2.2.2 《一元二次方程的解法(第2课时 因式分解法)》讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的因式分解法，前承已学的配方法，后启未学的公式法，构建解法知识链。学习支架含课前回顾因式分解工具，方法梳理四步法，典例精讲十字相乘、提公因式等技巧，分层训练覆盖基础到拓展。 以数学抽象、逻辑推理、直观想象为核心，通过面积模型（例3）实现数形结合，分层训练融入中考真题和情境题（如种植园问题）。课中助力教师突破易错点，课后学生可通过六大题型拓展和参考答案查漏补缺。

配 套 讲 义 第2章 2.2 一元二次方程的解法 （2.2.2 因式分解法 · 第2课时） 配套教材：苏科版(2024) 九年级数学上册 2026-2027 学年 | 九年级数学配套 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 一、学习目标 说清原理：用自己的话说出“若 AB = 0，则 A = 0 或 B = 0”为什么能用来解方程，并复述四步法. 正确降次：能把一个一元二次方程通过因式分解，变成两个一元一次方程来求解. 会选方法：会根据方程特点，选用提公因式、平方差/完全平方公式（七年级已学），或十字相乘法来分解. 检验应用：会解实际应用题，并求出所有根、检验并舍去不合题意的根. （本课承载的核心素养：数学抽象 · 逻辑推理 · 数学运算 · 直观想象） 二、课前回顾 前面已学 2.2.1 配方法（以直接开平方法为基础）.本课学习 2.2.2 因式分解法，是解一元二次方程的又一常用方法. 课时 解法 2.2.1（第1课时·已学） 配方法（以直接开平方法为基础） 2.2.2（第2课时·本课） 因式分解法 2.2.3（第3课时·未学） 公式法（含一元二次方程根的判别式） 因式分解的常用工具（七年级已学）： （1）提公因式法； （2）运用乘法公式——平方差公式 a²−b² = (a+b)(a−b)、完全平方公式 a²±2ab+b² = (a±b)²（这两个是七年级已学的代数恒等式，不是解一元二次方程的“公式法”）； （3）十字相乘法. 本解法最核心的依据： 这句话是因式分解法解方程的根本——把“乘积为 0”拆成“因子为 0”，方程就从二次降成了一次. 三、学习导航 建议你按下面的顺序学习，效果最好： ① 先读“四、方法梳理”，把四步法记住； ② 遮住“五、典例精讲”的解答，自己先算一遍，再对照； ③ 做“六、分层训练”，做完翻到“八、参考答案”核对； ④ 有余力再做“七、拓展提高”六大题型； ⑤ 最后用文末“本讲要点回顾”检验自己是否真懂了. ▶ 小贴士 遇到不会的题，先回看对应的例题思路，再自己尝试；不要急着翻答案. 做错的题，用红笔在旁边写一句“我错在哪”，比多做三道新题更有用. 四、方法梳理 因式分解法解一元二次方程，分四步走： 步骤 操作要点 ① 移项 把方程右边化为 0 ② 分解 把左边分解为两个一次因式的积 ③ 降次 令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程 ④ 求解 分别解这两个一元一次方程，即得原方程的解 因式分解法解题流程图（四步法） ▶ 方法点拨 小窍门： ① 先看右边是不是 0，不是就先移项； ② 再看左边能不能分解； ③ 优先提公因式，再看是否平方差/完全平方，最后考虑十字相乘. 方法提醒 1 什么时候该用因式分解法？方程右边已经是 0，且左边能化成两个一次因式的乘积——这时用它比配方法更简便、计算量更小. ② 几种解法，按下面顺序判断该用哪一个（公式法在 2.2.3 才学，本课时暂不用）： 判断顺序 选择解法 ① 形如 (x+m)² = n（n ≥ 0） 直接开平方法 ② 右边为 0 且左边可分解 因式分解法（首选） ③ 不易分解、二次项系数不为 1 配方法 ④ 都不会 / 较复杂 先配方；公式法在第2.3(2.2.3)再学 ▶ 分解技巧速查 提公因式：各项有公共因式，尤其“两边都有同一个含 x 的式子”时要移项后整体提取； 平方差：看见平方相减（如 a²−b²）先用它； 完全平方：a²±2ab+b² = (a±b)²； 十字相乘：二次三项式 ax²+bx+c，把 a、c 拆开交叉相乘凑出 b. ▶ 易错红线 红线1：方程右边必须先化为 0，才能分解； 红线2：绝对不能两边同除以含未知数的式子（会丢根）； 红线3：分解要彻底，得到的一次因式分别令其为 0，别漏根. 五、典例精讲 ▶ 学习重点 ① 四步法：右边化 0 → 左边分解 → 各因式为 0 → 分别求解； ② 核心原理 AB = 0 ⇒ A = 0 或 B = 0（把“二次”降成“一次”）. ▶ 学习难点 · 如何突破 难点①：右边没化 0 就直接分解.突破：拿到方程先看右边，不是 0 立刻移项. 难点②：两边同除以含 x 的式子而丢根.突破：一律“移项后整体提取公因式”，绝不约分. 难点③：不会选分解方法.突破：先看能否提公因式，再看是否平方差/完全平方，最后十字相乘. 下面三道例题覆盖两种最常见的分解技巧和思想方法.建议先遮住解答自己试，再对照——重点看每道题的“思路”和“怎样突破难点”. 例1 解方程：x² − x − 6 = 0（十字相乘法） 【审题·思路】二次项系数为 1，常数项为 −6.要找两个数，使它们的积为 −6、和为一次项系数 −1. 【突破·十字怎么拆】在草稿上摆十字：x 配一个数、x 配一个数，使对角乘积之和等于一次项系数.试 (−3) 与 (+2)：积 (−3)(+2) = −6 ✓，和 (−3) + (+2) = −1 ✓，于是分解为 (x − 3)(x + 2). 【解答】原方程： 分解： ∴ x − 3 = 0 或 x + 2 = 0，得 x₁ = 3，x₂ = −2. ▶ 方法小结 二次项系数为 1 的二次三项式，只需把常数项拆成两个数，使其和等于一次项系数——这是十字相乘法最基础也最常用的一招. 例2 解方程：3x(x − 2) = 2 − x（整体提取公因式） 【审题·思路】右边不是 0，而且左右两边都含有 (x − 2) 这个因式.不能直接约分，要先移项. 【突破·为什么不能两边除以 (x − 2)】如果两边同除以 (x − 2)，就默认了 x − 2 ≠ 0，从而把 x = 2 这个根丢掉！正确做法是：利用 2 − x = −(x − 2)，把右边移到左边， 再整体提取 (x − 2). 【解答】 原方程： 移项，得 3x(x − 2) + (x − 2) = 0 提取公因式 (x − 2)： ∴ 3x + 1 = 0 或 x − 2 = 0 ▶ 易错警示 典型错误：把 (x − 2) 当公因数约掉，只得到 3x = −1，丢掉了 x = 2！记住红线：方程两边绝对不能同除以含未知数的式子，否则必漏根. 例3（数形结合·面积模型） 讨论：一个长为 (x−2)、宽为 (x−3) 的矩形若其面积为零，则x可能的取值为多少？ 你对解一元二次方程是否有想法？ 【审题·思路】面积相乘得到 x² − 5x + 6 = 0 即“这个矩形的面积等于 0”. 当长或宽为 0 时，矩形“塌”成一条线段、面积为 0，即 x−2 = 0 或 x−3 = 0，故 x = 2 或 x = 3. 这与因式分解法“各因式为 0”的根据完全吻合——图形让抽象的“降次”看得见；也可在数轴上直接标出两个根（见下图） 【突破·数形结合】面积为 0 ⇔ 至少一条边长为 0 ⇔ x = 2 或 x = 3；这两个数在数轴上对应两个确定点，正是方程的实数根. 【解答】 【解答】 令面积为 0， ∴ x = 2 或 x = 3 想法：面积=0 分解为 长=0或宽=0 → 二次方程：.分解为=0或 六、分层训练 下面三组练习由易到难，含 2025-2026 年中考真题与真实情境题.请先自己完成，再翻到第八部分对答案. ★ A层 · 基础达标（必做） 1. 解方程： 2. 解方程： 3. 解方程： ★★ B层 · 能力提升（选做） 4. 解方程： 5. 种植园问题：长方形种植园长 20 m、宽 14 m，内部划出 9 块相同菜地，四周及中间小路宽均为 x m，9 块地总面积为 216 m²（如图），求 x. 图 种植园平面示意：外框 20 × 14，每块地 (20 − 4x) × (14 − 4x) 6. 解方程： ★★★ C层 · 拓展挑战（选做） 7. 解方程： 8. 解方程： 七、拓展提高（六大题型） 前面三道例题覆盖两种最常见的分解技巧和思想方法.下面按“基础 → 易错 → 应用 → 换元 → 分类讨论 → 创新”的顺序，把其余题型集中呈现，题型中融入近年中考真题与当前热点情境，可作为补充或延伸练习.（详细解答见第八部分） 题型1 基础解法型 根据方程结构灵活选择提公因式、运用乘法公式（平方差/完全平方）或十字相乘法，把左边化为两个一次因式的积. ▶ 方法提醒 基础题先看结构：缺一次项→提公因式；平方相减→平方差公式；二次三项式→十字相乘. 1. 解方程： 2. 解方程： 3. 解方程： 题型2 易错辨析型 聚焦“两边同除以含未知数的式子”“忽略右边化为 0”等高频错误，先辨错再正解. ▶ 方法提醒 凡见“两边同除以含 x 的式子”，立刻警觉——几乎必漏根，正确做法是移项后整体提取公因式. 1. 解方程： 2. 解方程： 3. 解方程： 题型3 实际应用型 把真实情境转化为一元二次方程，是本课的重点能力.解题关键是“审题 → 找等量关系 → 设元 → 列方程”，解完还要检验根的合理性（舍去负值或不符合题意的根）. ▶ 审题要点 ① 读题圈出已知量与所求量； ② 找出等量关系（面积 = 长×宽、总场数 = n(n−1)/2 等）； ③ 设未知数； ④ 列方程.审题本身就是学习. 1. 校园农场：矩形菜园长比宽多 4 m，面积为 45 m²，求长宽. 图 菜园示意图：宽 = x，长 = x + 4，面积 45 【审题】已知：长 − 宽 = 4，面积 = 45；所求：长和宽.等量关系：长 × 宽 = 45.设宽为 x m，则长为 (x + 4) m，列方程： 2. 象棋比赛：单循环赛共 45 场，求参赛人数 n. 图 单循环赛示意（以 4 队为例，共 6 场；n 人共 n(n−1)/2 场） 【审题】已知：每两队赛 1 场，总场数 45；所求：人数 n.等量关系：总场数 = n(n−1)/2.列方程： 3. 连续正整数：n(n + 1) = 132，求 n. 图 两个连续正整数 n 与 n+1，乘积为 132 【审题】已知：两个连续正整数相乘得 132；所求：n.等量关系：n(n + 1) = 132.列方程： 题型4 换元法型 当同一代数式重复出现或方程呈现高次结构时，用换元法转化为一元二次方程，解完再回代. ▶ 方法提醒 同一整体重复出现（如 x²−3x）时，设 y = 该整体降次，解完别忘回代. 1. 解方程： 2. 解方程： 3. 解方程： 题型5 分类讨论与含参型 含绝对值或字母系数时，需按取值范围分类讨论，做到不重不漏. ▶ 方法提醒 含绝对值按正负分段；含字母系数注意 a=0 与 a≠0 分情况，做到不重不漏. 1. 解方程： 2. 解关于 x 的方程： 题型6 创新型 以新情境、规律探究等形式考查因式分解法的灵活运用，关键是从中提取数学模型. ▶ 方法提醒 新情境题本质仍是“移项→分解→降次”，先抽出数学模型，再套方法. 1. 解方程： 2. 解方程： 3. 探究： 八、参考答案与详细解析 下面给出讲义中全部题目（分层训练、拓展提高）的完整解答与分步解析.