第08讲 二次函数y＝ax²与y＝ax²＋k的图象和性质（暑假预习跟踪训练）2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学暑假同步练，聚焦二次函数y＝ax²与y＝ax²＋k的图象和性质，通过分层设计实现从图象绘制到性质应用的递进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础操作层|图象绘制、顶点/开口/对称轴识别|通过列表描点画图象（题型1），结合圆柱体积问题（题3）强化几何直观| |性质理解层|开口大小比较、增减性判断、图象平移|对比不同a值函数图象关系（题型2、5），辨析y＝ax²与y＝ax²＋k的异同（题17）| |综合应用层|参数求解、点坐标特征、实际情境应用|结合函数图象求参数（题型8），通过交点问题（题30）发展模型意识与推理能力|

第08讲 二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象和性质（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 画二次函数y＝ax2的图象】 1．在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 【答案】见解答 【分析】本题考查画二次函数的图象，在对称轴两侧分别取点，描点，连线即可． 【详解】解：二次函数①；②；③；④的对称轴都为y轴， 在对称轴两侧分别取点，列表如下： 0 1 2 ① 2 0 2 ② 0 ③ 8 2 0 2 8 ④ 0 描点、连线可得图象为： 2．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意画出函数图象即可； （2）结合图象求解即可； （3）结合图象求解即可； （4）结合图象求解即可． 【详解】解：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、图象，如图所示： ； （2）函数顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴； （3）图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是， 图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是； （4），时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小． 3．已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 4．已知抛物线经过点 (1)求a的值； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (4)若点也在此抛物线上，求m的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)抛物线开口向上，对称轴是轴，顶点坐标 (4) 【分析】（1）将点坐标代入计算即可； （2）画出函数图象即可； （3）根据图象写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可； （4）将点坐标代入计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ； （2）解：由（1）可知，抛物线，图象过，，，图象如下： （3）解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标； （4）解：点也在此抛物线图象上， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，描点法画二次函数图象，求自变量或函数值，是解题的关键． 5．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 【答案】(1)抛物线，上，y轴，，减小，增大，0，小，0； (2)小 【分析】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 先列表，描点、连线作出函数的图象． （1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解； （2）根据图象即可得到结论． 【详解】（1）列表： x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … 8 2 0 2 8 … … 2 0 2 … 描点、连线画出函数的图象如图： 二次函数和图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当时，y有最小值为0． （2）解：由图象可知，如果，a越大，即越大．抛物线的开口越小． 【题型2 判断二次函数y＝ax2的开口】 6．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 7．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 8．关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据的性质求解即可． 【详解】解：函数，，都是形式， 二次函数， 顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为， 但a值分别为，1，2，不相等， ∴图象开口大小不同，形状不同， 故选：C． 9．已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的开口方向．熟练掌握二次函数图象开口方向与二次项系数的关系是解题的关键．二次函数图象开口向上，则二次项系数大于零. 【详解】解：∵ 二次函数 的图象开口向上， ∴ 二次项系数 ， ∴ ， 故选 ：B. 10．有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小．比较三个函数的值即可得出开口大小顺序． 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 【题型3 判断二次函数y＝ax2的增减性】 11．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，通过直接计算点A和点B在二次函数上的函数值，比较和的大小关系． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 12．已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 13．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小，故B正确． 故选：B． 14．已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上，在对称轴右侧函数递增；由题意，需要二次项系数，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴，且当时，随增大而增大， ∴函数图像开口向上， ∴二次项系数， 故选：A． 15．下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 【题型4 画二次函数y＝ax2+k的图象】 16．（教材练习变式）（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 【答案】（1）画图见解析；（2）①上，直线，；②上，直线，；③上，直线，． 【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）①根据（1）中的二次函数的图象填空即可．②根据（1）中的二次函数的图象填空即可．③根据（1）中的二次函数的图象填空即可． 【详解】解：（1）列表如下： 0 1 2 2 0 5 3 5 再描点连线， ∴的图象如图所示：    （2）①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ③抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练的利用五点画图的方法画二次函数的图象是解本题的关键． 17．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 【答案】图见解析，相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴．不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下；②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大；③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图像可得二次函数的性质，进行分析比较即可． 【详解】解：画出这两个函数的图象如图所示． 相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴． 不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下； ②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大； ③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 18．如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)上；4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越小，据此可确定时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点和点， 令，则，即该抛物线经过点和， ∴此抛物线的大致图象如下图所示： （2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到． 故答案为：上，4． （3）解：∵抛物解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且时，函数有最小值，最小值为， 又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4， ∴当时，． 19．我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 【答案】(1)，作图见解析； (2)①②． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可； （2）观察图象即可判断． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 画出函数的图象如图： 故答案为：； （2）解：观察图象， ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．原说法错误； ④当时，的值为或．错误； 故答案为：①②． 20．用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题：    (1)开口方向________； (2)对称轴________； (3)顶点坐标________； (4)当时，y随x的增大而________； (5)当x________时，； (6)当时，y的取值范围是________． 【答案】(1)向上 (2)轴 (3) (4)增大 (5) (6) 【分析】（1）先列表，再描点，并画图，再根据图象可得开口方向； （2）根据图象可得对称轴方程； （3）根据图象可得顶点坐标； （4）根据图象可得增减性； （5）根据图象可得函数值为0时，自变量的值； （6）根据函数图象可得当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：如图， 列表如下： 0 1 2 0 0 3 描点并画图：    ∴图象开口向上； （2）图象的对称轴为轴； （3）图象的顶点坐标为：； （4）当时，y随x的增大而增大； （5）当时，则， 解得：； （6）当时，函数最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象总结二次函数的性质是解本题的关键． 【题型5 判断二次函数y＝ax2+k的性质】 21．若一个二次函数的最小值为，则该二次函数的解析式是______（写出一个符合题意的解析式）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式形式可知，其顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且最小值为，因此，只需取即可满足条件，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴要使函数有最小值，需， ∴取，得解析式， 此时当时，函数取得最小值，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 22．下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性． 【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小， A、C选项说法错误， 当时，随增大而增大， B选项说法正确，D选项说法错误， 故选：B． 23．下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A正确； 当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为，D正确； 故选B． 24．对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 25．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，当时，y随的x增大而增大， 那么时取得最小值，时取得最大值， 最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时 时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当时， 此时时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：． 故选：B． 【题型6 判断二次函数y＝ax2+k的图象】 26．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【详解】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 27．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．根据二次函数的顶点坐标为，即它的顶点坐标在y轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴它的顶点坐标在y轴上， ∴只有C选项中的图像符合题意． 故选：C． 28．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 29．已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由原图可知，抛物线图象开口向上， ∴ 抛物线图象交于轴负半轴， ∴ ∴的图象开口向下，交于轴的正半轴 故答案选A 30．如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可． 【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为， 把分别代入两个函数解析式得： ，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线， 所以C选项符合题意． 故选：C． 【题型7 二次函数y＝ax2+k图象上点的坐标特征】 31．已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小． 通过直接代入抛物线方程计算两点纵坐标值，比较大小． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴对于点，， 对于点，， ∴，， ∴． 故选：A． 32．已知和是抛物线上面的点，则、的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵和是抛物线上面的点，且， ∴； 故答案为： 33．已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 分别计算各点的函数值，进而比较即可． 【详解】解：，，， 由于为常数，比较的大小即比较的大小． ， 因此． 故答案为：． 34．已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，对称轴为y轴，比较各点横坐标的绝对值，绝对值越大，函数值越大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线方程为 ∴开口向上，对称轴为， ∵抛物线上有三点，，，且 ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∴ ． 故选：D． 35．如果点和点是抛物线（是常数）上的两点，那么_________．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】= 【分析】本题考查了抛物线的增减性，根据抛物线开口向下，得到距离对称的距离越大，函数值越下，计算判断即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远的点的函数值越小，对称轴为直线， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型8 由二次函数y＝ax2+k的性质求参】 36．已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 37．抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数的正负决定，开口大小由二次项系数的绝对值决定．由于两抛物线开口方向和大小相同，故二次项系数相等． 【详解】解：∵抛物线 与抛物线 的开口方向和开口大小相同， ∴． 故答案为 ：2． 38．抛物线的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为_________（只需写出符合条件的一个b的值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数(a，k为常数，)的性质，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 根据抛物线开口向上，图象全部在x轴上方则最小值大于零，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，其顶点坐标为，最小值为b． ∵图象全部在x轴上方， ∴， ∴b可取任意正数，如1（答案不唯一）． 故答案为1（答案不唯一）． 39．已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，得到，即可得出结果． 【详解】解：当时，即：，此时，不符合题意； 当时，则：为二次函数，对称轴为轴， ∵当时，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． 40．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 课后作业 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：C． 2．如图所示的抛物线对应的函数关系式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图可知抛物线的顶点坐标为，再逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图可得，抛物线的顶点坐标为， A、的顶点坐标为，故此选项符合题意； B、的顶点坐标为，不为，故此选项不符合题意； C、的顶点坐标为，不为，故此选项不符合题意； D、的顶点坐标为，不为，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 直接计算各点的纵坐标值，并比较大小． 【详解】解：∵点，，在二次函数的图象上， ∴，，． ∴， 即． 故选：A． 5．嘉嘉绘制抛物线时，将“”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．对称轴 C．开口大小 D．与轴的交点 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 通过比较原函数和错误函数的二次项系数、对称轴、开口大小及与轴交点，判断发生改变的性质． 【详解】解：依题意得：原函数为，错误函数为 A、原函数的开口向下，错误函数为开口向上，开口方向发生改变，故此选项符合题意； B、原函数与错误函数的对称轴均为轴，对称轴不变，故此选项不符合题意； C、原函数与错误函数的对称轴均由决定，开口大小不变，故此选项不符合题意； D、原函数与错误函数与轴的交点均为，与轴的交点不变，故此选项不符合题意． 故选 ：A． 6．二次函数的图象经过点和，则对应的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法解二次函数解析式．由二次函数的图象经过两点，将两点坐标代入二次函数解析式得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出二次函数的解析式. 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 代入点 得：，即 ①， 代入点 得：，即 ②， ② － ① 得： ，即 ， 将 代入①得：，即 ， ∴ 抛物线表达式为 ， 故选： A． 7．若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解，解题的关键是根据二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点， 故选：． 8．下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而减小 D．对称轴是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴A、B、D都不正确，C正确． 故选C． 9．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；     故选D． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键． 10．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 11．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（  ） A．0 B．3 C．1 D．0或3 【答案】B 【分析】由于函数图象关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，由此求得问题的答案． 【详解】解：∵二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是y=ax2+c型， ∴-（m2-3m）=0， 解得：m=0或m=3， ∵二次函数的二次项系数m不能为0， ∴m=3． 故选：B． 【点睛】本题考查关于y轴对称的抛物线的表达式是y=ax2+c，（a≠0，a、c为常数）．熟练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键． 12．抛物线的开口方向向__________；顶点坐标是__________． 【答案】 下 【分析】根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 故答案为：下，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一般地对于二次函数的顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下． 13．抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 【答案】 【分析】由抛物线与的形状相同，开口方向相反，可得a的值，由顶点坐标可得c的值． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴， ∵顶点坐标是， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键． 14．对于二次函数，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质. 根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 15．已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 16．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1)答案见解析 (2)上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【详解】（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 17．已知：如图直线与抛物线交于、两点，是抛物线顶点． (1)求、、点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)点、、的坐标分别为：、、 (2) 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，三角形的面积等，解题的关键是根据已知条件求出各个点的坐标． （1）对于，当时，，则点，联立，解得：或，即可求解； （2）由的面积，即可求解． 【详解】（1）对于，当时，，则点， 联立，解得：或， 即点、、的坐标分别为：、、； （2）设直线交轴于点， 则的面积． 试卷第36页，共42页 试卷第35页，共42页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象和性质（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 画二次函数y＝ax2的图象】 1．在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 0 1 2 ① 2 0 2 ② 0 ③ 8 2 0 2 8 ④ 0 2．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 3．已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 4．已知抛物线经过点 (1)求a的值； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (4)若点也在此抛物线上，求m的值． 5．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … 8 2 0 2 8 … … 2 0 2 … 【题型2 判断二次函数y＝ax2的开口】 6．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 7．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 9．已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【题型3 判断二次函数y＝ax2的增减性】 11．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 13．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 14．已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【题型4 画二次函数y＝ax2+k的图象】 16．（教材练习变式）（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 0 1 2 2 0 5 3 5 17．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 18．如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 19．我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 20．用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题：    (1)开口方向________； (2)对称轴________； (3)顶点坐标________； (4)当时，y随x的增大而________； (5)当x________时，； (6)当时，y的取值范围是________． 0 1 2 0 0 3 【题型5 判断二次函数y＝ax2+k的性质】 21．若一个二次函数的最小值为，则该二次函数的解析式是______（写出一个符合题意的解析式）． 22．下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 23．下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 24．对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 25．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 判断二次函数y＝ax2+k的图象】 26．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 27．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 28．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 29．已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．  B．  C．   D．   【题型7 二次函数y＝ax2+k图象上点的坐标特征】 31．已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 32．已知和是抛物线上面的点，则、的大小关系是______． 33．已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为_____．（用“”连接） 34．已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．如果点和点是抛物线（是常数）上的两点，那么_________．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【题型8 由二次函数y＝ax2+k的性质求参】 36．已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 37．抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 38．抛物线的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为_________（只需写出符合条件的一个b的值）． 39．已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是________． 40．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是___________． 课后作业 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的抛物线对应的函数关系式可能是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．嘉嘉绘制抛物线时，将“”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．对称轴 C．开口大小 D．与轴的交点 6．二次函数的图象经过点和，则对应的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 7．若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 8．下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而减小 D．对称轴是 9．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（  ） A．0 B．3 C．1 D．0或3 12．抛物线的开口方向向__________；顶点坐标是__________． 13．抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 14．对于二次函数，当时，y的取值范围是________． 15．已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 16．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 17．已知：如图直线与抛物线交于、两点，是抛物线顶点． (1)求、、点的坐标； (2)求的面积． 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $