26.2.2 第三课时y=a（x-h)²+k的图象和性质 分层训练 2026年暑假预习人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象性质，分层设计从基础概念到综合应用，梯度清晰，适配暑假巩固与能力提升，培养抽象能力、推理能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|顶点坐标、对称轴等概念|选择填空为主，如顶点坐标选择题，夯实基础| |提升层|增减性、平移变换|结合图象分析增减性，平移后解析式确定，深化理解| |综合层|顶点式综合应用、关联抛物线|含“镜像抛物线”“互为关联抛物线”等创新题，培养推理与模型意识|

26.2.2二次函数的图象和性质（第3 课时） 的图象和性质分层训练 一、的图象和性质 1.抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2.已知二次函数，下列说法正确的是  (     ) A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 3.抛物线的对称轴是___________ ． 4.二次函数的最小值为__________． 5.记二次函数的图象为抛物线，其顶点为．定义：若存在另一条抛物线，其解析式为，且顶点在抛物线上，则称抛物线是抛物线的“镜像抛物线”．已知抛物线，若抛物线是抛物线的“镜像抛物线”，则的值是______． 6.已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1． （1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围； （2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 二、的增减性 1.对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 2.某二次函数当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则该二次函数可能为(     ) A. B. C. D. 3.抛物线过，，三点，则，，大小关系是(     ) A. B. C. D. 4.若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 5.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是_____（用“”连接） 6.已知二次函数． 画出函数的图象： 函数的最小值为          ； 当时，的最小值为          ． 当时，的最小值为          ，最大值为          ． 三、函数的平移 1.抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（      ） A． B． C． D． 3.将抛物线（m为常数）向左平移2个单位长度，得到的新抛物线经过点，则m的值是        ． 4.将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则b的值为 _______． 5.把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 四、确定二次函数的顶点式 1.已知二次函数的图像经过点，且顶点坐标是，则函数解析式是_______． 2.已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 3.已知抛物线经过点． 求的值； 若点，都在该抛物线上，试比较与的大小． 4.如图，以点为顶点的二次函数图象交y轴于点，将该二次函数图象向下平移n个单位，交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）． (1)求该二次函数的表达式． (2)若，求n的值． 1.k为任意实数，抛物线的顶点总在（ ） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 2.若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.如图，若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）   A． B． C． D． 5.当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 6.如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）． 7.在平面直角坐标系中，已知抛物线上有、两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 1.已知抛物线的图象与y轴交于点，顶点为B．    (1)试确定a的值，并写出B点的坐标； (2)试在x轴上求一点P，使得的周长取最小值． 2.已知抛物线：（，），其顶点为，且与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． (1)当时，①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标． ②点在抛物线上，延长至使得，若点落在抛物线上，求的坐标． (2) 过点作直线垂直于轴，与抛物线的对称轴交于点，交抛物线于点（在对称轴右侧）、若，求的值． 26.2.2二次函数的图象和性质（第3 课时） 的图象和性质分层训练答案 一、的图象和性质 1.B 2.D 3. 直线 4. 5. 3 6.解：（1）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（，）， ∵抛物线的顶点坐标在第二象限， ∴， ∴； （2）当时，抛物线解析式为， 令，即， 解得或， 令，， ∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3）， ∴OD=3，AB=2， ∴， ∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3． 2、 的增减性 1.C 2.C 3.B 4. 5. 6.（1）解： 0 2 3 3 0 0 3 函数图象如图所示． （2） （3） （4） 8 三、函数的平移 1.C 2.B 3. 2 4. 8 5.（1） 1 （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 四、确定二次函数的顶点式 1. 2.（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 3.解：（1）经过点， ，解得； （2）， 当时，随的增大而增大， 点，都在该抛物线上， ． 4.（1）解：由题意得该二次函数图象的顶点是点， ∴设该二次函数的表达式为， 把点代入得，解得∶ ， ∴该二次函数的表达式为． （2）解：如图：设该抛物线的对称轴l交x轴于点D， ∴． 设平移后的解析式为 由抛物线的对称性可知，关于对称轴l对称， ∴， ∵， ∴，即点B的横坐标2， ∴ 把代入，解得：． ∴n的值是． 1. B 2.D 3.B 4.C 5. 2或 6. （答案不唯一） 7. （1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 1. （1）解：∵抛物线的图象与y轴交于点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴顶点B的坐标为； （2）解：由（1）得顶点B的坐标为，如图， ∵是定值，的周长要最小， ∴最小， 作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于P， 即：点P为所求作的点； ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得 则， ∴点P的坐标为； ∵，，， 则， ∴， ∴． 2.（1）解：①当时，抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点A的坐标为； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设， ∵， ∴点D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵在抛物线的图象上， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或； （2）解：∵轴交对称轴于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得抛物线的解析式为：， ∵点Q在抛物线上， ∴，即①， 又点在抛物线上， ∴，即②， 把②代入①得， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $