25.2.2公式法分层训练 2026年暑假预习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程公式法，通过基础概念辨析、性质应用到综合问题解决的三层设计，培养运算能力、推理意识与模型意识，适配暑假自主巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|a/b/c确定与直接解方程|选择/填空辨析概念（如a/b/c取值题）| |能力应用|判别式应用与参数求解|解答题强化推理（如参数范围题）| |综合拓展|几何与新定义综合问题|情境题发展模型意识（如三角形形状判断）|

25.2.2公式法（分层训练） 题型一、用公式法解一元二次方程 1.用公式法解一元二次方程时，a、b、c的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（    ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 3.若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 4.用公式法解方程时，得，则“□”处应填（   ） A． B． C．5 D．7 5.习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，      第一步， ，，，        第二步； ，      第三步；           第四步， 即，        第五步． (1)开始出现错误的步骤是第___________步； (2)请给出此题正确的解答过程． 6. 用公式法解方程： （1） （2）； （3）． 7.用公式法解方程： （1）； （2）； （3）． 题型二、利用根的判别式判断方程根的情况 1.一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2.下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 4.已知关于x的方程（），当时，方程的解为（     ） A．， B．， C． D． 5.不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 题型三、根据一元二次方程根的情况求参数 1.当____________时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 2.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 3.一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______． 4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 5.关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是______． 6.已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 1.关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 2.关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 3.已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 4.已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 5.已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 6.已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 1.已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 2.已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值． 3．定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 25.2.2公式法（分层训练）答案 题型一、用公式法解一元二次方程 1. D  2. B  3. C   4. A  5.（1）一． （2）解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． 6.（1）解：∵, ， ∵， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴，； （3）解：， ， ∵， ∴， ∴． 7.（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：先将方程整理为一般形式：， ∴， ， ∴，； （3）解：先将方程整理为一般形式：， ∴， ， ∴，． 题型二、利用根的判别式判断方程根的情况 1. A    2. C   3. D   4. D   5.（1）解：． 原方程没有实数根． （2）解：将方程整理成一般形式为， ， 原方程没有实数根； （3）解：将方程整理成一般形式为， ， 原方程有两个不相等的实数根. 题型三、根据一元二次方程根的情况求参数 1. 2 2. 3. 且 4. 5. 6.解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 1. A 2. B 3. 4. 5.（1）解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； （2）证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 6.（1）证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． （2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 1.解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 2.（1）证明：∵， ∴其判别式 ∵任何数的平方都大于等于，即， ∴无论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 分三种情况讨论： 情况一：若为腰，，． ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，这种情况舍去； 情况二：若为底，，则． 此时三边为，，，满足三角形三边关系； 综上，． 3．（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 学科网（北京）股份有限公司 $