第22讲 抛物线及其标准方程（思维导图+2知识点+6大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第22讲 抛物线及其标准方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 抛物线的焦点与准线 题型02 抛物线的定义及辨析(含焦半径公式应用) 题型03 求抛物线的方程 题型04 与抛物线有关的轨迹问题 题型05 抛物线中的距离最值问题 题型06 抛物线在实际问题中的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.抛物线的定义 2.抛物线的标准方程 3.抛物线的焦点坐标和准线方程 1. 掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 2. 学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心 素养. 学习重点：理解掌握抛物线的定义，由抛物线方程求焦点坐标和准线方程. 学习难点：掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 抛物线的定义 一、抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 二、焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 即时即练 1．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点02 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. （5）求抛物线标准方程的方法 ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 即时即练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【方法总结】 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 题型01 抛物线的焦点与准线 1．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 3．若抛物线的准线过点，则（    ） A．1013 B． C． D．2026 4．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图. (1)； (2)； (3)； (4). 5．指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)； (3)（）． 【技巧归纳】 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 题型02 抛物线的定义及辨析(含焦半径公式应用) 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二上·河北张家口·期末）点在抛物线上，若点到点的距离为5，则点到轴的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（25-26高二下·山东滨州·开学考试）若一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（　　） A．16 B． C． D．9 题型03 求抛物线的方程 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 2．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 5．设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 题型04 与抛物线有关的轨迹问题 1．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 3．（2025高二·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·期末）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 【技巧归纳】 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 题型05 抛物线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（24-25高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上，是上的动点，为直线上一定点，到的距离为，若取得最小值时点与重合，则（   ） A． B． C．12 D．24 4．（2025高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 5．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________. 6．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【技巧归纳】 1、利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题. 2、与抛物线上的点有关的最值问题,应注意抛物线上点的坐标的范围以及抛物线上点的坐标的设法,如 y2=2px(p>0)中x≥0,y∈R,而抛物线上的点可设为(2pt2,2pt)或(,y0). 题型06 抛物线在实际问题中的应用 1．（25-26高二上·山东青岛·期末）一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处被信号接收器接收，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为2m，则信号接收器与抛物线顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 4．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    5．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 【技巧归纳】 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 1．（24-25高二上·山东德州·阶段检测）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 9．（25-26高二上·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 11．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 12．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 14．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在其准线上，三角形PQF为等边三角形，则P点的横坐标为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（25-26高二上·辽宁锦州·阶段检测）已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（   ） A． B．3 C．2 D．6 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 19．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 抛物线及其标准方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 抛物线的焦点与准线 题型02 抛物线的定义及辨析(含焦半径公式应用) 题型03 求抛物线的方程 题型04 与抛物线有关的轨迹问题 题型05 抛物线中的距离最值问题 题型06 抛物线在实际问题中的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.抛物线的定义 2.抛物线的标准方程 3.抛物线的焦点坐标和准线方程 1. 掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 2. 学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心 素养. 学习重点：理解掌握抛物线的定义，由抛物线方程求焦点坐标和准线方程. 学习难点：掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 抛物线的定义 一、抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 二、焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 即时即练 1．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 2．已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 抛物线C：的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，到准线的距离， 所以． 知识点02 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. （5）求抛物线标准方程的方法 ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 即时即练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或或或． 【分析】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【详解】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 【方法总结】 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 题型01 抛物线的焦点与准线 1．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线的标准方程， 得，所以， 故焦点坐标为. 2．（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 3．若抛物线的准线过点，则（    ） A．1013 B． C． D．2026 【答案】D 【详解】由题意易得，解得. 4．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)，，草图见解析 (2)，，草图见解析 (3)，，草图见解析 (4)，，草图见解析 【分析】根据抛物线的方程，即可得焦点坐标以及准线方程，进而作出图形. 【详解】（1）的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    （2）即，它的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    （3）的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    （4）即，它的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    5．指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1)焦点坐标是，准线方程是 (2)焦点坐标为，准线方程为 (3)焦点坐标为，准线方程为． 【分析】（1）（2）（3）将抛物线方程化为标准形式，即可根据焦点坐标公式以及准线方程求解. 【详解】（1）抛物线的标准方程为，∴， ∴焦点坐标是，准线方程是． （2）抛物线的标准方程为， ∴，抛物线开口向左，∴焦点坐标为，准线方程为． （3）抛物线（）的标准方程为，∴． ①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是； ②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是． 综上所述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程为 【技巧归纳】 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 题型02 抛物线的定义及辨析(含焦半径公式应用) 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 2．