详解】设椭圆的一般方程为， 把点、的坐标分别代入椭圆方程， 得，解得，故椭圆标准方程为. （25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________．小试牛刀2 【答案】 【详解】由题意，得，解得， 则椭圆方程为. 已知椭圆过点，求椭圆的方程.小试牛刀3 【答案】 【分析】将点的坐标代入椭圆联立方程组即可求解. 【详解】将点代入椭圆方程， 得，化简为， 设，则， 解方程组得，即， 所以椭圆的方程为. 【题型6：由方程表示椭圆求参数范围】 【练方法】 公式结论 方程表示椭圆的充要条件 方法技巧 1把原方程整理为平方项除以常数的标准形式 2分别求解分母大于零的解集，叠加的约束条件 3取所有不等式解集的交集，得到参数最终取值范围 （2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. （25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ）小试牛刀1 A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. （2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． （2026·广东江门·二模）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______．小试牛刀3 【答案】 【分析】由条件结合椭圆方程的特征列不等式求的范围即可. 【详解】由椭圆方程的特征可知， 所以方程，可化为， 因为的焦点在轴上，所以， 所以， 故的取值范围是. 【题型7：与椭圆有关的轨迹方程】 【练方法】 方法技巧 1优先验证动点轨迹是否契合椭圆定义，满足条件直接利用定义求值写方程 2存在联动坐标点时，使用相关点代入法替换坐标求解轨迹 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程.经典例题1例题 【答案】 【详解】由题意得，即，化简得. （2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______.小试牛刀1 【答案】 【分析】分别设，建立相关点之间的关系，代入求解. 【详解】如图所示： 不妨设， 则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即， 代入方程 可得，整理得. 故答案为：. 已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程；小试牛刀2 【答案】曲线的方程为 【分析】首先设点为轨迹上任意一点，再根据斜率公式求轨迹方程. 【详解】设点为轨迹上任意一点，由题意得，则，， ，故点的轨迹方程为， 所以点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程 为. （25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 2．（2026高三·全国·专题练习）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“方程表示椭圆”“”． “”不能得出“方程表示椭圆”， 存在反例，，，此时方程为，无实数解，不能代表椭圆． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 4．（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 设椭圆方程为，则, 得，所以, 的轨迹方程为， 故选：A 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据所给的焦点坐标，判断出焦点所在的轴及的值，再根据椭圆中的关系计算即可得解. 【详解】由椭圆的焦点为，可知椭圆的焦点在轴上，且. 所以，解得. 6．（25-26高二下·浙江·开学考试）椭圆：的焦距为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆的标准方程可知，，，所以，所以焦距为. 二、多选题 7．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 8．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 【答案】AB 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆上，则_______． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义，及正弦定理即可求解． 【详解】由椭圆的标准方程， 则点和为椭圆的焦点坐标， 又点B在椭圆上， 则由椭圆的定义可得， 所以由正弦定理可得． 10．（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 【答案】 【详解】椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，焦距是2， 则有，，即，，所以， 所以椭圆的标准方程为． 11．（25-26高二下·湖北·期中）若椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则__________. 【答案】4 【分析】根据题意及椭圆定义得，分情况讨论焦点位置，列方程求解. 【详解】椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为， 所以，， 若焦点在轴上，，所以， 解得或（舍去），不满足，不符； 若焦点在轴上，，所以， 解得或（舍去）， ，所以符合. 12．（2026高二上·福建厦门·专题练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据椭圆与焦点相同，得到所求椭圆焦点在轴上，且，设其标准方程为，结合在椭圆上列方程组求解． 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同， 其焦点在轴上，且， 设其标准方程为， ，且，①， 点在所求椭圆上， ②， 联立①②得，解得， 所求椭圆的标准方程为． 故答案为：． 四、解答题 13．已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．求椭圆的标准方程. 【答案】 【详解】由已知可得，，则， 所以， 则椭圆方程为. 14．已知圆的圆心为，为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与线段相交于点，求动点的轨迹方程. 【答案】 【分析】由平面几何的相关性质有，结合椭圆的定义写出轨迹方程. 【详解】连接，如下图所示： 圆的半径为，由中垂线的几何性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆， 设椭圆的标准方程为，则，可得， 因为，则， 因此点的轨迹方程为. 15．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程; （2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 16．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且， ， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又 ，故所求椭圆方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.1.1 椭圆及其标准方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．椭圆的定义 （1）定义：如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足________的动点的轨迹称为椭圆． （2）相关概念：两个定点，称为椭圆的___焦点_____，两个焦点之间的距离称为椭圆的__焦距______． （3）与的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 动点的轨迹是椭圆 动点的轨迹是线段 动点不存在，因此轨迹不存在 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形       焦点 ___与___ ___与_ __ a，b，c的关系 _________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：椭圆的定义及辨析】 【练方法】 公式结论 ，动点轨迹为椭圆 ，动点轨迹为线段 ，无实数轨迹 焦点三角形周长公式 方法技巧 1对比定值2a与焦距2c的数值大小，判定轨迹类型 2借助椭圆定义，由椭圆上点到一个焦点的距离快速求解该点到另一焦点的距离 （2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ）小试牛刀2 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 （25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ）小试牛刀3 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【题型2：利用椭圆的定义求方程】 【练方法】 公式结论 由定义计算2a，由焦点坐标求解2c，代入上式算出，结合焦点所在坐标轴匹配对应标准方程 方法技巧 1根据焦点坐标确定焦点位置与焦距大小 2由距离和求得参数，依靠平方关系式分步计算 3焦点在坐标轴上直接套用标准方程，平面内任意动点化简原始定义式即可得到轨迹方程 （26-27高三·全国·一轮复习）已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________．经典例题1例题 （25-26高二下·上海青浦·期末）若将方程化简为的形式，则________．小试牛刀1 （25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________.小试牛刀2 （25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________.小试牛刀3 【题型3：判断方程是否为椭圆方程】 【练方法】 公式结论 方程标准分式形式 方程表示椭圆的充要条件 时轨迹为圆，任意一项小于零时无实数轨迹 方法技巧 1将原式整理为平方项除以常数相加等于1的标准结构 2依次验证两个分母均大于零，且两个分母数值不相等 3分母为含参代数式时，结合参数取值范围完成判定 （25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）（多选）关于的方程，下列说法正确的是（　　）经典例题1例题 A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 （24-25高二上·广东佛山·期中）（多选）已知曲线，则下列结论正确的有（   ）小试牛刀1 A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 （24-25高二上·全国·课后作业）（多选）（多选）已知曲线，则（    ）小试牛刀2 A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 （23-24高二上·山东青岛·期中）（多选）已知曲线．下列结论正确的有（    ）小试牛刀3 A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【题型4：由长轴长，短轴长，焦距求椭圆方程】 【练方法】 公式结论 长轴长，短轴长，焦距 结合焦点分布方位，选取对应椭圆标准方程书写解析式 （26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____.经典例题1例题 （25-26高二下·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________小试牛刀1 已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________．小试牛刀2 （2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点，短轴长为2.求椭圆的方程.小试牛刀3 【题型5：由椭圆过点求椭圆方程】 【练方法】 公式结论 坐标轴标准方程 不分焦点通用待定式 方法技巧 1已知焦点坐标轴选用对应标准方程，焦点位置未知优先使用 2将点坐标代入解析式，联立二元方程组求解对应参数 3多个已知点联立计算，提升计算结果准确度 （24-25高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________.经典例题1例题 （26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆经过点、，则其标准方程为______．小试牛刀1 （25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________．小试牛刀2 已知椭圆过点，求椭圆的方程.小试牛刀3 【题型6：由方程表示椭圆求参数范围】 【练方法】 公式结论 方程表示椭圆的充要条件 方法技巧 1把原方程整理为平方项除以常数的标准形式 2分别求解分母大于零的解集，叠加的约束条件 3取所有不等式解集的交集，得到参数最终取值范围 （2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ）小试牛刀1 A．4 B．5 C． D．6 （2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·广东江门·二模）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______．小试牛刀3 【题型7：与椭圆有关的轨迹方程】 【练方法】 方法技巧 1优先验证动点轨迹是否契合椭圆定义，满足条件直接利用定义求值写方程 2存在联动坐标点时，使用相关点代入法替换坐标求解轨迹 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程.经典例题1例题 （2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______.小试牛刀1 已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程；小试牛刀2 （25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 6．（25-26高二下·浙江·开学考试）椭圆：的焦距为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题 7．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 8．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆上，则_______． 10．（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 11．（25-26高二下·湖北·期中）若椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则__________. 12．（2026高二上·福建厦门·专题练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______． 四、解答题 13．已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．求椭圆的标准方程. 14．已知圆的圆心为，为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与线段相交于点，求动点的轨迹方程. 15．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 16．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $