第3章勾股定理章末检测卷-2026-2027学年苏科版 数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理单元复习，融合文化传承与现实应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，考查抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|勾股数判断（如第2题《周髀算经》勾股数）、直角三角形边长计算（如第5题）|结合文化情境，基础概念辨析| |填空题|6|折叠问题（如第12题长方形折叠）、数轴表示无理数（如第13题）|几何直观与空间观念应用| |解答题|5|勾股数组规律探究（第19题）、实际问题（第18题风筝高度计算）|推理能力与模型意识，综合应用|

第3章勾股定理章末检测卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．已知一个直角三角形的三边长均为正整数，其中一条直角边为8，则它的另两边长可能是（   ） A．6，8 B．6，12 C．15，17 D．24，25 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 5．古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理，该定理是直角三角形的重要性质．若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．14 C．2 D． 6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺 7．已知三边长分别为a，b，c，且满足，则是（） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为最短边的锐角三角形 D．等腰三角形 8．数形结合是解决数学问题非常好用的一种方法，根据形的直观性可知代数式的最小值是（   ） A．4 B． C． D．5 9．如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 10．已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm．那么这个三角形的面积为________． 11．有一棵树（将树看作一个圆柱）高，底面周长是，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度是________m． 12．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点，，．则的长为________． 13．如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________． 14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为______． 15．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 三、解答题 16．已知，中，，，． (1)尺规作图：在上找一点使得点到的距离等于的长；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上过点作，垂足为点，求的长． 17．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 18．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 19．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 20．如图1，在四边形中，，P是上一点，，． (1)求证：． (2)如图2，在四边形中，，P是上一点，，．那么，，之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章勾股定理章末检测卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C B A A A A D A 1．C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．利用直角三角形中的斜边是最长边、勾股定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、若另两边长为6，8，则三边长为6，8，8，根据勾股定理，，不满足勾股定理，则此项不符合题意； B、，不满足勾股定理，则此项不符合题意； C、，满足勾股定理，则此项符合题意； D、，不满足勾股定理，则此项不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是利用定义进行判断；勾股数需满足三个正整数且符合勾股定理，逐一验证各选项即可. 【详解】解：勾股数要求三个正整数且满足， 选项A：不是正整数，不符合； 选项B：中和不是整数，不符合； 选项C：均为正整数，且，，∴，符合； 选项D：均为正整数，但，，，不符合. ∴故选：C. 3．B 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过作垂线构造全等三角形，结合勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵是的外角平分线，且，， ∴． 设，则． 在和中，，，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． 故点到直线的距离为； 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的直角边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：， ∵正方形的面积分别为36，64， ∴，， ， ． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么，即． 根据勾股定理直接计算斜边长即可． 【详解】解：∵两直角边长分别为6和8， ∴斜边长． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键：根据题意，竹子原高10尺，折断后竹尖触地，离根3尺，设折断处高度为x尺，则折断部分长度为尺，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设折后竹尖离地面高度为x尺，则折断部分长度为尺， 由勾股定理得：， 即 ， 解得． 故折后竹尖离地面高度为4.55尺． 故选A． 7．A 【分析】本题考查二次根式，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理．先由非负性求出a，b，c的值，再通过勾股定理逆定理判断三角形形状． 【详解】解：∵，，， 且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是以为斜边长的直角三角形． 故选：A． 8．D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把加法算式中的两部分转化成线段是解题的关键． 如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ．易得当A、E、C三点共线，则的值最小为，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ． ∴， ∴当A、E、C三点共线，则的值最小为， 如图：在中，，， ∴． 故选D． 9．A 【分析】本题主要考查了勾股定理； 由勾股定理结合正方形的面积可知，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 10． 【分析】此题考查了勾股定理以及完全平方公式变形的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为，根据周长求出，再利用勾股定理和完全平方公式求出，最后计算面积． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为， 根据题意得：，， ∴， 由勾股定理得，， ，即， 解得． 面积为． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了圆柱体的展开图、线段的最短距离和勾股定理，将几何体展开为平面图是解题的关键；首先将圆柱体侧面展开其侧面图为矩形，再根据已知条件求出矩形的长和宽，再利用勾股定理即可求出这条藤的长度． 【详解】解：如图：，， ∵， ∴， 故答案为：． 12．5 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故答案为：5． 13． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，勾股定理， 先根据勾股定理求出，即可求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点E所表示的数是． 故答案为：． 14．72 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求六个小正方形的面积之和． 【详解】解：根据勾股定理知：，，， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 16．(1)如图所示，点即为所求； (2) 【分析】（1）作出的角平分线与相交，交点即为点，由于，则根据角平分线的性质定理即可得到点到的距离等于的长； （2）先由勾股定理求解，然后根据角平分线性质定理得到，再设，则，根据面积法得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵，， ∴ ∵平分，， ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴． 17．(1)的长为5； (2)四边形的面积为36 【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：在中，由于，即， ∴是直角三角形， ∴． 18．(1) (2)解：不能成功，说明如下： 如图所示，延长至点，连接，使得， ． 在中，由勾股定理得． ，余线仅剩， ∴风筝线的总长度为， ∵， ∴， ∴不能成功． 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，可得，，在中，根据勾股定理求出 的长即可求解； （2）延长至点，连接，使得，利用勾股定理求出的长，再与风筝线的总长度比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， 答：风筝离地面的垂直高度为． （2）略 19．(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 20．(1)证明：， ，， ， 又，， ， ，， ； (2)解：， 证明：过点作于，过点作于， 由（1）可知，， ，，， ，， ，，，， ， ； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在等腰直角三角形中，，则， 在中，，，则， 同理可得：， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $