1.5《问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形》 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形内接正八边形的定义、性质及尺规作图，通过建筑嵌套图案导入，先回顾正方形与正八边形核心性质，再以问题链搭建支架，引导从顶点分布情形、边角关系等角度逐步探究。 其亮点在于结合古建筑藻井实例培养数学眼光（几何直观），通过尺规作等腰直角三角形、角平分线等步骤发展数学思维（推理能力），用边长关系推导（m:n=√2+1）强化数学语言（模型意识）。采用情境创设与问题驱动，助力学生积累几何探究经验，教师可借助完整链条提升教学效率。

第一章　特殊平行四边形 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 　 1 学习目标 1.通过探究正方形内接正八边形的定义与图形特征,深化正方形的边、角、轴对称核心性质,掌握正八边形的内角、边长特征,能准确画出正方形内接正八边形的不同情形草图. 2.通过分析正方形内接正八边形的边角数量关系,探究尺规作图的可行路径,掌握尺规作等长线段、等腰直角三角形的基本方法,能独立完成内接于正方形的正八边形的规范尺规作图. 3.通过对作图依据的推理证明与作图过程的复盘反思,提升几何直观与逻辑推理能力,积累特殊平行四边形内接正多边形的探究经验，能迁移解决同类几何作图与推理问题. 　 在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案.如果一个正方形里嵌套了一 个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我 们称这个正八边形内嵌于这个正方形.正八边形内嵌于正方形，可能有哪些 情形？请你画出相应的草图. 　 情境启航 问题1:本章我们学习了特殊平行四边形,其中正方形有哪些核心的边、角、对角线、对称性性质？请你结合下面边的图形描述. 问题2:我们之前了解过正多边形,正八边形有哪些基本性质？ 　 问题构建 问题3:我们学过的基本尺规作图有哪些？要作出45°角,可通过哪些尺规方法实现？ 基本尺规作图:作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角 拓展作图:作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线 45°角作法: ①先作直角,再作直角的角平分线，即可得到45°角; ②通过作等腰直角三角形,得到 45°角 　 【例1】综合与实践 如图1，在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案.如果一个正方形里面 嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边 上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.如图2是一个正方形. 【观察判断】图3中可以称为正八边形内嵌于正方形的是 ⁠； A 解析：根据题意得图3中可以称为正八边形内嵌于正方形的是A. 故答案为A. 　 问题构建 问题4:根据题目给出的“正八边形内接于正方形”的定义,核心关键信息有哪些？你如何理解这个定义？结合课本中的图片进行描述. 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形,且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上,那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形. 关键信息：①正方形内嵌套正八边形；②正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上；③正八边形整体在正方形内部（含边上） 理解：正方形的四条边，每条边上至少有1 个正八边形的顶点，正八边形无超出正方形的部分，完整嵌套在正方形内部 　 问题构建 问题5：正八边形内接于正方形，可能有哪些情形？请描述每种情形的顶点分布特点，并说明对应草图的核心特征. 八个顶点都在边上 四个顶点在边的中点上 四个顶点在边的非中点上 从特殊到一般的数学思想 　 古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性.如图，某亭子的平 面图是由正方形和正八边形复合而成，则 ＝ 　​ 　. ​ 　 问题构建 问题6：以上3种情形中,哪种符合题目“古建筑藻井图案”的实际场景？为什么？ 数学抽象 原因:古建筑藻井是正方形内嵌套完整正八边形,正方形四个角为完整直角,正八边形八个顶点都在正方形边上,正八边形有四条边与正方形的边完全重合重合,完美匹配“嵌套”的视觉效果,与题目给出的藻井实物图一致. 　 问题构建 问题7:结合正方形与正八边形的性质,内接于正方形的正八边形,必须满足哪些核心的边角特征？从特殊图形开始研究. 正八边形固有特征:8条边长度相等,8个内角均为135°. 正方形四个角截出的三角形均为全等的等腰直角三角形 正方形的边被正八边形的顶点分为两段,短段（等腰直角三角形直角边）与正八边形边长的比为 1: 图形关于正方形的4条对称轴完全对称,顶点分布符合轴对称特征 　 【例2】在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD边 上的点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形. （1）如图1，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，四边形EFGH为▱ABCD 的内接四边形，对角线EG，FH都经过点O. 求证：四边形EFGH为平行四 边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠GCO. 在△AOE和△COG中， ∴△AOE≌△COG（ASA）， ∴OE＝OG， 同理可得OF＝OH， ∴四边形EFGH为平行四边形. 　 （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规在▱ABCD中作出对角线最短的内接矩 形EFGH. （不写作法，保留作图痕迹） 解：如图. 四边形EFGH（或四边形EF′GH′）即是满足条件的四边形. 　 问题构建 问题8:你能尝试用尺规作出8个顶点都在正方形边上的正八边形吗？ 1.用尺规作出任意位置的等腰直角三角形,如右图所示等腰直角三角形BOE. 2.作∠BOE的角平分线交AB于H 3.以点E为圆心，EH为半径画弧交AB与K，连接KH 4.以K为圆心KH为半径画弧交于AB边，依次截取即可完成作图. 　 协作破冰 问题9:你能尝试用尺规作出4个顶点都在正方形边中点上的正八边形吗？ 1.作正方形ABCD四个边的中点,分别为E、F、G、H. 2.连接AC交EH于点I 3.作∠AEI的角平分线AM交AC于M,连接MH 4.分别以E、F、G、H为圆心,以EM为半径画圆，得到正八边形其余的顶点 　 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正 三角形，E，F在菱形边上. （1）证明：不论E，F在BC，CD上如何移动，总有BE＝CF. 证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，BC∥AD. ∵∠BAD＝120°， ∴∠B＝180°－∠BAD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC. 　 ∵△AEF为正三角形， ∴AE＝AF. ∵∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△ABE≌△ACF， ∴BE＝CF. 　 协作破冰 追问:经历刚才的画图步骤，你有没有发现更简单的作图方法？ 1.作出正方形的对角线 2.以交点为圆心，以边长一半为半径画圆 3.连接所得的交点即可得到正八边形. 　 协作破冰 问题10:观察老师制作的图案和动画,说说你有怎样的发现？ 4个顶点位于正方形边上的正八边形有无数个. 　 （2）当点E，F在BC，CD上移动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的 面积是否发生变化.如果不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大 （小）值. 解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化. ∵△ABE≌△ACF， ∴S△ABE＝S△ACF， ∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC. ∵AB＝4，∠B＝60°， ∴AC＝4，BD＝4 ， ∴S菱形ABCD＝ AC•BD＝8 ， ∴S四边形AECF＝ S菱形ABCD＝4 . 当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大， 　 当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小. ∵△ABC是等边三角形，AB＝4， ∴AE＝2 ， ∴S△AEF＝ ×2 ×3＝3 ， ∴△CEF的面积最大值为 S四边形AECF－S△AEF＝4 －3 ＝ . 　 教师示范 问题11:刚才我们从形的角度对内嵌正八边形进行了细致的研究，你能从数的角度找一找制作图形时需要满足怎样的条件？我们从正八边形的边长与正方形边长关系入手进行研究. 　 教师示范 假设正方形边长为m,正八边形边长为n（同学们可以课下研究谈论，和同伴老师交流.） m：n== m:n= 对于任意一点的情况，边长介于两种特殊情况之间 　 1. 如图，正八边形和正方形有一边重合，则∠ABC为 ⁠°. 135 　 2. 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD边上的 点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形.如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝6，若四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形，则AE的 取值范围是 ⁠. ≤AE≤ 　 当堂检测 3.如果要在边长为10cm的正方形里作一个内接正八边形(8个顶点都在边上),这个正八边形的边长是多少？（精确到 0.1cm） 根据所学关系： 正方形边长：正八边形边长= 所以：=≈4.1cm 　 反思总结 1.通过本节课的探究,你总结出了几种作内接于正方形的正八边形的尺规作图方法？这些方法各自的核心特点是什么？ 2.在探究过程中,我们用到了本章特殊平行四边形（正方形）的哪些性质？这些性质分别起到了什么作用？ 3.通过本节课的探究,你积累了哪些解决“特殊平行四边形内接正多边形”这类问题的通用经验？ 　 $