（25-26高二上·河北张家口·期末）点在抛物线上，若点到点的距离为5，则点到轴的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线方程为， 因为点到焦点的距离为5，则点到准线的距离为5， 且点在轴上方，所以点到轴的距离为. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】先设 ，由抛物线的定义可知 ，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以，得到 【详解】设 ,准线为 ， 由抛物线的定义可知点M到准线距离为 ， M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以 即，得到 故选：C 4．（25-26高二下·山东滨州·开学考试）若一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标及准线方程，结合动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，可知动圆恒过抛物线焦点． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切， 则动圆圆心到的距离等于到准线的距离， 由抛物线定义可知，动圆恒过定点． 5．已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（　　） A．16 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的准线方程、焦点的坐标，再根据抛物线的定义，求出点的坐标，进而利用向量垂直的坐标性质即可得解. 【详解】在抛物线中，，则， 所以焦点，准线方程为. 设点的坐标为，则，故， ，且, 又， 则 解得． 故选：C. 题型03 求抛物线的方程 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 【答案】(1) (2) (3)或． (4)或或或． 【分析】（1）根据焦点位置得到，则得到其标准方程； （2）根据准线方程得到，则得到其标准方程； （3）利用待定系数，设出抛物线方程，代入所过得点即可； （4）根据距离求出，则得到其标准方程. 【详解】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （2）焦点在轴正半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （3）由题意，抛物线方程可设为或， 将点的坐标代入，得或， 或． 所求抛物线的标准方程为或． （4）由焦点到准线的距离为，可知． 所求抛物线的标准方程为或或或． 2．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 4．设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两点坐标，根据垂直得到方程，求出，得到答案. 【详解】令中得，解得，    不妨设， 因为OD⊥OE，所以，解得， 故C的标准方程为. 故选：B 5．设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解. 【详解】解：由题意得： ，，，所以 可得，由抛物线的定义得 所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是． 故选：B 6．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 【技巧归纳】 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 题型04 与抛物线有关的轨迹问题 1．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 2．（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 4．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 5．（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·期末）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 6．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 【技巧归纳】 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 题型05 抛物线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由抛物线的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可知的坐标为的准线的方程为， 由抛物线的定义可知|MF|等于到的距离， 所以的最小值为到的距离，即最小值为. 故选：D 2．（24-25高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【详解】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上，是上的动点，为直线上一定点，到的距离为，若取得最小值时点与重合，则（   ） A． B． C．12 D．24 【答案】B 【分析】由抛物线的定义将的最小值转化为，由此可知取得最小值时三点共线，由两点式写出直线，再将点代入直线，则可求出答案. 【详解】将点代入，解得， 所以抛物线，焦点，准线， 由抛物线的定义可知：， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立. 又取得最小值时点与重合， 所以三点共线， 直线 将点代入：， 解得. 4．（2025高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：。 5．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】结合抛物线的定义可得，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】由抛物线，则焦点为，准线为， 则， 当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 【技巧归纳】 1、利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题. 2、与抛物线上的点有关的最值问题,应注意抛物线上点的坐标的范围以及抛物线上点的坐标的设法,如 y2=2px(p>0)中x≥0,y∈R,而抛物线上的点可设为(2pt2,2pt)或(,y0). 题型06 抛物线在实际问题中的应用 1．（25-26高二上·山东青岛·期末）一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处被信号接收器接收，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为2m，则信号接收器与抛物线顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建系求出抛物线的标准方程，再写出抛物线的焦点坐标，再求出信号接收器与抛物线顶点的距离. 【详解】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 接收天线的口径为，深度为，则抛物线上有一点的坐标为，代入抛物线方程中，解得，. 所以信号接收器与抛物线顶点的距离为. 故选：D 2．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点， 即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时， 此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为， 利用抛物线的定义得：. 故选：C    4．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    【答案】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：.    【技巧归纳】 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 1．（24-25高二上·山东德州·阶段检测）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案. 【详解】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为， 则，故焦点坐标为. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程． 【详解】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为． 故选：D 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 4．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 5．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意列出点的坐标满足的方程，化简可得其轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 化简得，即点的轨迹方程为. 故选：C 7．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，整理即可得解. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 8．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过到直线的距离确定横坐标，再结合抛物线定义即可求解. 【详解】由抛物线，得，即. 得准线方程为，焦点. 设点横坐标为，点到直线的距离为， 即，解得. 根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， 因此： . 9．（25-26高二上·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，由点到其焦点的距离为9， 得，解得，而，则， 所以点的坐标为. 故选：D 10．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义列方程，求得，结合点坐标求得. 【详解】依题意，焦点， 由，根据抛物线的定义，得，所以， 则，代入，得，又，解得. 故选：C 11．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 12．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 13．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 14．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在其准线上，三角形PQF为等边三角形，则P点的横坐标为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】如图由题意，因三角形为等边三角形，则准线上的点满足， 由抛物线的定义可知与准线垂直， ， 因，，解得，即P点的横坐标为3. 15．（25-26高二上·辽宁锦州·阶段检测）已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（   ） A． B．3 C．2 D．6 【答案】D 【分析】由抛物线定义及已知条件知△为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知：，又 为等边三角形，， 因为抛物线方程为：，则. 故，故 故选：D. 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解． 【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立． 故选：B． 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 19．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $