广东省揭阳真理中学2026～2027学年上学期八年级数学入学考模拟卷3

**基本信息** 以全国消防日、传统“燕几”等真实情境为载体，融合几何直观与运算能力，适配八年级入学诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|轴对称图形、整式运算、全等三角形|结合消防标志考轴对称，体现数学眼光| |填空题|5小题|平行线性质、函数关系、折叠问题|以“抖空竹”抽象几何模型，培养推理意识| |解答题|8小题|三角形内角和证明、测量方案设计、面积恒等式探究|“校园科技节”光学模型题，发展模型意识与应用能力|

广东省揭阳真理中学2026~2027学年第一学期八年级数学入学考模拟卷3 一．选择题（共10小题） 1．2026年11月9日是第35个全国消防日．下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A．消防报警按钮 B．地上消防栓 C．发声报警器 D．推车式灭火器 2．下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（　　） A．旭日东升 B．守株待兔 C．瓮中捉鳖 D．缘木求鱼 3．下列计算正确的是（　　） A．x3•x2＝x6 B．（﹣x2）3＝x6 C．3x2﹣x＝2x D．x3y÷x2＝xy 4．张老师让同学们作△ABC中BC边上的高，下列作法正确的是（　　） A．B． C．D． 5．变量y随x变化的关系式如图所示，当x从2增加到4时，y的值增加了（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，在五线谱图上，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点O处用电钻打孔，墙壁厚35cm（即OA＝35cm，OA平行于地面），点A与地面的距离为40cm，要使钻头从墙壁对面距地面18cm的点B处打出（AB⊥OA）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取OC＝35cm，再过点C作CD⊥OC，连结DO，然后沿着DO的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点B处打出，则CD的长为（　　） A．40cm B．35cm C．22cm D．17cm 8．如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 9．一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 10．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x，七张桌子总面积为S，则S与x的关系可以表示为（　　） A．S＝20x2 B．S＝12x2 C．S＝7x2 D．S＝4x2+3 二．填空题（共5小题） 11．已知x2﹣2x＝3，则代数式（x﹣4）（2x+3）+x的值为　 　 ． 12．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连接AE，CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　 　 ． 13．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的关系式为　 　 ． 14．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点B，C分别落在点B′，C′的位置，C′在AD上，再沿AB折叠，点B′落在点B″位置，点B″在C′E上，若∠1＝∠2，则∠1＝　 　 °． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，当点D在射线CB上时，连接AD，在直线AC左侧作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交直线AC于M，若AC＝3CM，则的值为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．计算：（1）； （2）（a3）2•（a4）3+a2． 17．在学习八年级数学下册第一章第1节“三角形内角和定理”时，小华发现：在△ABC中，过AB边上一点P，添加适当的辅助线，也能证明∠A+∠B+∠C＝180°． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作出所需辅助线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据所作辅助线，证明：∠A+∠B+∠C＝180°． 18．如图①是一个质地均匀的正六面体骰子，如图②正六边形ABCDEF顶点处各有一个圆圈．小星和小红进行一个跳圈游戏，规则如下：游戏者投掷骰子一次，根据骰子正面朝上的点数，沿正六边形的边按逆时针方向连续跳圈．请回答下列问题： （1）若小星从圆圈A起跳，则他仅投掷一次骰子，就能跳回到圈A的概率P＝　 　 ； （2）若小红从圆圈B起跳，则她也只投掷一次骰子就跳到圈A的概率与（1）中小星的概率相同吗？说明理由． 19．综合与实践 实践主题：我是城市建筑师 生活情境 我市在创建全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离栏的长度进行测量，得到如表数据： 盆栽个数 2 3 4 5 6 … 护栏总长度（米） 5.4 a 13.8 18 b … 根据上述材料解决以下问题： （1）根据表中数据的规律，表中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）设有x个盆栽（x≥2），护栏总长度为y米，则y与x的关系式为　 　 ． （3）若在一条长度为165米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽？ 20．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离AB． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离AB 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长AC至点D，使AC＝DC，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接DE． 如图2，在BA的延长线上取点C，在点C的正东方取点D，使CD＝AC，连接BD，在CD延长线上取点E，连接AE，使得∠CAE＝∠CDB，测得DE＝50米． 任务一 判断分析 （1）在第一小组的方案中，测量出线段DE的长度，就可以得到点A与点B的距离AB，请说明理由． 任务二 推理计算 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离AB． 21．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是　 　 ； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知a+b＝5，ab＝5，则（a﹣b）2+（a+2）（b+2）＝　 　 ． ②已知（2026﹣a）2+（a﹣2025）2＝7，求（2026﹣a）（a﹣2025）的值． 【知识迁移】（3）如图5，某校举办了以“智启未来，科技筑梦”为主题的校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形ABCD与小正方形EFGH的边长分别为a和 b（a＞b）．已知两正方形边长之和a+b＝6，边长之积ab＝5，且E为AB中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 22．综合与实践 基本图形 如图1，在四边形ABCD中，延长BA至点E，∠DAE＝∠ABC，∠BAD＝∠BCD． （1）①求证：∠ABC＝∠D． ②如图1，∠ABC的三等分线与∠BCD的三等分线交于点P，且∠CBP＞∠ABP，∠PCB＞∠PCD，求∠BPC的度数． 类比探究 （2）如图2，F是射线AE上一点，连接CF，交AD于点G，∠AGC＝138°．若∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P，∠DAP＜∠EAP，∠PCF＜∠PCD，请直接写出∠APC的度数． 拓展延伸 （3）如图3，F是射线AE上一点，连接CF．延长AB，FC分别至点H，I．∠CBH的三等分线与∠DCI的三等分线CK的反向延长线交于点Q，且∠CBQ＞∠HBQ，∠ICK＞∠DCK，∠BQC＝72°．若∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P，且∠DAP＝m∠EAP，∠PCF＝n∠PCD，m＝n，求∠APC的度数． 23．已知直线AB∥CD，点M、N分别为直线AB、CD上的两点，连接MN． （1）如图1，作射线NE，使得，交直线AB于点E，点F为平行线AB、CD内部一点且在线段MN的左侧，连接FE、FN．若∠FNC＝3∠FNM，∠FEN＝15°，求∠F的度数； （2）如图2，点O为平行线AB、CD内部一点且在线段MN的右侧，连接OM、ON，∠AMO的角平分线与∠OND 的角平分线的反向延长线交于点P． ①请探究∠O与∠P的数量关系，并说明理由； ②点Q为△MNO内部一点，连接QM、QN，若∠QMN＝2∠QMO，∠QNM＝2∠QNO，试直接写出∠Q与∠P的数量关系； （3）如图3，在（1）问的条件下，∠AMN的角平分线的反向延长线与射线NE交于点H，且满足MH∥FE，将△NFE绕着点N以每秒5°的速度顺时针旋转得到△NF'E'，当NE'落在直线CD上时，该三角形立即改为绕点N以每秒9°的速度逆时针旋转．△NFE开始运动的同时，将△MHE绕着点M以每秒3°的速度逆时针旋转得到△MH'E''，当MH'落在直线AB上时，两个三角形同时停止旋转．设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当直线E'F'与△MH'E''的某一边垂直时，请求出所有满足条件的时间t的值． 数学试题 第 1 页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 广东省揭阳真理中学2026~2027学年第一学期八年级数学入学考模拟卷3 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．【解答】解：A、选项事件是必然事件，不符合题意； B、选项事件可能发生，不符合题意； C、选项事件可能发生，不符合题意； D、选项事件绝对不可能发生，符合题意． 故选：D． 3．【解答】解：根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、整式的除法逐项分析判断如下： A、x3•x2＝x3+2＝x5≠x6，故A错误； B、（﹣x2）3＝（﹣1）3•（x2）3＝﹣x6≠x6，故B错误； C、3x2﹣x≠2x，故C错误； D、x3y÷x2＝x3﹣2y＝xy，故D正确． 故选：D． 4．【解答】解：选项A中，线段AD即为BC边上的高． 故选：A． 5．【解答】解：当x＝2时，y＝3x﹣1＝3×2﹣1＝5， 当x＝4时，y＝3x﹣1＝3×4﹣1＝11， 所以当x从2增加到4时，y的值增加了11﹣5＝6， 故选：D． 6．【解答】解：在五线谱图上，若∠1＝30°， ∵五根等距离的平行线， ∴∠2＝∠1＝30°． 故选：A． 7．【解答】解：∵AB⊥OA，CD⊥OC， ∴∠A＝∠C＝90°， ∵点A与地面的距离为40cm，点B距地面18cm， ∴AB＝22cm， 在△ABO与△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴CD＝AB＝22（cm）， 故选：C． 8．【解答】解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F． ∵MN∥AB， ∴OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）． 如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'． 由题意可知：OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'， ∴OD'＝OE'＝OF'， ∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点， 故选：A． 9．【解答】解：设每块地砖的边长为1，则阴影区域的面积为：＝5， ∴小球停留在阴影区域的概率是． 故选：C． 10．【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为5x， ∴S＝4x•5x＝20x2， 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：（x﹣4）（2x+3）+x ＝2x2+3x﹣8x﹣12+x ＝2x2﹣4x﹣12 ＝2（x2﹣2x）﹣12， 当x2﹣2x＝3时，原式＝2×3﹣12＝﹣6． 故答案为：﹣6． 12．【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠A＝65°， 又∵∠DFE＝∠C+∠E， ∴∠C＝∠DFE﹣∠E＝65°﹣20°＝45°． 故答案为：45°． 13．【解答】解：∵用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米， ∴x+2y＝36， ∴． 故答案为：y＝18﹣x． 14．【解答】解：设∠B'FG＝α，∠1＝β，则∠2＝β， 由折叠得：∠GFB''＝∠B'FG＝α，∠B'＝∠GB''F＝∠B'C'B''＝90°， ∴∠1+∠C'B''G＝∠C'B''G+∠FB''E＝90°， ∴∠FB''E＝∠1＝β， ∵C'E∥B'F， ∴∠B'FB''＝∠FB''E， ∴β＝2α， ∵CD∥AB， ∴∠CEF＝∠AFE＝α+β＝∠C'EF， △FEB''中，∠FEB''+∠EFB''+∠FB''E＝180°， ∴α+β+β+β＝180， ∴7α＝180， ∴α＝， ∴∠1＝β＝2α＝（）°； 故答案为：（）． 15．【解答】解：当点D在点B右侧时，如下图所示， 过点E作EG⊥AC，则∠AGE＝90°， ∴∠EAG+∠AEG＝90°， ∵AE⊥AD， ∴∠EAG+∠GAD＝90°， ∴∠AEG＝∠CAD， 在△AEG和△DAC中， ， ∴△AEG≌△DAC（AAS）， ∴EG＝AC＝BC， 在△EGM和△BCM中， ， ∴△EGM≌△BCM（AAS）， ∴CM＝GM，AG＝CD， 设CM＝GM＝a， ∵AC＝3CM， ∴AC＝BC＝EG＝3a， ∴AM＝AC+CM＝4a，AG＝CD＝5a， ∴BD＝CD﹣BC＝5a﹣3a＝2a， ∴，， ∴； 当点D在线段CB上时，如下图所示， 过点E作EG⊥AC，则∠AGE＝90°， ∴∠EAG+∠AEG＝90°， ∵AE⊥AD， ∴∠EAG+∠GAD＝90°， ∴∠AEG＝∠CAD， 在△AEG和△DAC中， ， ∴△AEG≌△DAC（AAS）， ∴EG＝AC＝BC，AG＝CD， 在△EGM和△BCM中， ， ∴△EGM≌△BCM（AAS）， ∴CM＝GM， 设CM＝GM＝a， ∵AC＝3CM， ∴AC＝BC＝EG＝3a， ∴AG＝AC﹣CM﹣GM＝3a﹣a﹣a＝a，AG＝CD＝a， ∴BD＝BC﹣CD＝3a﹣a＝2a， ∴，， ∴； 综上所述，或． 故答案为：1或． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝75+32﹣5 ＝102； （2）（a3）2•（a4）3+a2 ＝a6•a12+a2 ＝a18+a2． 17．【解答】（1）解：辅助线如图： （2）证明：由作图可知GH∥BC，MQ∥AC， ∴∠1＝∠C＝∠4，∠2＝∠A，∠3＝∠B， ∵A、P、B三点共线， ∴∠2+∠3+∠4＝180°， 则∠A+∠B+∠C＝180°； 18．【解答】解：（1）若小星从圆圈A起跳，则他仅投掷一次骰子，就能跳回到圈A的概率P＝； 故答案为：； （2）小红只投掷一次骰子就跳到圈A的概率与（1）中小星的概率相同， 理由：∵小红从圆圈B起跳，沿逆时针方向到A需经过CDEFA（5步），即掷出5点，概率为， ∴小红只投掷一次骰子就跳到圈A的概率与（1）中小星的概率相同． 19．【解答】解：（1）观察表格数据发现：当盆栽个数为4个时，护栏总长度是在盆栽个数为3个的基础上，增加一个盆栽的宽度1.2米和两个盆栽之间的距离3米， ∴a＝1.2×3+3×（3﹣1）＝3.6+6＝9.6（米）． 当盆栽个数为6个时，护栏总长度是在盆栽个数为5个的基础上，增加一个盆栽的宽度1.2米和两个盆栽之间的距离3米， ∴b＝1.2×6+3×（6﹣1）＝7.2+15＝22.2（米）． （2）当盆栽个数x≥2，每增加一个盆栽，护栏总长度为 y 米就增加一个盆栽的宽度1.2米和两个盆栽之间的距离3米， ∴y＝1.2+（1.2+3）（x﹣1）＝4.2x﹣3（x≥2）， ∴y＝4.2x﹣3（x≥2）， 故答案为：y＝4.2x﹣3（x≥2）． （3）根据（2）得y与x的关系式为y＝4.2x﹣3（x≥2）， 当y＝165米时，4.2x﹣3＝165， 解得：x＝40， ∴在一条长度为165米的道路两旁加装花卉盆栽，共需要加装的盆栽个数为：40×2＝80（个）． 20．【解答】解：（1）由题意得，∠A＝∠D＝90°，AC＝DC，∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE， ∴测量出线段DE的长度就可以得到点A与点B的距离AB； （2）在△CAE和△CDB中， ， ∴△CAE≌△CDB（ASA）， ∴CE＝CB， ∵CD＝AC， ∴CE﹣CD＝CB﹣AC，即DE＝AB， ∵DE＝50米， ∴AB＝50米． ∴点A与点B之间的距离AB为50米． 21．【解答】解：（1）图4中阴影部分是一个边长为（a﹣b）的正方形，其面积为（a﹣b）2，而阴影正方形的面积也等于大正方形（边长为a+b）面积减去4个边长为a，b的长方形的面积，即（a+b）2﹣4ab， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． （2）①由（1）可知（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25﹣20＝5， （a+2）（b+2）＝ab+2（a+b）+4＝5+2×5+4＝19， ∴（a﹣b）2+（a+2）（b+2）＝5+19＝24， 故答案为：24； ②（2026﹣a+a﹣2025）2＝（2026﹣a）2+（a﹣2025）2+2（2026﹣a）（a﹣2025）＝1， ∵（2026﹣a）2+（a﹣2025）2＝7， ∴（2026﹣a）（a﹣2025）＝×（1﹣7）＝﹣3； （3）∵E为AB中点， ∴AE＝BE＝a， 如图5，延长HG交BC于点P，则四边形EHPB为长方形， ∴PB＝EH＝b，PH＝BE＝a，CP＝a﹣b， ∴S△AHC＝S△ABC﹣S△AEH﹣S△CPH﹣S长方形EHPB ＝ ＝， ∴阴影部分的面积为， ∵a+b＝6，ab＝5， ∴， 故答案为：4． 22．【解答】（1）①证明：∵∠DAE＝∠ABC，∠BAD＝∠BCD，∠DAE+∠BAD＝180°， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠DAE＝∠D， ∴∠ABC＝∠D． ②解：如图1，过点P作PM∥AB． 由①可知AB∥CD， ∴PM∥AB∥CD， ∴∠ABP＝∠BPM，∠PCD＝∠CPM． ∵∠BPC＝∠BPM+∠CPM， ∴∠BPC＝∠ABP+∠PCD． ∵∠ABC的三等分线与∠BCD的三等分线交于点P，且∠CBP＞∠ABP，∠PCB＞∠PCD， ∴． ∵∠ABC+∠BCD＝180°， ∴， ∴∠BPC＝∠ABP+∠PCD＝60°． （2）解：如图2，过点P作PN∥AB． 由（1）①可知AB∥CD， ∴PN∥AB∥CD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠EAD＝∠B，∠B+∠BCD＝180°，∠AGC+∠BCG＝180°． ∴∠EAD+∠BCD＝180°，∠BCG＝180°﹣∠AGC＝180°﹣138°＝42°， ∵∠EAD+∠BCG+∠DCG＝180°， ∴∠EAD+∠DCG＝180°﹣∠BCG＝180°﹣42°＝138°， ∵∠APC＝∠2+∠3， ∴∠APC＝∠1+∠4． ∵∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P，∠DAP＜∠EAP，∠PCF＜∠PCD， ∴． ∴， ∴∠APC＝∠1+∠4＝92°． （3）解：F是射线AE上一点，连接CF．延长AB，FC分别至点H，I．∠CBH的三等分线与∠DCI的三等分线CK的反向延长线交于点延长DC至点L， ∴∠DCK＝∠LCQ， 由题意可知． 同（1）②可知∠BQC＝∠HBQ+∠LCQ＝∠HBQ+∠DCK， ∴， ∴∠CBH+∠DCI＝216°． ∵∠DAE＝∠ABC， ∵∠DAE＝∠ABC， ∴∠CBH＝180°﹣∠ABC＝180°﹣∠DAE． ∵∠DCI＝180°﹣∠DCF， ∴∠CBH+∠DCI＝180°﹣∠DAE+180°﹣∠DCF＝360°﹣（∠DAE+∠DCF）＝216°， ∴∠DAE+∠DCF＝144°． 分类讨论：（i）当m＝n＝2时，即，点P为图2中点P1的位置， ∴． （ii）当时，即，，点P为图2中点P2的位置， 同（1）②∴． 综上所述，∠APC的度数为48°或96°． 23．【解答】（1）解：∵，设∠MNE＝x，则∠MND＝4x， 又∵∠FNC＝3∠FNM，设∠FNM＝y，则∠MNC＝4y， ∵∠MND+∠MNC＝180°，即4x+4y＝180°， ∴x+y＝45，即∠FNE＝∠FNM+∠MNE＝45°， 在△FNE中， ∵∠FEN＝15°， ∴∠F＝180°﹣∠FNE﹣∠FEN＝180°﹣45°﹣15°＝120°， （2）①2∠P+∠MON＝180°． 证明：∵MP平分∠AMO，NH平分∠OND， ∴设∠AMP＝∠OMP＝α，∠ONH＝∠DNH＝β， ∴∠OMB＝180°﹣2α， ∵AB∥CD，∠AMP＝∠MSN＝α，∠SNP＝∠DNH＝β， ∴∠P＝∠MSN﹣∠SNP＝α﹣β， 过点O作OK∥AB， ， ∴OK∥CD， ∴∠MOK＝∠OMB＝180°﹣α，∠KON＝∠OND＝2β， ∴∠MON＝∠MOK+∠KON＝180°﹣2α+2β， ∴2∠P+∠MON＝180°； ②4∠P+3∠Q＝540°． 解：设∠QMO＝m，∠QNO＝n， 则∠QMN＝2m，∠QNM＝2n， ∴∠OMN＝3m，∠ONM＝3n， 由①中2∠P+∠O＝180°，且∠O＝180°﹣3m﹣3n， 代入得2∠P+180°﹣3m﹣3n＝180°， 即2∠P＝3（m+n）， 在△QMN 中，∠Q＝180°﹣2m﹣2n， 即， 将，代入2∠P＝3（m+n）， 可得， 整理得4∠P+3∠Q＝540°． （3）解：∵MH∥FE， ∴∠H＝∠FEN＝15° 设∠HME＝x，ML平分∠AMN， 则∠HME＝∠AML＝x， ∵HM是∠AMB的角平分线的反向延长线， ∴∠HME＝∠AML＝LMN＝x，∠AMN＝∠AML+∠LMN＝2x， ∵AB∥CD， ∴∠AMN＝∠MND＝2x， ∴， ， ， 解得x＝30°，即∠HME＝30° ∴∠HEB＝∠H+∠HME＝45° ∵AB∥CD， ∴∠HEB＝∠END＝45°， 如图，将△MEH平移到和△ENF共顶点N的位置得△NE1H1， 将△NE1H按△MEH的方式旋转， 即旋转后的三角形记为△NE2H2， 由题意，直线E'F'与△MH'E''的某一边垂直时， 直线E'F'与△NE2H2的对应边垂直， 过点N作NS⊥EF延长线于点S， S随△ENF一起旋转，即旋转中的S为S'， ∴直线E'F'与△NE2H2的某一边垂直时，直线NS'与△NE2H2的此边共线与平行， 当NE'落在直线CD上时，t＝45°÷5°＝9（s）， 当MH'落在直线AB上时，t＝（180°﹣30°）÷3°＝50（s）， 当0＜t＜9时， 由平移得MH∥NH1， 又∵NS⊥EF，MH∥FE， ∴NS⊥NH1， 要使NH2与直线NS'共线，可得5°t+3°t＝90°， 解得t＝，不存在， ∠SNH＝90°﹣∠SEN＝75°，NH∥E1H1， ∴SN和E1H1的夹角为75， ∴要使E2H2与直线NS'平行，可得5°t+3°t＝75°， 解得t＝； ∠SNE1＝∠SNE+∠END＝120°， ∴要使NE2与直线NS'平行，可得5°t+3°t＝120°， 解得t＝15＞9，不存在， 当t＝9时，此时△NE2H2和△NS'E'位置如图 此时∠S'NH2＝90°﹣（5°+3°）×9＝18°，∠S'NE2＝120°﹣（5°+3°）×9＝48°， S'N和E2H2的夹角为75°﹣（5°+3°）×9＝3° 当9＜t≤50时， 要使NH2与直线NS'共线，可得9°（t﹣9）+18°﹣3°（t﹣9）＝180°， 解得t＝36， 要使NE2与直线NS'共线，可得9°（t﹣9）+48°﹣3°（t﹣9）＝180°，解得t＝31， 要使E2H2与直线NS'平行，可得9°（t﹣9）+3°﹣3°（t﹣9）＝180°解得t＝38.5°， 综上，t＝31，36，38.5 学科网（北京）股份有限公司 $