2.4 用一元二次方程解决问题-课时3 动态几何问题（教学课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“用一元二次方程解决动态几何问题”，包含学习目标、情境导入、新知讲解、例题解析及分层练习，构建“温故知新—情境探究—方法总结—应用巩固”的学习支架。 资料特色鲜明，以“动中取静”为核心，通过矩形动点面积计算等情境，引导学生用时间t表示线段长度，结合勾股定理、面积公式列方程，培养几何直观与模型意识，例题分层设计并设易错提醒，助力学生提升推理与运算能力，为教师提供系统教学流程和实用资源。

第二章 一元二次方程 2.4 用一元二次方程解决问题 2.4.3 动态几何问题 学习目标 过程与方法 知识与技能 掌握动点问题的分析方法，能用含时间t的代数式表示线段长度 能结合面积、勾股定理、相似等几何知识列一元二次方程 能根据动点的运动范围检验解的合理性 经历动中取静、数形结合的探究过程，提升动态问题分析能力 02 01 课前自主·知识预习奠基 路程公式：路程 = 速度 × 时间 三角形面积公式、矩形面积公式、勾股定理 列方程解应用题的基本步骤 思考：图形上的点在运动时，线段长度会随时间变化，怎么用方程描述某个特定时刻的几何关系？ 温故知新 如图，在矩形 ABCD 中，。点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以的速度向点 B 移动；点 Q 从点 B 出发，沿 BC 边以 的速度向点 C 移动。设 P , Q 同时出发，运动时间为 t 秒。 问：几秒后 △PBQ 的面积等于 8 cm2 ？ 情境导入 【解析】因为矩形 ，点 P 速度，所以： ，点 Q 速度，所以：是直角三角形，直角边为，代入线段：，化简：，题目要求面积，展开整理一元二次方程：，因式分解：，解得：，P走到B最多用时：；Q走到C最多用时： 都小于 6，符合题意。 结论：出发 2 秒或 4 秒后， 面积等于。 情境导入 新知讲解：动态几何问题解法 核心思路：动中取静 把运动的点看作某一时刻静止的状态，用时间 t 表示出相关线段的长度，再根据几何关系列方程 一般步骤： 设：设运动时间为 t ，确定动点的起点、终点、速度、方向 表：用含 t 的代数式表示相关线段的长度 找：根据面积、勾股定理、全等等找到等量关系 列：列出一元二次方程 验：求解后检验 t 是否在运动时间范围内 例题 1 在中，。点 同时从 两点出发，分别沿 方向向点 匀速移动，速度都是 。几秒后 的面积为？ 例题 1 【解析】设运动时间为 t 秒 则 由三角形面积公式得： ， 整理得： 解得： ∵ 点 P 到 C 的时间为 8 秒，点 Q 到 C 的时间为 6 秒 ∴ 不符合题意，舍去 答：2 秒后的面积为。 新知讲解：常见动态问题类型 面积型：运动形成的三角形、四边形面积为定值 长度型：两点间距离为定值，用勾股定理列方程 直角型：运动后形成直角三角形，分情况讨论直角顶点 例题 2 如图，在 中，，点 D 从点 A 出发沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 移动，移动过程中始终保持 （点 E，F 分别在 AC，BC 上）。点 D 出发几秒后，四边形 DFCE 的面积为 20？ 例题 2 设点 D 出发 t 秒后，四边形 DFCE 的面积为 20 。 根据题意，点 D 的移动距离为：，则剩余线段为：，因为在 中， ，所以 是等腰直角三角形，因此：，由于 ，可得：，因此 也是等腰直角三角形，其直角边相等：，由于 ，可得：，因此 也是等腰直角三角形，其直角边相等：观察图形可知，四边形 DFCE 的面积等于大三角形 的面积减去两个空白小三角形 和 的面积。 例题 2 列方程如下： 代入各自面积公式： 化简该方程： ， ， ， 两边同时除以 并整理得：，解这个一元二次方程，因式分解为：，解得：，点 D 从 A 到 B 所需总时间为 秒，因此运动时间范围为：，两个解 和 均在范围内，均符合题意。 先确定动点的运动范围，求出 t 的取值范围，超出范围的解要舍去 多个动点时，分别计算路程，注意起点、方向、速度不要混淆 直角三角形、等腰三角形等动态问题，要考虑多种情况，分类讨论 用勾股定理时，要先构造直角三角形，找准直角边和斜边 线段长度一定是正数，列代数式时要保证结果为正 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 矩形长 10 cm，宽 5 cm，点 P 从 A 出发沿 AB 以 2 cm/s 向 B 运动，t 秒后 AP 的长度为（ ） A. B. C. D. 2.  中，，点 P 从 C 出发沿 CA 以 1 单位/秒向 A 运动， t 秒后 PC =（ ） A. B. C. D. A B 基础过关练 3. 判断题：动态问题中，方程的正根都符合题意.（ ） 4. 正方形边长为 4，点 P 从 A 出发沿边长以 1 cm/s 运动，t 秒后 的面积为 4，则 t = . 5. 点 P 从数轴上表示 -2 的点出发，以每秒 3 个单位向右运动， t 秒后到原点的距离为 4，则 t = . 6. 等腰三角形 ABC 中，，点 P 从 B 出发沿 BA 以 1 单位/秒向 A 运动，t 秒后为直角三角形，则 t = . 2或 7.2或6 × 课后测评·学业效果巩固 1. 如图，在中，，动点分别从点同时开始移动（移动方向如图所示），点 P 的速度为，点 Q 的速度为，点 Q 移动到 C 点后停止移动，点 P 也随之停止移动，当四边形 APQC 的面积为时，点 P 移动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 课后测评 A 课后测评 【解析】设点 P 移动的时间是 。根据题意，得 解得。 当时，，不符合题意，舍去，，故选A。 2. 如图，在矩形 ABCD 中，，点 P 从点 A 出发沿 AB 以的速度向点 B 运动，当 时，点 P 运动的时间为（ ） A. B. C. D. 或 课后测评 B 【解析】设点 P 运动的时间为。根据题意得，由得。，由勾股定理解得或（不合题意，舍去）， 点 P 运动的时间为，故选B。 3. 如图所示， 中，，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向终点 B 以 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向终点 C 以 的速度移动。如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，当线段 PQ 将 分成面积为 的两部分时，经过的时间为（ ） A. B. C. 或 D. 或 课后测评 C 课后测评 【解析】设经过的时间为 t s，则 线段 PQ 将 △ABC 分成面积为 的两部分，或 或 ，整理得 或 (无实数解)，解得 ，即经过 2 s 或 4 s 后，线段 将 △ABC 分成面积为 的两部分。故选 C。 4. 如图，在中，，动点 P 从点 C 出发沿 CA 方向以的速度向终点 A 运动；同时动点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向以的速度向终点 C 运动，则运动 后，P，Q两点相距。 课后测评 10 【解析】设运动后，P，Q两点相距，则。 由题意，得 整理得，解得（不合题意，舍去），故答案为。 5. 如图，线段 厘米，O 为 AB 的中点，射线 。动点 P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向点 B 运动，另一动点 Q 从点 O 出发，以 2 厘米/秒的速度沿射线 OC 运动，点 P，Q 同时出发，当点 P 到达点 B 时，点 P，Q 都停止运动。设点 P 的运动时间为 t 秒，当 的面积为 8 平方厘米时，t 的值为 。 课后测评 2 或 4 或 课后测评 【解析】 厘米，O 为 AB 的中点， 厘米。由题意知 厘米，厘米。当 时， 厘米，则 。令 ，解得 或 。当 时， 厘米，则 。令 ，解得 或 （舍去）。综上所述，当 的面积为 8 平方厘米时，t 的值为 2 或 4 或 。故答案为 2 或 4 或 。 6. 如图，一艘军舰位于点 A 处，在其正南方向有一目标 B，在点 B 的正东方向有一目标 C，且 ，在 AC 上有一艘补给船 D，。军舰从点 A 出发，沿 方向匀速航行，补给船同时从点 D 出发，沿垂直于 AC 的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由点 B 到点 C 的途中与补给船相遇于点 E 处，则相遇时补给船航行了多远？ 课后测评 课后测评 【解析】设相遇时补给船航行了，即。 军舰的速度是补给船的2倍，航行时间相同，。 。 在中，，根据勾股定理可得 解得（不合题意，舍去）。 故相遇时补给船航行了 7. 如图，点 O 为坐标原点，点 C 在 x 轴的正半轴上。在平行四边形 中，边的平分线交 AB 于点 D。 (1) 求 B，D 两点的坐标。 (2) 点 P 从点 O 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 OD 方向移动；同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 OC 方向移动。连接 ，设移动时间为 t 秒。当 t 为何值时，是直角三角形。 课后测评 课后测评 【解析】(1) 作于 H 。 在中，。 。 四边形是平行四边形，。 平分。 综上，两点的坐标分别为。 课后测评 (2) 由题意易得。① 当PB为斜边时：，解得或（舍去）；② 当PQ为斜边时：，解得或；③ 当BQ为斜边时：，解得（舍去）。 综上所述，当 t 的值为或或时，是直角三角形。 课堂小结 第二章 一元二次方程 2.4 用一元二次方程解决问题 2.4.3 动态几何问题 $