建议先自己做完，再来看这里. （二）分层训练 【A层 第1题】(2025·黑龙江齐齐哈尔·中考) x² − 7x = −12 原方程： 移项，得： ∴ x − 3 = 0 或 x − 4 = 0，解得： 【A层 第2题】(x + 3)² − 9 = 0 原方程： 平方差分解：(x + 3 − 3)(x + 3 + 3) = 0，即： ∴ x = 0 或 x = −6，解得： 【A层 第3题】3x² − 4x = 0 原方程： 提公因式 x： ∴ x = 0 或 3x − 4 = 0，解得： 【B层 第4题】(2026·湖北“楚超”背景) 单循环赛共 136 场，求参赛队数 n 单循环总场数：每两队赛 1 场，共 n(n−1)/2 场，列方程： 整理为标准形式： 因式分解： ∴ n = 17 或 n = −16；队数为正，舍去负值，得： 【B层 第5题】(2025·山东威海·中考) 矩形种植园小路宽问题 设小路宽 x m，9 块地合成长为 (20 − 4x) m、宽为 (14 − 4x) m 的矩形，面积为 24×9 = 216，列方程： 展开整理： 因式分解： ∴ ；其中 x = 8 时 20 − 4x < 0，不合题意，舍去，故小路宽为 . 【B层 第6题】(x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 8 = 0 原方程： 设 y = x² − 3x，方程化为： 因式分解： ∴ y = 4 或 y = −2. 当 y = 4 时，x² − 3x − 4 = 0，分解得： 当 y = −2 时，x² − 3x + 2 = 0，分解得： 综上，原方程的解为： 【C层 第7题】等腰三角形两边为 x² − 6x + 8 = 0 的两根，求周长 原方程： 因式分解： ∴ x = 2 或 x = 4，两根为 2 和 4. 若三边为 2, 2, 4，则 2 + 2 = 4 不满足三角形三边关系，舍去； 若三边为 4, 4, 2，满足关系，故周长为 4 + 4 + 2 = 10. 【C层 第8题】(2026·销售情境) 降价获利问题 设降价 x 元，单件利润为 (15 − x) 元，月销量为 (400 + 5x) 件，总获利 4250 元，列方程： 展开整理： 因式分解： ∴ x = −70（舍去）或 x = 5，得： （三）拓展提高（六大题型） 【题型1 第1题】(2x − 5)² = (x + 1)² 原方程： 移项后用平方差：[(2x−5)−(x+1)][(2x−5)+(x+1)] = 0，即： ∴ . 【题型1 第2题】x² − 12x + 20 = 0 原方程： 十字相乘： ∴ x = 2 或 x = 10，解得： 【题型1 第3题】(x − 1)x = 6 原方程： 去括号整理为标准形式： 十字相乘： ∴ x = 3 或 x = −2，解得： 【题型2 第1题】x² = x 错误解法：两边同除以 x，得 x = 1 —— 漏掉了 x = 0 这个根！ 正确解法：移项，得 x² − x = 0 提取公因式： ∴ x = 0 或 x = 1，解得： 【题型2 第2题】(x − 2)² = 4(x − 2) 错误解法：两边同除以 (x−2)，得 x − 2 = 4，即 x = 6 —— 漏掉了 x = 2！ 正确解法：移项，得 (x − 2)² − 4(x − 2) = 0 提取公因式 (x − 2)： ∴ x = 2 或 x = 6，解得： 【题型2 第3题】(x + 2)² = 3(x + 2) 错误解法：两边同除以 (x+2)，得 x + 2 = 3，即 x = 1 —— 漏掉了 x = −2！ 正确解法：移项，得 (x + 2)² − 3(x + 2) = 0 提取公因式 (x + 2)： ∴ x = −2 或 x = 1，解得： 【题型3 第1题】矩形菜园长比宽多 4 m，面积 45 m² 设宽为 x m，则长为 (x + 4) m，列方程： 整理： 因式分解： ∴ x = −9（舍去）或 x = 5，故宽为 5 m，长为 9 m. 【题型3 第2题】象棋单循环赛共 45 场，求人数 n 列方程： 整理： 因式分解： ∴ n = 10 或 n = −9；人数为正，舍去负值，得： 【题型3 第3题】连续正整数 n 满足 n(n + 1) = 132 列方程： 整理： 因式分解： ∴ n = −12（舍去）或 n = 11，得： 【题型4 第1题】(x + 1/x)² − 3(x + 1/x) + 2 = 0 原方程： 设 y = x + 1/x，则方程化为： 因式分解： ∴ y = 1 或 y = 2. 当 y = 1 时，x + 1/x = 1 → x² − x + 1 = 0，Δ < 0，无实数根； 当 y = 2 时，x + 1/x = 2 → x² − 2x + 1 = 0 → (x − 1)² = 0，得 x₁ = x₂ = 1. 【题型4 第2题】(x² − x)² − 8(x² − x) + 12 = 0 原方程： 设 y = x² − x，方程化为： 因式分解： ∴ y = 2 或 y = 6. 当 y = 2 时，x² − x − 2 = 0，分解得： 当 y = 6 时，x² − x − 6 = 0，分解得： 综上，原方程的解为： 【题型4 第3题】(x² − 4)² − 5(x² − 4) + 6 = 0 原方程： 设 y = x² − 4，方程化为： 因式分解： ∴ y = 2 或 y = 3. 当 y = 2 时，x² − 4 = 2 → x² = 6，得： 当 y = 3 时，x² − 4 = 3 → x² = 7，得： 综上，原方程的解为： 【题型5 第1题】x² − |x| − 2 = 0 原方程： 按 x 的符号分类讨论： 当 x ≥ 0 时，|x| = x，方程化为： 分解得 (x − 2)(x + 1) = 0，结合 x ≥ 0 得 x = 2； 当 x < 0 时，|x| = −x，方程化为： 分解得 (x + 2)(x − 1) = 0，结合 x < 0 得 x = −2； 综上，原方程的解为： 【题型5 第2题】ax² − (a + 1)x + 1 = 0（a 为实数） 原方程： 十字相乘分解： 当 a ≠ 0 时，由 (ax − 1)(x − 1) = 0 得： 当 a = 0 时，原方程化为 −x + 1 = 0，解得 x = 1. 【题型6 第1题】x(x + 1) = 0 原方程： 由“积为 0”直接得 x = 0 或 x + 1 = 0，解得： 【题型6 第2题】x(x − 2) = 3x 原方程： 移项整理： 提取公因式： ∴ x = 0 或 x − 5 = 0，解得： 【题型6 第3题】前 n 个正整数和 a_n = n(n+1)/2，若 a_n = 105，求 n 由题意列式： 即： 整理为标准形式： 因式分解： ∴ n = −15（舍去）或 n = 14，得： 九、方法总结（全课一页回顾） 把本讲方法浓缩成三句话，考前看一遍就够： 1. 核心原理：AB = 0 ⇒ A = 0 或 B = 0，把“二次”降成“一次”. 2. 四步口诀：右边化 0 → 左边分解 → 各因式为 0 → 分别求解. 3. 选法顺序：能开平方先开平方；能分解先分解（首选）；不行再用配方法；公式法在 2.2.3 才学，本课时不用；绝对不两边同除含 x 的式子. ▶ 方法提醒 因式分解法是最“快”的解法，但有前提：右边为 0 且左边可分解.拿到方程先扫一眼结构和右边，再定方法，别一上来就配方硬算，先看能不能分解. 十、本讲要点回顾 本讲结束，请对照下面 5 条要点回顾.每条都能打勾，说明你真正掌握了因式分解法. □ 我能说出因式分解法解方程的四个步骤（移项→分解→降次→求解）. □ 我知道第一步必须把方程右边化为 0，否则不能直接分解. □ 我会判断该用提公因式、平方差/完全平方公式，还是十字相乘. □ 我不会犯“两边同除以含 x 的式子”的错误（那会丢根）. □ 解应用题时，我会检验并舍去不合题意的根（如负数、超出范围的值）. — 讲义完 — 苏科版(2024) 九年级数学上册 · 2.2 因式分解法（2.2.2 · 第2课时） 学科网（北京）股份有限公司 $