第17讲 2.4 用一元二次方程解决问题（第3课时） 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第17讲　2.4　用一元二次方程解决问题（第3课时） 【学习目标】 1. 能根据几何图形中点的运动，用含时间 的代数式表示相关线段长度。 1. 能利用面积公式、勾股定理等建立关于时间 的一元二次方程。 1. 掌握“以静制动”的解题策略，将动态问题转化为静态问题分析。 1. 能检验方程的解是否符合运动过程中的时间范围。 【知识梳理】 一、动态几何问题的基本特征 动态几何问题是指图形中的点、线、面按照一定的规律运动，引起图形形状或数量关系发生变化的问题。 核心策略——“以静制动” ：在运动过程中，取某一时刻进行分析，用含时间 的代数式表示变化中的几何量，将动态问题转化为静态问题。 二、解动态几何问题的基本步骤 1. 画图：画出运动过程中某一时刻的图形； 1. 表示：用含时间 的代数式表示变化中的线段长度； 1. 列方程：根据面积公式、勾股定理等几何关系列方程； 1. 解方程：解一元二次方程； 1. 检验：检验 是否在运动时间范围内，舍去不合题意的根。 三、常见运动模型 类型 运动方式 表示方法 点在边上运动 点从某顶点出发，沿边匀速运动 路程 = 速度 × 时间 两点同时运动 两点从不同位置同时出发 分别表示各自的运动路程 图形面积变化 运动引起图形面积变化 用面积公式列方程 做一做（即时练习）： 1. 点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度运动，经过 秒后，______。 1. 在矩形 中，，。点 从 出发沿 以每秒 个单位长度的速度运动，经过 秒后，______（用含 的代数式表示）。 1. 在 中，，，。点 从 出发沿 以每秒 个单位长度的速度运动，经过 秒后，______。 1. 动态几何问题的核心策略是“______”，即取某一时刻进行分析。 1. 在动态几何问题中，解方程后通常需要检验 是否在______范围内。 【典例精讲】 【例1】（三角形中的动点问题） 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，AC＝5cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为cm2，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．5s或3s D．5s 【解答】 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，AC＝5cm， ∴AB4（cm）， 当运动时间为t s时，APt cm，BQ＝t cm，BP＝（4t）cm， 由题意可得：BP•BQ，即•（4t）•t， 整理得：t2﹣8t+15＝0，解得：t1＝3，t2＝5， 当t＝3时，BQ＝1×3＝3，符合题意； 当t＝5时，BQ＝1×5＝5＞3，不合题意，舍去； ∴点P运动的时间是3s． 故选：B． 【例2】（矩形中的动点问题） 在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （2）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】 解：（1）由题意可得：AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得：PB2+BQ2＝PQ2，即（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 整理得：t2﹣2t＝0，解得：t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （2）存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，理由如下： 由题意可得：S长方形ABCD＝10×12＝120（cm2）， S△PBQPB•BP（10﹣2t）×4t＝﹣4t2+20t， ∴S五边形APQCD＝S长方形ABCD﹣S△PBQ＝120﹣（﹣4t2+20t）＝104， 整理得：t2﹣5t+4＝0，解得：t1＝4，t2＝1， 当t＝4时，BQ＝16cm＞12cm，不合题意，舍去； 当t＝1时，BQ＝4cm＜12cm，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，此时t的值为1． 【跟踪练习1】 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是AB的中点．点M从A点出发以2cm/s向点C运动，点N从C点出发以2cm/s向点B运动，点Q是MN的中点，连接PQ．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当PQ的长是时，点M的运动时间为　　s． 1. 在矩形 中， cm， cm。点 从点 出发沿 边以 cm/s 的速度向点 移动，点 从点 出发沿 边以 cm/s 的速度向点 移动。经过几秒， 的面积等于 cm²？ 1. 在 中，， cm， cm。点 从点 出发沿 边向点 以 cm/s 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 cm/s 的速度移动。经过几秒， 的面积等于 cm²？ 【举一反三】 1. 点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度运动，经过 秒后，______。 1. 在矩形 中，，。点 从 出发沿 以每秒 的速度运动，经过 秒后，______（用含 的代数式表示）。 1. 在 中，，，。点 从 出发沿 以每秒 的速度运动，经过 秒后，______。 1. 动态几何问题中，用含时间 的代数式表示线段长度时，关键是确定______和______。 1. 在动态几何问题中，解方程后需要检验 是否满足______。 1. 在矩形 中，，。点 从 出发沿 以每秒 个单位长度的速度运动，经过 秒后， 的面积为______（用含 的代数式表示）。 1. 在 中，，，。点 从 出发沿 以每秒 个单位长度的速度运动，经过 秒后， 的面积为______（用含 的代数式表示）。 1. 动态几何问题中，当遇到多个点同时运动时，应分别表示出______的运动路程。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度运动，经过 秒后，______。 1. 在矩形 中，，。点 从 出发沿 以每秒 个单位长度的速度运动，经过 秒后，______。 1. 在 中，，，。点 从 出发沿 以每秒 个单位长度的速度运动，经过 秒后，______。 1. 动态几何问题的核心策略是“______”。 1. 在动态几何问题中，解方程后需要检验 是否在______范围内。 二、选择题。 1. 在 中，，，。点 从 出发沿 以每秒 的速度运动，经过 秒后， 的面积为（　　） · A. 1. 在矩形 中，，。点 从 出发沿 以每秒 的速度运动，经过 秒后， 的面积为（　　） · A. 1. 在 中，，，。点 从 出发沿 以每秒 的速度运动，点 从 出发沿 以每秒 的速度运动，经过 秒后， 的面积为（　　） · A. ◆ B组·能力提升 1. 在 中，， cm， cm。点 从点 出发沿 边向点 以 cm/s 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 cm/s 的速度移动。如果 、 同时出发，几秒后 的面积等于 cm²？ 1. 在矩形 中， cm， cm。点 从点 出发沿 边以 cm/s 的速度向点 移动，点 从点 出发沿 边以 cm/s 的速度向点 移动（ 的移动方向与 相反）。经过几秒，四边形 的面积为 cm²？ 1. 在 中，， cm， cm。点 从点 出发沿 边向点 以 cm/s 的速度移动，同时点 从点 出发沿 边向点 以 cm/s 的速度移动。经过几秒， 的面积等于 cm²？ ◆ C组·思维拓展 12.在 中， cm， cm。点 从点 出发沿 以每秒 cm 的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以每秒 cm 的速度向点 运动。经过几秒， 为等腰三角形？ 13. 如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 核心策略 以静制动 取某一时刻，用 表示线段 线段表示 路程 = 速度 × 时间 注意运动方向和起点 列方程依据 面积公式、勾股定理 根据题目条件选择 检验 时间范围 运动起止时间 常见错误提醒 错误类型 正确理解 线段长度表示错误 注意运动方向，判断线段是增加还是减少 忽略运动时间范围 点停止运动后不再移动， 有上限 忘记检验 解出的 必须在运动时间范围内 多个点同时运动时混淆 分别表示各点的运动路程 学习建议 1. 解题时先画出运动过程中某一时刻的图形，标注已知和未知。 1. 用含 的代数式表示变化中的线段长度——这是最关键的一步。 1. 根据几何关系（面积公式、勾股定理等）列方程。 1. 解方程后，务必检验 是否在运动时间范围内。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：以静制动 1. 答案：运动时间 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（2） 解：如图，以CB为x轴，CA为y轴，构造直角坐标系， 则点B的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6）， ∵点P是AB的中点， ∴点P的坐标为（4，3）， 6÷2＝3（秒），8÷2＝4（秒）， 当运动时间为t（0≤t≤3）秒时， 点N的坐标为（2t，0），点M的坐标为（0，6﹣2t），点Q的坐标为（t，3﹣t）， 由题意可得：2，整理得：t2﹣4t+2＝0， 解得：t1＝2，t2＝2， 经检验，t1＝2，t2＝2是所列方程的解，t1＝2符合题意，t2＝2不合题意，舍去， ∴点M的运动时间为（2）s． 1. 答案： 秒 解析：，，，，，。点 从 到 需 秒，， 舍去，。 1. 答案：无解，面积不可能达到 cm² 解析：，，，，，，，无实数根。 举一反三 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：起点；速度 1. 答案：运动时间范围 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案：各点 A组·基础过关 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：以静制动 1. 答案：运动时间 1. 答案：A 解析：。 1. 答案：A 解析：。 1. 答案：A 解析：，，。 B组·能力提升 1. 答案：无解，面积不可能为 cm² 解析：，，，，，，无实数根。 1. 答案： 秒 解析：四边形 为梯形，，，，，，。点 从 到 需 秒，点 从 到 需 秒， 符合。 1. 答案： 秒或 秒 解析：，，，，， 或 。点 从 到 需 秒，点 从 到 需 秒， 时 到达 ，符合题意。 C组·思维拓展 1. 答案： 秒或 秒或 秒 解析：设经过 秒后， 为等腰三角形。此时 ，，（）。过点 作 于 ，则 ，，。 情况一：，，。 情况二：，由余弦定理 ，解得 。 情况三：，同理解得 （ 舍去）。 综上所述，经过 秒、 秒或 秒， 为等腰三角形。 13.解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的， 由题意可得：BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12， 则（t+6﹣2t）×2＝2×6，解得：t； （2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为， ①当0＜t≤3时，如图1， 由题意可得：（6﹣2t﹣t）2+4＝5，解得：t或t； ②当3＜t≤4时，如图2， 由题意可得：（8﹣2t）2+t2＝5，整理得：5t2﹣32t+59＝0， 此时Δ＜0，此方程无解； 综上，当t或t时，点P与点Q之间的距离． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（8题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $