5.3 实际问题与一元一次方程 预习讲义-2026-2027学年新版人教版七年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与一元一次方程”核心知识点，承接方程解法，以“审设列解检验答”六步解题步骤为学习支架，系统覆盖配套、工程、销售盈亏等15类实际问题，构建从理论到应用的完整知识脉络。 资料特色在于题型丰富且贴近现实，含古代问题（如《孙子算经》）、地方特色题（如贵州刺梨饮品）等，通过例题与变式题结合，培养学生抽象能力、推理意识与模型观念。课中辅助教师分层教学，课后作业助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第五章 一元一次方程 03讲 实际问题与一元一次方程目录 【知识点1. 列方程解应用题解题步骤 1】 【考点1. 配套问题 5】 【考点2. 工程问题 8】 【考点3. 销售盈亏问题 12】 【考点4. 比赛积分问题 16】 【考点5. 方案选择问题 19】 【考点6. 数字问题 24】 【考点7. 几何问题 28】 【考点8. 动点问题 31】 【考点9. 和差倍问题 38】 【考点10. 电费和水费问题 41】 【考点11. 行程问题 45】 【考点12. 日历问题 50】 【考点13. 古代问题 53】 【考点14. 其他问题 56】 【考点15. 课后作业 61】 知识清单：列方程解应用题解题步骤 1、列方程解应用题解题步骤 1）审：读懂题目,弄清题意，明确哪些是已知量、未知量，寻找等量关系； 2）设：设未知数，一般求什么就设什么，但有时也要间接设未知数; 3）列：列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，单位要统一； 4）解：解方程，求出未知数的值: 5）检验：检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，舍去即可; 6）答：写出答案并作答，注意单位要写清楚。 巩固基础 1．古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？设有车辆，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住总人数不变的等量关系，根据两种乘车情况分别表示总人数即可列出方程． 【详解】解：设有车辆， 第一种情况：三人共车，二车空，实际乘坐人的车辆为辆，因此总人数为， 第二种情况：二人共车，九人步，有9人需要步行，因此总人数为， ∵两种情况总人数相等， ∴可得方程． 2．如图，把正整数1、2、3、4、…、按照一定规律排列，并用一个正方形框在其中上下、左右移动，且始终框住4个数，那么被框住的四个数字之和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设最小的数值为，根据被框住的4个数之和等于，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设最小的数值为，则其它三个数值分别为：，由题意，得： ， 当，解得，符合题意； 当，解得，但是第8行最后一个数，不符合题意， 当，解得，符合题意； 当，解得，符合题意； 故选：B． 3．一条公路需要8人用40天才能修完．照此进度，如果增加2人，那么修完这条公路需要________天． 【答案】32 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 根据工作总量不变，利用工作总量等于人数乘以天数的关系求解． 【详解】解：设修完这条公路需要x天． 由题意，工作总量为． 增加2人后，人数为10人， ∴， 解得． 故答案为：32． 4．个旧市某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对__________道题． 【答案】23 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列方程求解即可． 【详解】解：设小华答对道题，则答错或不答道题． 答对得分：分，答错或不答得分： 分， 总得分方程为：， 展开得： 合并同类项： 移项： 解得： 故小华答对23道题． 故答案为：23 5．两辆车同时从相距千米的甲乙两地相向而行，经过小时相遇．已知客车每小时行千米，货车每小时行驶多少千米？ 【答案】 【分析】先设货车每小时行驶千米，再根据题意列出方程，最后解方程即可． 【详解】解：设货车每小时行驶千米， 根据题意得，， 解得，． 答：货车每小时行驶千米． 6．如今“线上直播带货”已成为一种重要的销售方式．王大伯这星期开始增加了线上直播销售苹果的方式，线上直播销售量比线下销售量多出的部分是线下销售量的．这星期王大伯线上直播销售量是546千克，那么王大伯这星期线下苹果销售量是多少千克？ 【答案】王大伯这星期线下苹果销售量是105千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据线上直播销售量与线下销售量之间的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设王大伯这星期线下苹果销售量是x千克 由题意得：， 解得：， 答：王大伯这星期线下苹果销售量是105千克． 7．某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：（团队人数均不少于10人） 购票人数（人） 每人门票价（元） 60 50 40 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？ 【答案】甲团队有48人，乙团队有54人． 【分析】本题考查了一元一次方程，理解题意并列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程并求解即可． 【详解】解：设甲团队有人，则乙团队有人，   依题意，，， ∴， 解得，， ∴． 答：甲团队有48人，乙团队有54人． 直击考点 【考点1：配套问题】 例1. 某车间有名工人，每人每天可生产零件个或零件个，个零件需要配个零件，若分配名工人生产零件，其他工人生产零件，恰好使每天生产的零件和零件配套，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每天生产的零件数量的倍等于每天生产的零件数量列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 例2. 中国瓷器对世界文明的影响丝毫不亚于中国的四大发明，那些制作精美的瓷器更是成了西方人眼中的“神器”，以至于他们就用瓷器（）来称呼中国，某瓷器厂共有90名工人，每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶，如果8只茶杯和1只茶壶为一套茶具． (1)应安排多少人生产茶杯，可以使每天生产的茶具刚好配套？ (2)按（1）中的安排，每天可以生产多少套茶具？ 【答案】(1)应安排60人生产茶杯，可以使每天生产的茶具刚好配套 (2)每天可以生产1500套茶具 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用；找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设安排人生产茶杯，则人生产茶壶，根据“每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶，8只茶杯和1只茶壶为一套”列方程求解即可； （2）求出按（1）中的安排生产的茶壶数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设安排人生产茶杯，则人生产茶壶． 根据题意，得， 解得, 答：应安排60人生产茶杯，可以使每天生产的茶具刚好配套． （2）由（1）知：（套） 答：每天可以生产1500套茶具． 变式1. 如图，某校需要向某工厂定制一批四条腿的凳子，已知该工厂有9名工人，每人每天可以生产20块凳面或100条凳腿，1块凳面需要配4条凳腿，为使每天生产的凳面和凳腿刚好配套，设安排名工人生产凳面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理清题中的等量关系是解题的关键．设安排x名工人生产凳面，则安排名工人生产凳腿，根据生产的凳腿数量是凳面数量的4倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设安排x名工人生产凳面，则安排名工人生产凳腿， 依题意，得：． 故选：A． 变式2. 贵州，不仅有着迷人的自然风光，还拥有着独特而丰富的饮食文化，贵州刺梨汁以其丰富的营养价值和独特的风味受到广大消费者的喜爱．某商家用刺梨汁制作出了刺梨饮品和刺梨蛋糕，并以“2个蛋糕+1杯饮品”的套餐进行推广销售．该商家现有店员8名，每位店员每日可制作蛋糕60份或饮品90份，每位店员每天只负责一种商品的制作，要使每天制作的蛋糕和饮品刚好配套，应安排制作蛋糕和饮品的店员各多少名？ 【答案】应该安排6名店员制作蛋糕，剩余的2名店员制作饮品 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排名店员制作蛋糕，则安排名店员制作饮品，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】设安排名店员制作蛋糕，则安排名店员制作饮品，根据题意得， ， 解得：， 答：应该安排6名店员制作蛋糕，剩余的2名店员制作饮品． 变式3. 用一元一次方程解决下列问题： 山东淄博陶瓷生产史已逾万年，享有“淄博陶瓷，当代国窑”的美誉．某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 【答案】用2千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯，利用制作的茶杯的总数量是制作茶壶总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， 根据题意得：， 解得：． 答：用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 变式4. 某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 【答案】(1)设该工厂有6名工人生产A零件 (2)该工厂每日生产的零件总获利1620元 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是通过分析探究找出配套问题的相等关系且列方程求解． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，根据每天生产的A零件和B零件恰好配套列方程解决即可； （2）先求出生产B零件的有工人数，进而列式计算求出结论． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，由题意得： ， 解得：， 答：设该工厂有6名工人生产A零件； （2）由（1）得，生产B零件的有工人人， 每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元， 元， 答：该工厂每日生产的零件总获利1620元． 【考点2：工程问题】 例1. 学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．根据工程关系列出方程是关键． 设徒弟和师傅合作x天，根据等量关系：师傅完成的工作量+徒弟完成的工作量=1，列出方程即可求解． 【详解】解：设徒弟和师傅合作x天， 根据题意得，． 故选：C． 例2. 通榆某工程队修缮向海景区周边步道，甲队单独修需66天完成，乙队单独修需53天完成．若甲队先修21天，剩下的由甲乙两队合作完成，还需多少天能修完？ 【答案】还需天完成 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设还需x天完成，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设还需x天完成，根据题意得： ， 解得：， 答：剩下的由甲乙两队合作完成，还需天能修完． 变式1. 一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程：__________ 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．利用等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量，进而得出方程求出即可． 【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作， ∵甲单独做需要14小时完成，乙单独做需要11小时完成， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得， 故答案为：． 变式2. 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成． (1)两队合做需几天完成？ (2)甲队先做5天，剩下的部分由两队合做，那么还需几天完成？ 【答案】(1)两队合作需6天完成 (2)还需要3天完成 【分析】该题考查了一元一次方程的应用． （1）可设两队合作需天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率乙队的工作效率）时间，由此可列出方程求解． （2）可设还需要天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率乙队的工作效率时间甲队先做5天的工作量，由此可列出方程求解． 【详解】（1）解：设两队合作需天完成， 依题意有， 解得． 答：两队合作需6天完成． （2）解：设还需要天完成， 依题意有， 解得：． 答：还需要3天完成． 变式3. 有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷7个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积． 【答案】每个房间需要粉刷的墙面面积为 【分析】本题主要考查了列一元一次方程来解决现实生活中的实际问题；解题的关键是准确找出命题中隐含的等量关系，正确列出方程． 设每个房间需要粉刷的墙面面积为，根据等量关系：每名师傅每天粉刷的墙面每名徒弟每天粉刷的墙面，列出方程即可解决问题． 【详解】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为，则每名师傅每天粉刷墙壁，每名徒弟每天粉刷墙壁； 由题意得：， 解得：． 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为． 变式4. 一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水． (1)若同时开放甲、乙两个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管（保持甲管始终进水），则注满水池甲管总共开放了几小时？ 【答案】(1)同时开放甲、乙两个水管，2小时可注满水池 (2)注满水池甲管总共开放了小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）设三个水管同时开放小时可注满水池，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设注满水池甲管总共开放了小时，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设三个水管同时开放小时可注满水池， 根据题意得， 解得， 所以同时开放甲、乙两个水管，2小时可注满水池； （2）解：设注满水池甲管总共开放了小时， 依题意得， 解得， 所以注满水池甲管总共开放了小时． 变式5. 思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 【答案】(1)思行中学一共有个教室 (2)甲工程队共粉刷天 (3)选择方案一是最省钱的粉刷方案 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设乙工程队要刷天，根据题意房间数量列出方程，再解即可； （2）设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天，根据两队共粉刷间教室列出方程，再解即可； （3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设乙工程队要刷天，则思行中学一共有个教室， 由题意得：， 解得：， ， 答：思行中学一共有个教室； （2）解：设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队共粉刷天； （3）解：方案一：由甲工程队单独完成需（天）， 费用为（元）； 方案二：由乙工程队单独完成需要天， 费用为（元）； 方案三：按（2）方式完成， 费用为（元）， ， 方案一最合适， 答：选择方案一是最省钱的粉刷方案． 【考点3：销售盈亏问题】 例1. 一件夹克衫先按成本价提高标价，再将标价打八折出售，结果获利72元．设这件夹克衫的成本价是元，那么根据题意，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这件夹克衫的成本价是元，根据题意列出方程，即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这件夹克衫的成本价是元，则标价为元，打八折后的售价为元． 根据“售价 = 成本价 + 利润”，可列方程，整理得． 故选：A． 例2. 某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 【答案】100元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据按定价的出售10件，与按定价每个减价15元出售8件所获得的利润一样多，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：这种商品每件定价100元． 变式1. 一家书店的所有图书按八折销售，小华星期日在该书店买了几本书，共节省了8元，那么这几本书的原价为_________元． 【答案】40 【分析】本题考查了一次方程的应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据题干信息，设书的原价为，列出关系式解方程即可． 【详解】解：设这几本书的原价为元， 依题意，得：， 即， 解得：， 答：这几本书的原价为元． 故答案为：． 变式2. 某商场将一种家庭组合音响在进价2000元/套的基础上增加元进行售卖．在一次电商购物节中，将这种组合音响打9折促销，已知打折后的利润率为打折前的利润率的一半，求这种家庭组合音响打折前的售价． 【答案】2500元/套 【分析】本题考查一元一次方程的销售问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意可知这种家庭组合音响打折前的售价为元/套，打折后的售价为元/套，由打折后的利润率为打折前的利润率的一半，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得， ∴ 答：这种家庭组合音响打折前的售价为2500元/套． 变式3. 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠． （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠． （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 问题一：小明去该超市购物，付款189元．小明所购商品的原价是多少元？ 问题二：小强去该超市购物，付款530元．小强所购商品的原价是多少元？ 【答案】问题一：189或210元；问题二：600元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． 问题一：分两种情况：若一次购物少于200元；若一次购物满200元，但不超过500元，即可求解； 问题二：设小强所购商品的原价为x元，根据“若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．”列出方程，即可求解． 【详解】解：问题一：若一次购物少于200元，则小明所购商品的原价是189元； 若一次购物满200元，但不超过500元，则小明所购商品的原价是元； 综上所述，小明所购商品的原价是189或210元； 问题二：根据题意得：小强所购商品的原价超过500元， 设小强所购商品的原价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：小强所购商品的原价为600元． 变式4. 贵州有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，都匀毛尖、湄潭翠芽、贵定云雾茶、凤冈锌硒茶等均产自贵州．某采购商计划购进甲、乙两种茶叶，已知甲种茶叶每盒的进价比乙种茶叶每盒的进价少20元．若购进甲种茶叶5盒，乙种茶叶3盒，则共需要700元． (1)甲、乙两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该采购商购进了甲种茶叶300盒、乙种茶叶200盒．在销售时，甲种茶叶每盒的售价为110元，要使这500盒茶叶所获利润率为，乙种茶叶每盒的售价应是多少元？ 【答案】(1)甲种茶叶每盒的进价是80元，乙种茶叶每盒的进价是100元； (2)乙种茶叶每盒的售价应是121元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设甲种茶叶商品的进价是元，乙种茶叶商品的进价是元，若购进甲种茶叶商品5盒，乙种茶叶商品3盒 ，共需要700元．列出一元一次方程组，解方程组即可； （2）设每件乙种茶叶商品的售价为元，根据使得这500件茶叶商品所获利润率为，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲种茶叶每盒的进价是元，则乙种茶叶每盒的进价是元． 根据题意，得， 解得． 所以． 答：甲种茶叶每盒的进价是80元，乙种茶叶每盒的进价是100元． （2）解：设乙种茶叶每盒的售价是元， 根据题意，得， 解得． 答：乙种茶叶每盒的售价应是121元． 【考点4：比赛积分问题】 例1. 某次知识竞赛由40道选择题组成，答对一道得5分，答错一道扣3分，全部做完后（不能漏答）才可以提交试题，小明提交试题后显示得分为152分，设小明答对了道题，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意中数量关系，掌握一元一次方程列式解实际问题是解题的关键．设小明答对了道题，则答错了道题，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错了道题， 根据题意得，． 故选：C． 例2. 某学校举办一次数学知识竞赛活动，竞赛题共有25道题，规定做对一道题得4分，不做或做错一道题扣1分．李伟最后竞赛成绩是90分，那么李伟一共做对了_______道题． 【答案】23 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据正确的得分错误的得分最后成绩建立方程是关键．设李伟一共做对了x道题，则不做或做错了道，根据正确的得分错误的得分最后成绩建立方程求出其解即可． 【详解】解：设李伟一共做对了x道题，则不做或做错了道，由题意，得： ， 解得：． 答：李伟一共做对了23道题． 故答案为：23． 变式1. 某次考试100道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣1分，小李共得100分，那么他不做或做错多少题（   ） A．20 B．25 C．30 D．80 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练根据题意得出等式是解题的关键，设他答对题，则不做或做错题，利用共得100分列式求解即可． 【详解】解：设他答对题，则不做或做错题， 根据题意，得， 解得：， 则不做或做错题， 故选：A． 变式2. 足球比赛积分规则如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一个队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分．若设胜场数为x，则列方程为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设胜场数为x，则平的场数场，再根据总得分为19分，列出方程即可． 【详解】解：设胜场数为x，则平的场数场， 由题意得，， 故答案为：． 变式3. 学校组织数学知识竞赛，共设计20道选择题，各题的分值相同，每题必答．下表列出了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 19 1 94 B 14 6 64 C 20 0 100 D 10 10 40 E 18 2 88 (1)同学F得76分，他答对了几道题？ (2)同学G说他得85分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)他答对了16道题； (2)不可能，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键． （1）根据题意得出答对一题得5分，答错一题扣1分，设同学F答对了a道题，答错了道题，根据题意列出方程求解即可； （2）假设他得85分可能，设答对了b道题，答错了道题，根据答对的得分+答错的得分分建立方程求出其解即可，注意b要为整数． 【详解】（1）解：根据题意得：答对一题得分，答错一题扣分， 设同学F答对了a道题，答错了道题，由题意得： ， 解得：． 答：他答对了16道题； （2）解：不可能，理由如下： 假设他得85分可能，设答对了b道题，答错了道题， 由题意得， 解得：， ∵b为整数， 而不是整数， ∴同学G说他得85分，是不可能的． 变式4. 匹克球融合了羽毛球、乒乓球和网球的元素，是一项既有趣又有益的运动．某校七年级举行匹克球比赛，每个班级均比赛8场，前三名班级的积分榜信息（比赛无平局）如下表． 名次 班级 场次 胜场 负场 积分 1 （1）班 8 8 0 24 2 （5）班 8 6 2 a 3 （7）班 8 4 4 16 (1)从表中信息可以看出，胜一场积________分，负一场积________分，a的值为________． (2)若某班的总积分为14分，求该班的胜场次数．（列一元一次方程解决问题） (3)嘉嘉说他们班的总积分为11分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)3；1；20 (2)3 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据（1）班可以求得胜场积分，再根据（7）班即可求得负场积分，然后计算（5）班的积分即可得a的值； （2）根据题意可知，胜场积分负场积分总积分，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可知，胜场积分+负场积分=总积分，可以列出相应的代数式，然后判断即可． 【详解】（1）解：由（1）班的成绩可知：胜一场得（分）， 由（7）班的成绩可知：负一场积分为（分）， ∴（5）班的积为为：（分）， 故答案为：2；1；20； （2）解：设该班级胜场次数为x， 由题意可得：， 解得， 答：该班级胜场次数为3； （3）解：不可能，理由如下： 设嘉嘉他们班胜场次数为y，则总积分为， ∵y为整数， ∴一定为偶数， 故不可能为11分． 【考点5：方案选择问题】 例1. 班级想购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需购买球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．问：当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ 【答案】 当购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设购买乒乓球盒，根据题意列出方程即可解题． 【详解】解：设购买乒乓球盒，由题意知， 在甲店付款：元； 在乙店付款：元； 当时， 解得． 答：当购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样． 例2. 某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 变式1. “中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)该团队共有人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）设团队有人，根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元） 方案二的花费为：（元） ∵， ∴该团队应该选择方案一． （2）解：该团队共有人． 根据题意，得， 解得 答：该团队共有人． 变式2. 某学校计划购买30张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张160元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，分别求出到甲商场和乙商场所需费用；（用含x的式子表示） (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 【答案】(1)甲商场所需费用为：元，乙商场购买需费用为：元． (2)70个 【分析】本题主要考查用字母表示数量关系，一元一次方程的运用，理解题意，列出相应的代数式是解题关键． （1）根据数量关系列式即可； （2）根据题意将（1）中两个代数式组成方程求解即可． 【详解】（1）解：到甲商场购买所需费用为：（元）， 到乙商场购买需费用为：（元）． （2）由题意，得：， 解得：． 答：当购买70个书架时，两家商场购买所需费用相同． 变式3. 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用（购买空调费用+使用空调的电费费用）较低．（根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起））． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 (1)设空调的使用年限数为t（单位：年），求1级和3级能效空调的综合费用（单位：元）； (2)求使用年限是多少年时，两款空调的综合费用相同； (3)通过列式并计算说明哪一款空调的综合费用较低． 【答案】(1)能效1级空调的综合费用为元；能效3级空调的综合费用为元 (2)使用5年时，两款空调的综合费用相等 (3)时，购买3级能效等级的综合费用较低，当，两款空调的综合费用相等，当时，购买1级能效等级的综合费用较低 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、有理数的四则运算的实际应用等知识点，正确列出一元一次方程以及四则混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据两款空调的部分基本信息分别列出代数式，然后代入数据计算即可； （2）根据两款空调的部分基本信息列出一元一次方程求解即可； （3）作差，根据的取值范围，分类讨论的取值即可得答案． 【详解】（1）解：能效1级空调的综合费用为（元）； 能效3级空调的综合费用为（元）； （2）解：使用5年时，两款空调的综合费用相等，理由如下： 设使用空调的年数为t， 由题意可得：， 解得：． ∴当，即使用5年时，两款空调的综合费用相等． （3）解：， 当时，， ∴购买3级能效等级的综合费用较低， 当时，， ∴两款空调的综合费用相等， 当时，， ∴购买1级能效等级的综合费用较低． 变式4. 综合与实践 从2025年开始，山西进行新中考改革，体育考试增加一个项目，要求学生在足球、篮球、排球任选一项进行比赛．在当前这样的背景下，学校鼓励学生进行锻炼，某体育用品商店对，两品牌排球开展促销活动，已知，两品牌排球的标价分别是200元/个，80元/个，现有如下两种优惠方案： 方案一：不购买会员卡时，A品牌排球享受8.5折优惠，B品牌排球买6个（含6个）以上时所有排球享受9折，6个以下按标价购买． 方案二：办理一张会员卡需200元，拥有会员卡全部商品享受8折优惠． (1)若学校购买A品牌排球4个，B品牌排球5个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？ (2)若学校购买A品牌排球若干个，B品牌排球10个，且方案一比方案二多付30元，求购买A品牌的排球个数． 【答案】(1)方案一更优惠，优惠80元 (2)15个 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用知识点，解题的关键是根据不同的优惠方案，分别列出购买商品所需费用的表达式，再根据题目所给条件列方程求解． （1）分别计算方案一和方案二购买指定数量排球的费用，通过比较两者费用大小来确定哪种方案更优惠以及优惠的金额． （2）购买A品牌的排球个，根据方案一比方案二多付30元这一条件列出方程，进而求解出A品牌排球的个数． 【详解】（1）方案一的费用（元）； 方案二的费用（元）． 因为（元）， 所以方案一更优惠，优惠80元． （2）设购买A品牌的排球个． 由题意可得， 解得． 答：购买A品牌的排球15个． 【考点6：数字问题】 例1. 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，若这个两位数加上27，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是（   ） A．63 B．72 C．36 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是掌握两位数的表示方法． 设这个两位数的十位数字为，则个位数字为，根据题意列出方程，求出这个两位数． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为， 由题意列方程得，， 解得， ， 这个两位数为36． 故选：C． 例2. 传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等，下表是一个未完成的幻方，则x的值为_______．    【答案】9 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等”列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：9 变式1. 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为9，如果将个位上的数字与十位上的数字对调后所得新数比原数小9，那么原两位数是______． 【答案】54 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．先设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， ∴， 则， 解得：，． 则原数为54． 故答案为：54． 变式2. 有一个五位正整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，则这个五位数是______． 【答案】20121 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据原数是一个五位整数，在它的某位数字前加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，小数点后面有两位小数，得出一定是在百位和十位之间加的小数点．也就是所得的数的小数点向左移动了两位，即缩小了100倍．设这个五位数是x，则在它的某位数字前面加上一个小数点，得出的数为，根据这两个数的差为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个五位数是x，则在它的某位数字前面加上一个小数点，得出的数为，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：20121． 变式3. 如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】(1) (2)框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，以及数字规律的探索，解决本题关键是表示出字框中其他的3个数． （1）根据框中最小的数为，则其他3个数字表示为，，，根据加法列代数式即可； （2）假设和为124，根据（1）中得到的和的代数式列出一元一次方程，解方程判断即可． 【详解】（1）解：设框中最小的数为． 则其他3个数字为，，， ∴框中4个数的和为； （2）解：假设框中4个数的和可能是124， ∴， 解得， ∴最小的数为25． 故框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 变式4. 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0∼7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3750换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数34，换算成十进制数是19．求的值． 【答案】(1)八进制数3750换算成十进制数是2024 (2) 【分析】（1）由题意进行代入计算即可； （2）直接代入计算即可． 【详解】（1）解：． 故八进制数3750换算成十进制数是2024． （2）解：依题意，得，解得． 【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元一次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元一次方程是解答本题的关键． 【考点7：几何问题】 例1. 如图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是16平方厘米，求原来长方形的面积（   ） A．2277 B．2288 C．2299 D．2300 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据图形正确列方程是解题关键．由题意可知，中央小正方形的边长为4厘米，正方形的边长为厘米，则正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米，根据长方形的对边相等列方程，求出，进而得出原来长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：已知中央小正方形的面积是16平方厘米，则中央小正方形的边长为4厘米， 设正方形的边长为厘米， 则正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米， 那么， 解得：， 则原来长方形的长为，宽为， 即原来长方形的面积为， 故选：B 例2. 用内径为90毫米的圆柱形玻璃杯（已盛满水）向一个底面是边长为125毫米的正方形、高为81毫米的长方体铁盒内倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留） 【答案】毫米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设玻璃杯中水的高度下降了x毫米，根据体积相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设玻璃杯中水的高度下降了x毫米，根据题意得： ， 解得：， 答：当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了毫米． 变式1. 将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为___________． 【答案】15 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程．设小长方形的长为，则宽为，根据大长方形的周长为，列出方程，解方程求出小长方形的长和宽再进一步求阴影部分的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴宽为， ∴阴影部分的面积为： 故答案为：． 变式2. 如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 【答案】15m 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出空白三角形的两直角边长分别为：，，然后根据种植花卉的面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：空白三角形的两直角边长分别为： ，， 根据题意可得：， 解得：， ∴， 答：长方形空地的长为． 变式3. 如图，某建筑工地为了施工用水便利，现将一张长为、宽为的长方形铁皮（如图1所示）的四个角上各剪去一个大小相同的小正方形（如图2所示），然后把凸出部分折起来，焊接成一个如图3所示的无盖的长方体水槽（铁皮厚度忽略不计）． (1)设剪去的小正方形的边长为，则水槽的底面积可表示为_______． (2)为了水槽经久耐用，现要在水槽内外层都喷涂防锈漆．如果长方体水槽的宽是高的2倍，则喷漆面积为多少平方米？该水槽蓄水量为多少立方米？ 【答案】(1) (2)喷漆面积为，水槽蓄水量为． 【分析】本题考查了列代数式，有理数的四则运算，掌握列代数式是关键． （1）用长方形的面积减去正方形的面积即可； （2）先求出长方体的高与宽分别为、，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，设剪去的小正方形的边长为，则水槽的底面积可表示为 ， 故答案为：； （2）解：因为长方体水槽的宽是高的2倍， 所以解得： 所以长方体的高与宽分别为、， 则长方体的长为， 所以喷漆面积为，水槽蓄水量为． 【考点8：动点问题】 例1. 如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的运动规律，数轴上两点之间的距离公式，掌握数轴上点的运动规律是解题的关键． 根据数轴上点的运动规律及数轴上两点之间的距离公式即可解答． 【详解】解：设运动的时间为 秒， ∵点表示的数为，点表示的数为10， ∴根据题意可得：点表示的数为；点表示的数为， ∵的距离为5个单位长度， ∴， ∴或． 故选B． 例2. 如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【答案】(1)正半轴 (2)当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据两点相遇时，两点表示的数相同建立方程求解即可； （2）设两只电子蚂蚁运动的时间为，根据两点所走的距离加上15等于点A和点B的距离建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒时，两只电子蚂蚁相遇， 由题意得， 解得， ∴点在数轴上所对应的数为， ∴点在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上． （2）解：设两只电子蚂蚁运动的时间为， 由题意可得， 解得， 答：当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度． 变式1. 有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C的位置如图所示，点A与点B和点C的距离分别为3和9．原点O从点A开始，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点O运动_________秒时，． 【答案】4 【分析】本题主要查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离可得，然后根据，可列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点A与点B和点C的距离分别为3和9， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当点O运动4秒时，． 故答案为：4 变式2. 如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 【答案】(1)点对应的数为2，点表示的数为 (2)的值为1或5 (3)同时与对应的点重合的点对应的数 【分析】题目主要考查数轴上的点的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可； （3）设线段的中点为，点所对应的数为，得出，设点所表示的数为，与表示的点重合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴点对应的数为2， ， ∴点表示的数为； （2）当点在点左侧时，， 解得； 当点在点右侧时，， 解得． 综上所述，当点与点之间的距离为4个单位长度时，的值为1或5； （3）设线段的中点为，点所对应的数为， ∵对折数轴，使数轴上的点与点重合， ∴， ∴， 解得：， 设点所表示的数为，与表示的点重合， ∴点是线段的中点， ∴， ∴， 解得：． 答：同时与对应的点重合的点对应的数． 变式3. 【问题背景】 如图，数轴上有M、N两点，分别表示有理数、10．点M和点N之间的距离记为．动点P从点M出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，到达点N时停止运动．设点P移动时间为t秒． 【问题再现】（1）用含t的代数式表示和的长度； 【问题推广】（2）若点A位于点M和点N之间，且，求点A在数轴上表示的数； 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，当点P运动2秒后，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速沿数轴向右运动，到达点N处立刻返回沿数轴向左运动，请求出点P与点Q相遇时t的值． 【答案】（1）（2）4 （3） 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点，一元一次方程的应用， 对于（1），根据路程等于时间乘以速度可表示，再根据表示即可； 对于（2），根据，再结合，可得答案； 对于（3），当点Q到达点N时，求出此时的时间，得出它们在返回后相遇，再列出方程，然后求出答案即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， ∴； （2），由（1）知，且， ∴， 解得， ∴点A在数轴上表示的数是； （3）当点Q到达点N时，时间为（秒）， 可知点P的运动时间为（秒），到达的位置， ∴点Q返回后才相遇， ∴ ∴（秒）， 所以点P与点Q相遇的时t的值是秒． 变式4. 定义：在直线上点、之间的部分（含点、）叫线段，在线段上到点、距离相等的点叫线段的中点． (1)[操作·探索] 在数轴上点、分别表示的数是、，请完成下表： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 … (2)[发现·证明] 我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点在点的右侧，请你通过运算证明以上结论的正确性． (3)[思考·应用] 已知在数轴上点、表示的数分别是6、，在数轴上的动点从点出发，以一定的速度向点匀速运动；若为的中点，为的中点，问：在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？如果会发生变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)不会发生变化，线段的长度为5． 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，中点的表示方法． （1）根据数轴上中点的表示方法求解即可； （2）根据数轴上中点的表示方法求解即可； （3）设点P表示的数为m，得到点M表示的数为，点N表示的数为，然后得到即可求解． 【详解】（1）解：当，时，线段的中点对应的数为； 当，时，线段的中点对应的数为； 当，时，线段的中点对应的数为； 填表如下： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 5 … （2）解：根据题意得，在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是． 证明：设点在点的右侧， ∴，， ∴在a和b的中间． （3）解：设点P表示的数为m ∵在数轴上点、表示的数分别是6、，为的中点，为的中点 ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长度为5． 变式5. 【阅读理解】点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离． 【知识应用】利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和两点之间的距离是__________；数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为__________； （2）可表示数轴上x与数__________的距离；若，则__________； （3）若x表示一个有理数，则的最小值是__________； 【拓展探究】（4）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】（1）5；；（2）；或；（3）6；（4）经过12秒或28秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式． （）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （）根据绝对值意义即可求解； （3）分当时，当时，当时，三种情况分别去绝对值或解方程即可得到答案； （4）分相遇前和相遇后两种情况，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3和两点之间的距离是； 数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为； （2）可表示数轴上x与数的距离； ∵， ∴， 解得：或； （3）当时，， 当时，， 当时，， 当时，的最小值； （4）由题意得，， 设经过t秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度，根据题意得： 当两只蚂蚁相遇前，， 解得：； 当两只蚂蚁相遇后，， 解得：， 综上所述，经过秒或秒，只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【考点9：和差倍问题】 例1. 某公司分甲、乙两组开展项目工作，其中甲组人数是乙组人数的2倍，若从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一半多3．设乙组原有x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设乙组原有x人，则甲组原有人，利用“甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一半多3”列出方程即可． 【详解】解：设乙组原有x人，则甲组原有人， 由题意得，． 故选：D． 例2. 某班总人数为88人，其中男生人数比女生人数的3倍少12人，求女生的人数． 【答案】25人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． 设女生人数为人，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设女生人数为人，则男生有人， 根据题意得． 解得． 答：女生有25人． 变式1. 今年，李林和他爸爸的年龄和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大________岁． 【答案】28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．4年后，李林和他爸爸的年龄之和是岁，设李林4年后的年龄为x岁，则爸爸的年龄是岁，根据他们的年龄之和是58岁列出方程即可解决问题． 【详解】解：设李林4年后的年龄为x岁，则爸爸的年龄是岁，根据题意可得方程： (岁) (岁) 答：李林的爸爸比他大28岁． 故答案为：28． 变式2. 甲乙两仓库共存粮食260吨，如果甲仓库运到乙仓库，则乙仓库比甲仓库多20吨，原来甲仓库存粮食________吨． 【答案】160 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先设甲仓库原来存粮食x吨，可表示乙仓库的存粮，再根据运粮后乙仓库存粮等于甲仓库存粮加上20吨列出方程，求出解即可． 【详解】解：设甲仓库原来存粮食x吨，则乙仓库的存粮吨，根据题意，得 ， 解得． 所以甲仓库原来存粮160吨． 故答案为：160． 变式3. 一桶油，第一次用去这桶油的，第二次用去，还剩下这桶油的．这桶油有多少千克？ 【答案】这桶油有90千克． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，审清题意并正确列出方程是解题关键． 设原来这桶油有千克，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来这桶油有千克，第一次用去， 由题意得方程，， 解得 ∴这桶油有90千克． 变式4. 为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 【答案】60个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个，根据“七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个， 根据题意得：， 解得：． 答：七年级创作的作品有60个． 【考点10：电费和水费问题】 例1. 某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费元；若用水超过，超过部分每立方米加收3元．小明家月份交水费64元，则他家该月用水____． 【答案】28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题目中的数量关系，设小明家该月用水，列方程求解即可． 【详解】解：∵用水不超过，每立方米收费3元， ∴用水在时的费用为（元）， ∵， ∴小明家该有的用水超过，设小明家该有用水， ∴， 解得，， ∴小明家该月用水． 故答案为：28． 例2. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 变式1. 小王要去复印一些文件，现在有，两家复印店可供选择，下列为这两家复印店收费标准： 复印店：复印页数不超过20页时，每页收费为元；复印页数超过20页时，超过的部分每页收费为元． 复印店：不论复印多少页，每页收费为元． (1)如果复印30页，哪家复印店的收费更少？ (2)当复印页数为多少时，选择两家复印店的收费一样？ 【答案】(1)B复印店收费更少； (2)复印页数为60页时，选择两家复印店的收费一样 【分析】本题考查了混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确表示出两家复印店的费用是解题的关键． （1）分别计算出A、B两家复印店复印30页的费用，再作比较即可判断； （2）首先可以肯定，复印页数不超过20页时，A复印店的费用高于B复印店的费用；设复印x页（），根据两家的收费相同，列出一元一次方程，再求解即可． 【详解】（1）解：A复印店的费用为：（元）； B复印店的费用为：（元）； 而3元元， 故若复印30页，B复印店收费更少； （2）解：复印页数不超过20页时，A复印店每页的费用高于B复印店每页的费用，从而A复印店的费用高于B复印店的费用，所以复印的页数超过20页； 设复印x页（）时，两家的收费相同， 由题意得：， 解得：； 答：当复印页数为60页时，选择两家复印店的收费一样． 变式2. 为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 超过200度不超过300度的部分 超过300度的部分 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)若小明家某月用电量为x度，请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为136元，请求出小明家12月份的用电量． 【答案】(1)六月份，228 (2)当时，电费为元；当时，电费为元 (3)260度 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，列代数式，一元一次方程的应用； （1）把超过标准的数进行大小比较，即可求解； （2）分两种情况：当时，当时，根据阶梯价格列出代数式，即可求解； （3）设小明家12月份的用电量为y度，根据“阶梯价格”，结合小明家12月份的电费为136元，即可求解． 理解“阶梯价格”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 六月份用电量最多， 实际用电量为（度）； （2）解：当时，小明家该月的电费为：元； 当时，小明家该月的电费为：元； （3）解：∵（元），（元）， ∴小明家12月份的用电量超过200度，不足300度， 设小明家12月份的用电量为y度，根据题意得： ， 解得：， 答：小明家12月份的用电量为260度． 变式3. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【答案】(1)元 (2) (3)立方米 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，用代数式表示数量关系， （1）根据题意，不超过部分的费用加上超过部分的费用即可； （2）根据不超过部分费用加上超过部分的费用进行计算即可； （3）根据题意，可得小丽家4月份的煤气超过立方米，把代入（2）的式子计算即可． 【详解】（1）解：不超过50立方米，按每立方米0.8元收费，则此部分的费用为：（元），超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费， ∵小丽家某月用煤气量为80立方米， ∴超过部分的费用为（元）， ∴丽家该月应交煤气费为（元）； （2）解：∵每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元， ∴； （3）解：∵， ∴小丽家4月份的煤气超过立方米， 把代入（2）中的式子得，， 解得，， ∴她家4月份所用煤气为立方米． 【考点11：行程问题】 例1. 一艘轮船在A、B两港口之间行驶，顺水航行要5小时，逆水航行要7小时，水流的速度是5千米/时，则A、B两地之间的路程是（    ） A．105千米 B．175千米 C．180千米 D．210千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设船在静水中的速度为v千米/时，根据顺水和逆水航行路程相等列方程求解即可． 【详解】解：设船速为v千米/时，则顺水速度千米/时，逆水速度千米/时， 根据题意得：， 解得：， ∴（千米）， 即A、B两地路程为175千米． 故选：B． 例2. 甲乙两城市相距400千米，摩托车与轿车分别从甲乙两城市同时出发，相向而行．已知摩托车每小时行35千米，轿车每小时行65千米，两车相遇时距甲城市________千米． 【答案】140 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设两车经过x小时相遇，由题意列出方程可求出x，则计算的值可得出答案． 【详解】解：设两车经过x小时相遇，由题意得， ， 解得， ∴两车相遇时距甲城市的距离为（千米）， 故答案为：140． 例3. 小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【答案】A，B两地的路程为1800米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A，B两地的路程为x米，利用时间路程速度，结合小秦比小明少用3分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A，B两地的路程为x米， 根据题意得：， 解得：． 答：A，B两地的路程为1800米． 变式1. 某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（   ） A．72米 B．24米 C．144米 D．96米 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个列车的长是x米，利用速度=路程÷时间，结合这个列车的速度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这个列车的长是x米，根据题意得： ， 解得：； ∴这个列车的长是72米． 故选：A． 变式2. 一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划回到原来出发的码头．若这艘轮船在静水中的速度是，水流速度是，则这艘轮船最多顺水走________，就必须返回． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这艘轮船最多顺水走，就必须返回，利用时间路程速度，结合往返共用时，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这艘轮船最多顺水走，就必须返回， 根据题意，得：， 解方程，得， ∴这艘轮船最多顺水走，就必须返回． 故答案为． 变式3. 一天，小王和小颖在一条平缓的坡路上玩，小王从坡底跑到坡顶用时5分钟，从坡顶跑到坡底用时3分钟，已知他下坡比上坡每分钟多跑80米，小颖上坡、下坡的速度跟小王相同．从某一时刻开始，小颖从坡顶往下跑，同时小王从坡底往上跑，经过多长时间后他们俩相距56米？ 【答案】经过1.7分钟或2.05分钟后他们俩相距56米 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键．先设坡路的长度为米，由等量关系列一元一次方程求出坡长，从而根据速度路程时间求出小颖下坡和小王上坡速度，进而设经过分钟后他们俩相距56米，分两种情况列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设坡路的长度为米， 根据题意，得， 解得， 则小颖下坡的速度为（米/分钟）；小王上坡的速度为（米/分钟）； 设经过分钟后他们俩相距56米， ①相遇之前相距56米，则，解得； ②相遇之后相距56米，则，解得； 答：经过1.7分钟或2.05分钟后他们俩相距56米． 变式4. 如图，甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度为，后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口． (1)A、C两港口相距多远？ (2)港口间比港口间多多少千米？ （用含a的代数式表示） (3)卸装货物后同时出发，两船又经过多少小时相遇？ 若相遇处距B港口 50千米，求甲船还需几到达C港口？ 【答案】(1) (2) (3)两船又经过相遇，甲船还需到达港口 【分析】本题考查顺水、逆水速度，代数式求值，线段的和差，一元一次方程的实际应用；解决题目的关键是找到等量关系； （1）先表示出在航行过程中顺水速度为，逆水速度为， 继而求出港口到港口的距离，港口到港口的距离，列式化简即可； （2）求出，列式化简即可解答； （3）设卸装货物后同时出发，经过相遇，列出一元一次方程， ，求出，由相遇处距港口50千米，列出一元一次方程，解得，则甲船到达港口还需要的时间为，即可解答． 【详解】（1）解：由题可知，在航行过程中顺水速度为，逆水速度为， 甲船顺水航行从港口到达港口， 得港口到港口的距离， 乙船逆水航行从港口到港口， 得港口到港口的距离， 则、两港口相距； 答：、两港口相距； （2）由（1）得， ∴， 答：港口比港口多； （3）设卸装货物后同时出发，经过相遇，依题意得， ， 解得， ∵甲船从港口到港口是逆水行驶，乙船从港口到港口是顺水行驶， ∴甲船相遇时走了，还没到达点， ∵相遇处距港口50千米， ∴， 解得， 相遇时甲船行驶的距离为，甲船还有到达港口， 则甲船到达港口还需要的时间为． 答：两船又经过相遇，甲船还需到达港口． 变式5. 周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为的环形跑道，若把跑道从，，，处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从，两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【答案】(1)秒后两人首次相遇，此时他们在弯道上，且离B点37.5米的位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过5秒或45秒时，两人相距. 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距，所走得路程． （1）两人分别，两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； （2）在首次相遇后第二次相遇前，又经过y秒两人相距，依然是行程问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； 【详解】（1）解：设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程． 解得． 小明的路程米， 答：秒后两人首次相遇，此时他们在弯道上，且离B点37.5米的位置； （2）解：设又经过秒后两人两人相距， 依题意得或 解得或． 答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过5秒或45秒时，两人相距； 【考点12：日历问题】 例1. 如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．110 B．88 C．107 D．40 【答案】A 【分析】设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，求出这5个数的和为，结合选项，列出方程即可解答． 【详解】解：设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为． 这5个数的和为， A、，解得，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，符合题意 B、，解得，不是正整数，不符合题意； C、，解得，不是正整数，不符合题意； D、，解得，则左上的数为，不符合题意． 变式1. 如图，在2024年10月的月历表中用框选器“”框出3，5，11，17，19五个数，它们的和为55．若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（   ） A．40 B．88 C．107 D．110 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识，设正中间的数为，求得五个数的和是并分类讨论是解题的关键．设正中间的数为，则为整数，再求得这5个数的和为，令的值分别为40、88、107、110，分别列方程求出的值并进行检验，即可得到符合题意的答案． 【详解】解：设正中间的数为，则为整数，这5个数的和为：， 当时，得， ∵， ∴不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，符合题意； ∴它们的和可能是110． 故选：D． 变式2. 在某月的日历表中，用如图所示的“”型框任意框出表中四个数，若框出的四个数的和是，则框中最小的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设最小的数为，则其他三个数为，，，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设最小的数为，则其他三个数为，，， 由题意得，， 解得， ∴框中最小的数是， 故答案为：． 变式3. 将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及列代数式，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关键． （1）由题意观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和； （2）由题意可得，，求出，根据不是整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵十字框中间的数为a， ∴这十字框中五个数的和为． （2）设十字框中间的数为a，根据题意，得：， 解得：． ∵不是整数， ∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2023． 【考点13：古代问题】 例1. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设有x个人，根据题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有x个人，根据题意，第一种乘车方式可得总车数为，第二种乘车方式可得总车数为，由于总车数相等，列方程即可． 【详解】解：设共有x个人， 根据题意，得． 故选：B． 例2. 明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，则银子有_______两．（明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【答案】46 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用人数不变找到等量关系列出方程． 根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出方程即可． 【详解】解：设有x人，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：银子有46两． 故答案为：46 变式1. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六，问人数几何？题目大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，问买鸡的人数是多少？如果设有人买鸡，那么根据题意可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据每人出9钱，就多出11钱，得出鸡的价格是钱，结合每人出6钱，就还差16钱，则鸡的价格是钱，最后由这些鸡的总价不变列出等式，即可作答． 【详解】解：∵设有人买鸡，每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，且这些鸡的总价不变， ∴， 故选：A． 变式2. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为尺，则可列方程为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设竿长为尺，根据绳索比竿长5尺可得绳索长尺，再根据将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 变式3. 唐代大诗人李白喜好饮酒作诗；李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒_____升． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设壶中原来有酒升，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设壶中原来有酒x升，由题意可得 ， 解得， ∴壶中原来有酒升． 故答案为：． 变式4. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 【考点14：其他问题】 例1. 大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃．猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可以采摘11千克；猴王在场监督时，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克．某天，猴子们采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时有猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃．问，在这个猴群中，一共有小猴子多少只？（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先算出一只小猴子、大猴子一天可以采摘水蜜桃的数量，再设小猴子有只，则大猴子有只，根据题意进行列式计算，得出小猴子的数量，即可作答． 【详解】解：依题意，一只小猴子一天可以采摘水蜜桃： （千克）， 一只大猴子一天可以采摘水蜜桃： （千克）， 设小猴子有只，则大猴子有只， 依题意，， 整理得， 解得， 答：一共有小猴子20只， 故选：B． 例2. 鞋的长度通常用“厘米”或“码”作单位，它们之间的换算关系是（a表示厘米数，b表示码数）．根据这个关系，长度22厘米的鞋换算成以“码”作单位是_______码． 【答案】34 【分析】本题考查的是含字母的式子求值，只要把题中给出的条件代入关系式求出b即可． 【详解】解：把厘米代入得， ∴，即． 故答案为：34． 例3. 在物理学中，华氏温度与摄氏温度之间存在着如下的关系：． (1)一个人的体温有可能达到吗？试说明理由； (2)如果某地早晨的温度为，那么此地早晨的华氏温度是多少？ 【答案】(1)一个人的体温有可能达到，理由见解析 (2)此地早晨的华氏温度是 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，代数式的求值，关键是正确理解题意，掌握人的体温范围． （1）把代入，即可求解； （2）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 即约等于， 答：一个人的体温有可能达到． （2）解：当时，， 即等于， 答：此地早晨的华氏温度是． 变式1. 某裁缝做一件童装，一条裤子，一件上衣，所用时间之比为，他一天共能做件童装，条裤子，件上衣，则他做件上衣，条裤子，件童装，需（    ）天． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，解题关键是找到已知和问题之间的关系． 利用时间比，设出参数，表示出一天共能做件童装，条裤子，件上衣的时间参数；设出未知数，再用参数表示出做件上衣，条裤子，件童装的时间，建立方程即可解答． 【详解】解：设做一件童装，一条裤子，一件上衣所需时间依次为：，，， 再设件上衣，条裤子，件童装需天， 根据题意列方程得， 整理得， 解得． 故选：． 变式2. 在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据等量关系为“第一个量筒中水的体积第二个量筒中水的体积”建立方程即可解题． 【详解】解：由题知，第一个量筒（圆柱）中的水的体积为：， 第二个量筒中的水的体积为：， 根据表示同一个量的两个式子相等有， 故选：A． 变式3. 在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是．若，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．则该重物的质量为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用重物的质量的长度个钩码的质量的长度，列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：依题意得：，解得：． 故答案为：． 变式4. 如图，现有若干片相同的拼图，其凸出的部分是直径为的半圆．若4片拼图紧密拼成一排时的长度为，则n片拼图紧密拼成一排时的总长度为__________．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了一元一次方程的应用和图形类规律题，设图一中一个拼图中去掉半圆的宽度为，根据4片拼图紧密拼成一排时的长度为得到，解方程组即可得到图一中一个拼图中去掉半圆的宽度，即可求出答案． 【详解】解：设图一中一个拼图中去掉半圆的宽度为， 根据题意列方程得， 解得， 则n片拼图紧密拼成一排时的总长度为 故答案为：． 变式5. 综合与实践 古琴在我国的历史非常悠久，不管是神话故事还是史书记载，古琴的出现时间是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵（zhǐ）、商、羽、角．其发声管的管长可以通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下： 假设基本音“宫”的发声管长是81， “宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声管长是54； “徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声管长是72； “商”经“三分损一”得“羽”； “羽”经“三分益一”得“角”． (1)按照上面的假设，“羽”音的发声管长是______． (2)如图，线段表示“徵”的发声管长，其中两点是线段的三等分点，请你用尺规作图作出表示“商”的发声管的线段（保留作图痕迹） (3)小明想要制作一个古琴，需要五根发声管，每根发声管分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声管的长度总和为，求该古琴中“宫”的发声管长． 【答案】(1)48 (2)见解析 (3)该古琴中“宫”的发声管长为 【分析】本题考查作图−应用与设计作图、有理数的混合运算，一元一次方程的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，“羽”音的发声管长是； （2）以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，则线段或为表示“商”的发声管的线段． （3）设该古琴中“宫”的发声管长为，根据题意可列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，“羽”音的发声管长是， 故答案为：； （2）解：如图， 以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，则线段或为表示“商”的发声管的线段． （3）解：设该古琴中“宫”的发声管长为， 五根发声管的长度总和为， ∴， 解得， 该古琴中“宫”的发声管长为． 课后作业 1．（2026·天津河东·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为人，则可以列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题中物价为固定不变的量，根据题意分别用表示出两种情况下的物价，利用物价相等即可列出方程，准确理解题意找到等量关系是解题关键. 【详解】解：设人数为人，根据“每人出8钱，会多出3钱”，可得物价为， 又根据“每人出7钱，又差4钱”，可得物价为， 物价固定不变，两个代数式相等， 列方程为 ． 2．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）泌阳花岗岩是长江以北最大花岗岩生产基地，号称“中部石都”．产自河南泌阳（伏牛山与大别山交汇处），核心矿区：春水、象河、黄山口等乡镇．探明储量超10亿立方米，可开采百年以上，有效地拉动了地方经济．为了促销，一件品种为“芝麻白”花岗岩，先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利260元．若设这件“芝麻白”花岗岩的成本是元，根据题意，可得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据成本依次表示出标价和实际售价，再结合“售价 = 成本 + 利润”的关系列出方程即可． 【详解】解：设这件花岗岩的成本是元， 先按成本提高标价， 标价为 ， 以标价的即8折出售， 实际售价为 ， 获利元，即实际售价比成本多元， ． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿，现有12立方米的木材，设有x立方米木材制作桌面，问怎样用料才能制作尽可能多的桌子，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设有x立方米木材制作桌面，则有立方米木材制作桌腿， ∴制作的桌面有个，制作的桌腿有个， 根据一张桌子要用1个桌面和4条桌腿可得桌腿数量是桌面数量的4倍， ∴可列方程为． 4．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，一块长，宽的长方形草坪中有两条人行小道，小道的上下两边，小道与草坪的长边垂直，左右两边，，，四块草地的面积总和为，下列方程： ；； ；．其中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四块草地的面积总和等于长方形的面积减去两条小道的面积加上重叠部分的面积列式即可，或采用平移法将四块草地拼起来形成一个新的长方形，表示出新长方形的长与宽，再用长方形的面积公式列式即可． 【详解】解：根据题意得 ， 故错误，正确． 5．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】根据日历表示出各字母的值，然后整理代数式，根据定值求出的值即可． 【详解】解：根据题意可得， ，，， ∴ ， ∵代数式为定值， ∴，解得， 故选：C ． 6．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）某商品的成本为100元，若以标价的8折出售，仍可获利，则该商品的标价为_____元． 【答案】 【分析】设该商品的标价为元，根据利润售价进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设此商品的标价为x元， 则， 解得． 7．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 【答案】400 【分析】先根据小健比小康少跑16米的路程差求出相遇时间，再利用反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长计算周长. 【详解】解：设出发到第一次相遇的时间为秒. 根据题意列方程得 合并同类项，得 系数化为，得 反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长，因此周长为： ， ∴环形跑道的周长为米. 8．（2026·河北·一模）刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 【答案】 【分析】先将李师傅单独完成订单的天数看作单位，根据林师傅的工作时间求出李师傅单独完成需要的天数，再将工作总量看作单位，列出方程，即可求解． 【详解】李师傅单独完成订单需要：（天） 设两人合作天能完成这个订单，则 ， 解得． 即如果两人合作天能完成这个订单． 9．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）在5时到6时之间，某人看表时、由于不慎将时针看成分针，造成他看到的时间比正确的时间早了57分钟，试问正确时间是几时几分？____． 【答案】5时24分 【分析】假设正确的时间为5时x分，因为看到的时间比正确的时间早57分，所以看到的时间为4时分，因为将时针及分针看错，所以5时x分的时针位置会和4时分的分针位置重合，因为钟表一大格，时针一分钟走，分针一分钟走，也就是说，正确时间的5时x分的时针位置会和错误时间的4时分的分针位置重合，由此列出方程解答即可．本题主要考查了钟表问题，根据题意正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：假设正确的时间为5时x分， 因为看到的时间比正确的时间早57分， 所以看到的时间为4时分， 因为将时针及分针看错， 所以正确时间的5时x分的时针位置会和错误时间的4时分的分针位置重合． ∴， 解得． 所以正确时间是5时24分． 故答案为：5时24分． 10．（25-26六年级下·山东济宁·期中）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．求种文创产品每件的进价． 【答案】种文创产品每件的进价为4元 【分析】设种文创产品每件的进价为元，则种文创产品每件的进价为元，根据购进2件A种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设种文创产品每件的进价为元，则种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为4元； 11．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 【答案】 【分析】设榫头长为，则榫身长为，根据榫身长与榫头长之和为求出的值，进而根据比例关系求出各边长，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设榫头长为， 榫身长榫头长， 榫身长为， 榫身长与榫头长之和为， ， 解得， 榫头长为，则榫身长为， 榫头长榫头宽， 榫头宽为， 榫身宽榫头宽， 榫身宽为， 此面的表面积为：． 12．（25-26六年级下·山东济宁·期中）某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 【答案】(1)110；； (2)当包裹重量为时，两种方案的运费相同 【分析】本题考查了列代数式和一元一次方程的应用，准确地理解不同区间的计价规则是解题的关键． （1）根据货物质量的不同区间，选择对应的计价规则计算运费； （2）若包裹重量超过时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费 （元）； 当包裹的重量为时，则需支付运费 元； （2）解：若包裹重量超过时，按单价“6元”计费，即元， 根据题意，得， 解得， 当包裹重量为时，两种方案的运费相同． 13．（2026·北京东城·一模）学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 【答案】(1)兑换前购买圆规80个，笔记本60本 (2)用于兑换圆规的兑换券为2张 【分析】（1）根据圆规和笔记本的数量比设未知数，再根据总花费为1560元列出方程即可求解； （2）先计算出1560元可获得的兑换券总数，再设用于兑换圆规的兑换券为张，根据兑换后笔记本与圆规数量相同列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设兑换前购买圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得， ∴，． 答：兑换前购买圆规80个，笔记本60本． （2）解：∵， ∴可获得8张兑换券， 设用于兑换圆规的兑换券的张数为张，则用于兑换笔记本的兑换券为张， 则兑换后圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得． 答：用于兑换圆规的兑换券为2张． 14．（2026·安徽芜湖·二模）某超市三月份的利润比二月份减少了，四月份的利润比三月份增加了，三、四两个月共获得利润万元，求该超市四月份的利润． 【答案】万元 【分析】设出二月份利润为x，依次表示出三月份和四月份的利润，再根据三四月份总利润列一元一次方程求得x的值，进而求得四月份的利润． 【详解】解：设该超市二月份的利润为x万元 ， 根据题意，三月份利润为万元， 四月份利润为万元， ∵三、四两个月共获得利润万元， ∴ ， 解得：． ∴四月份利润为（万元） ． 答：该超市四月份的利润为万元． 15．（25-26七年级下·浙江台州·期中）某水果市场要将168吨水果从仓库运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批水果．已知这两种货车的载重量分别为10吨和8吨，运往甲、乙两地的运费如下表： 运输使用的车型 运费情况 甲地/（元/辆） 乙地/（元/辆） 大货车 300 400 小货车 200 250 (1)求这两种货车各用多少辆． (2)如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，且此次的总运费为5550元．请求出安排前往甲地的大货车有多少辆． 【答案】(1)大货车用12辆，小货车用6辆 (2)安排前往甲地的大货车有5辆 【分析】（1）设大货车用辆，则小货车用辆，根据“某水果市场要将168吨水果从仓库运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批水果．已知这两种货车的载重量分别为10吨和8吨”列方程求解即可； （2）设安排前往甲地的大货车有辆，根据“安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，且此次的总运费为5550元”结合表格列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大货车用辆，则小货车用辆， 由题意得：， 解得： ， 答：大货车用12辆，小货车用6辆； （2）解：设安排前往甲地的大货车有辆， 由题意得：， 解得：， 答：安排前往甲地的大货车有5辆． 16．（2026·北京密云·二模）毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为（包带缝合处忽略不计），该款毛毡包在制作时，要为需缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2（虚线为缝合时的走线位置），求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？ 【答案】该毛毡包的长、宽、高分别是 【分析】先设这款毛毡包的长、宽、高分别是，再表示出长方形毛毡料的长和宽，并根据长等于宽加上28得出方程，求出解即可． 【详解】解：设这款毛毡包的长、宽、高分别是， 根据题意，得，， 解得． ，，． 答：该毛毡包的长、宽、高分别是． 17．（2026·湖北黄冈·模拟预测）在如图1所示的数表中，记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是9． (1)________； (2)若，则________，________； (3)用图2所示的T字形框去框出数表中的4个数，这4个数由小到大依次记为a，b，c，d． ①d所表示的数为________（用含a的代数式表示）； ②T字形框中的四个数之和能否等于226？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)23 (2)10，1 (3)①；②不能，理由见解析 【分析】（1）根据表示第m行第n个数，即可解答； （2）根据规律可得是第行第个数，可得到m、n的值； （3）①根据规律可得每一行，从左到右依次增加，每一列，从上到下依次增加，即可解答；②由①得，然后求解即可说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：由表格可得发现规律：每一行6个数，每一行，从左到右依次增加， ∵， ∴是第行第个数， ∴，； （3）解：①由表格可得每一行，从左到右依次增加，每一列，从上到下依次增加， 则， ∴； ②不能，理由如下： 由①得， 则， 解得， ∵，则是第行第个数，则第行最后一个数， ∴T字形框中的四个数之和不能等于226． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 03讲 实际问题与一元一次方程目录 【知识点1. 列方程解应用题解题步骤 1】 【考点1. 配套问题 3】 【考点2. 工程问题 5】 【考点3. 销售盈亏问题 7】 【考点4. 比赛积分问题 9】 【考点5. 方案选择问题 10】 【考点6. 数字问题 13】 【考点7. 几何问题 15】 【考点8. 动点问题 16】 【考点9. 和差倍问题 20】 【考点10. 电费和水费问题 21】 【考点11. 行程问题 23】 【考点12. 日历问题 25】 【考点13. 古代问题 26】 【考点14. 其他问题 27】 【考点15. 课后作业 29】 知识清单：列方程解应用题解题步骤 1、列方程解应用题解题步骤 1）审：读懂题目,弄清题意，明确哪些是已知量、未知量，寻找等量关系； 2）设：设未知数，一般求什么就设什么，但有时也要间接设未知数; 3）列：列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，单位要统一； 4）解：解方程，求出未知数的值: 5）检验：检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，舍去即可; 6）答：写出答案并作答，注意单位要写清楚。 巩固基础 1．古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？设有车辆，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 2．如图，把正整数1、2、3、4、…、按照一定规律排列，并用一个正方形框在其中上下、左右移动，且始终框住4个数，那么被框住的四个数字之和不可能是（   ） A． B． C． D． 3．一条公路需要8人用40天才能修完．照此进度，如果增加2人，那么修完这条公路需要________天． 4．个旧市某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对__________道题． 5．两辆车同时从相距千米的甲乙两地相向而行，经过小时相遇．已知客车每小时行千米，货车每小时行驶多少千米？ 6．如今“线上直播带货”已成为一种重要的销售方式．王大伯这星期开始增加了线上直播销售苹果的方式，线上直播销售量比线下销售量多出的部分是线下销售量的．这星期王大伯线上直播销售量是546千克，那么王大伯这星期线下苹果销售量是多少千克？ 7．某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：（团队人数均不少于10人） 购票人数（人） 每人门票价（元） 60 50 40 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？ 直击考点 【考点1：配套问题】 例1. 某车间有名工人，每人每天可生产零件个或零件个，个零件需要配个零件，若分配名工人生产零件，其他工人生产零件，恰好使每天生产的零件和零件配套，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 例2. 中国瓷器对世界文明的影响丝毫不亚于中国的四大发明，那些制作精美的瓷器更是成了西方人眼中的“神器”，以至于他们就用瓷器（）来称呼中国，某瓷器厂共有90名工人，每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶，如果8只茶杯和1只茶壶为一套茶具． (1)应安排多少人生产茶杯，可以使每天生产的茶具刚好配套？ (2)按（1）中的安排，每天可以生产多少套茶具？ 变式1. 如图，某校需要向某工厂定制一批四条腿的凳子，已知该工厂有9名工人，每人每天可以生产20块凳面或100条凳腿，1块凳面需要配4条凳腿，为使每天生产的凳面和凳腿刚好配套，设安排名工人生产凳面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2. 贵州，不仅有着迷人的自然风光，还拥有着独特而丰富的饮食文化，贵州刺梨汁以其丰富的营养价值和独特的风味受到广大消费者的喜爱．某商家用刺梨汁制作出了刺梨饮品和刺梨蛋糕，并以“2个蛋糕+1杯饮品”的套餐进行推广销售．该商家现有店员8名，每位店员每日可制作蛋糕60份或饮品90份，每位店员每天只负责一种商品的制作，要使每天制作的蛋糕和饮品刚好配套，应安排制作蛋糕和饮品的店员各多少名？ 变式3. 用一元一次方程解决下列问题： 山东淄博陶瓷生产史已逾万年，享有“淄博陶瓷，当代国窑”的美誉．某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 变式4. 某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 【考点2：工程问题】 例1. 学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 例2. 通榆某工程队修缮向海景区周边步道，甲队单独修需66天完成，乙队单独修需53天完成．若甲队先修21天，剩下的由甲乙两队合作完成，还需多少天能修完？ 变式1. 一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程：__________ 变式2. 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成． (1)两队合做需几天完成？ (2)甲队先做5天，剩下的部分由两队合做，那么还需几天完成？ 变式3. 有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷7个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积． 变式4. 一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水． (1)若同时开放甲、乙两个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管（保持甲管始终进水），则注满水池甲管总共开放了几小时？ 变式5. 思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 【考点3：销售盈亏问题】 例1. 一件夹克衫先按成本价提高标价，再将标价打八折出售，结果获利72元．设这件夹克衫的成本价是元，那么根据题意，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 例2. 某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 变式1. 一家书店的所有图书按八折销售，小华星期日在该书店买了几本书，共节省了8元，那么这几本书的原价为_________元． 变式2. 某商场将一种家庭组合音响在进价2000元/套的基础上增加元进行售卖．在一次电商购物节中，将这种组合音响打9折促销，已知打折后的利润率为打折前的利润率的一半，求这种家庭组合音响打折前的售价． 变式3. 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠． （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠． （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 问题一：小明去该超市购物，付款189元．小明所购商品的原价是多少元？ 问题二：小强去该超市购物，付款530元．小强所购商品的原价是多少元？ 变式4. 贵州有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，都匀毛尖、湄潭翠芽、贵定云雾茶、凤冈锌硒茶等均产自贵州．某采购商计划购进甲、乙两种茶叶，已知甲种茶叶每盒的进价比乙种茶叶每盒的进价少20元．若购进甲种茶叶5盒，乙种茶叶3盒，则共需要700元． (1)甲、乙两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该采购商购进了甲种茶叶300盒、乙种茶叶200盒．在销售时，甲种茶叶每盒的售价为110元，要使这500盒茶叶所获利润率为，乙种茶叶每盒的售价应是多少元？ 【考点4：比赛积分问题】 例1. 某次知识竞赛由40道选择题组成，答对一道得5分，答错一道扣3分，全部做完后（不能漏答）才可以提交试题，小明提交试题后显示得分为152分，设小明答对了道题，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 例2. 某学校举办一次数学知识竞赛活动，竞赛题共有25道题，规定做对一道题得4分，不做或做错一道题扣1分．李伟最后竞赛成绩是90分，那么李伟一共做对了_______道题． 变式1. 某次考试100道选择题，每做对一题得分，不做或做错一题扣1分，小李共得100分，那么他不做或做错多少题（   ） A．20 B．25 C．30 D．80 变式2. 足球比赛积分规则如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一个队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分．若设胜场数为x，则列方程为________________． 变式3. 学校组织数学知识竞赛，共设计20道选择题，各题的分值相同，每题必答．下表列出了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 19 1 94 B 14 6 64 C 20 0 100 D 10 10 40 E 18 2 88 (1)同学F得76分，他答对了几道题？ (2)同学G说他得85分，你认为可能吗？为什么？ 变式4. 匹克球融合了羽毛球、乒乓球和网球的元素，是一项既有趣又有益的运动．某校七年级举行匹克球比赛，每个班级均比赛8场，前三名班级的积分榜信息（比赛无平局）如下表． 名次 班级 场次 胜场 负场 积分 1 （1）班 8 8 0 24 2 （5）班 8 6 2 a 3 （7）班 8 4 4 16 (1)从表中信息可以看出，胜一场积________分，负一场积________分，a的值为________． (2)若某班的总积分为14分，求该班的胜场次数．（列一元一次方程解决问题） (3)嘉嘉说他们班的总积分为11分，你认为可能吗？请说明理由． 【考点5：方案选择问题】 例1. 班级想购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需购买球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．问：当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ 例2. 某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 变式1. “中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 变式2. 某学校计划购买30张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张160元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，分别求出到甲商场和乙商场所需费用；（用含x的式子表示） (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 变式3. 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用（购买空调费用+使用空调的电费费用）较低．（根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起））． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 (1)设空调的使用年限数为t（单位：年），求1级和3级能效空调的综合费用（单位：元）； (2)求使用年限是多少年时，两款空调的综合费用相同； (3)通过列式并计算说明哪一款空调的综合费用较低． 变式4. 综合与实践 从2025年开始，山西进行新中考改革，体育考试增加一个项目，要求学生在足球、篮球、排球任选一项进行比赛．在当前这样的背景下，学校鼓励学生进行锻炼，某体育用品商店对，两品牌排球开展促销活动，已知，两品牌排球的标价分别是200元/个，80元/个，现有如下两种优惠方案： 方案一：不购买会员卡时，A品牌排球享受8.5折优惠，B品牌排球买6个（含6个）以上时所有排球享受9折，6个以下按标价购买． 方案二：办理一张会员卡需200元，拥有会员卡全部商品享受8折优惠． (1)若学校购买A品牌排球4个，B品牌排球5个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？ (2)若学校购买A品牌排球若干个，B品牌排球10个，且方案一比方案二多付30元，求购买A品牌的排球个数． 【考点6：数字问题】 例1. 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，若这个两位数加上27，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是（   ） A．63 B．72 C．36 D．27 例2. 传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等，下表是一个未完成的幻方，则x的值为_______．    变式1. 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为9，如果将个位上的数字与十位上的数字对调后所得新数比原数小9，那么原两位数是______． 变式2. 有一个五位正整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，则这个五位数是______． 变式3. 如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 变式4. 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0∼7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3750换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数34，换算成十进制数是19．求的值． 【考点7：几何问题】 例1. 如图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是16平方厘米，求原来长方形的面积（   ） A．2277 B．2288 C．2299 D．2300 例2. 用内径为90毫米的圆柱形玻璃杯（已盛满水）向一个底面是边长为125毫米的正方形、高为81毫米的长方体铁盒内倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留） 变式1. 将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为___________． 变式2. 如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 变式3. 如图，某建筑工地为了施工用水便利，现将一张长为、宽为的长方形铁皮（如图1所示）的四个角上各剪去一个大小相同的小正方形（如图2所示），然后把凸出部分折起来，焊接成一个如图3所示的无盖的长方体水槽（铁皮厚度忽略不计）． (1)设剪去的小正方形的边长为，则水槽的底面积可表示为_______． (2)为了水槽经久耐用，现要在水槽内外层都喷涂防锈漆．如果长方体水槽的宽是高的2倍，则喷漆面积为多少平方米？该水槽蓄水量为多少立方米？ 【考点8：动点问题】 例1. 如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 例2. 如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 变式1. 有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C的位置如图所示，点A与点B和点C的距离分别为3和9．原点O从点A开始，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点O运动_________秒时，． 变式2. 如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 变式3. 【问题背景】 如图，数轴上有M、N两点，分别表示有理数、10．点M和点N之间的距离记为．动点P从点M出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，到达点N时停止运动．设点P移动时间为t秒． 【问题再现】（1）用含t的代数式表示和的长度； 【问题推广】（2）若点A位于点M和点N之间，且，求点A在数轴上表示的数； 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，当点P运动2秒后，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速沿数轴向右运动，到达点N处立刻返回沿数轴向左运动，请求出点P与点Q相遇时t的值． 变式4. 定义：在直线上点、之间的部分（含点、）叫线段，在线段上到点、距离相等的点叫线段的中点． (1)[操作·探索] 在数轴上点、分别表示的数是、，请完成下表： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 … (2)[发现·证明] 我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点在点的右侧，请你通过运算证明以上结论的正确性． (3)[思考·应用] 已知在数轴上点、表示的数分别是6、，在数轴上的动点从点出发，以一定的速度向点匀速运动；若为的中点，为的中点，问：在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？如果会发生变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段的长度． 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 5 … 变式5. 【阅读理解】点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离． 【知识应用】利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和两点之间的距离是__________；数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为__________； （2）可表示数轴上x与数__________的距离；若，则__________； （3）若x表示一个有理数，则的最小值是__________； 【拓展探究】（4）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【考点9：和差倍问题】 例1. 某公司分甲、乙两组开展项目工作，其中甲组人数是乙组人数的2倍，若从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一半多3．设乙组原有x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 例2. 某班总人数为88人，其中男生人数比女生人数的3倍少12人，求女生的人数． 变式1. 今年，李林和他爸爸的年龄和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大________岁． 变式2. 甲乙两仓库共存粮食260吨，如果甲仓库运到乙仓库，则乙仓库比甲仓库多20吨，原来甲仓库存粮食________吨． 变式3. 一桶油，第一次用去这桶油的，第二次用去，还剩下这桶油的．这桶油有多少千克？ 变式4. 为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 【考点10：电费和水费问题】 例1. 某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费元；若用水超过，超过部分每立方米加收3元．小明家月份交水费64元，则他家该月用水____． 例2. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 变式1. 小王要去复印一些文件，现在有，两家复印店可供选择，下列为这两家复印店收费标准： 复印店：复印页数不超过20页时，每页收费为元；复印页数超过20页时，超过的部分每页收费为元． 复印店：不论复印多少页，每页收费为元． (1)如果复印30页，哪家复印店的收费更少？ (2)当复印页数为多少时，选择两家复印店的收费一样？ 变式2. 为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 超过200度不超过300度的部分 超过300度的部分 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)若小明家某月用电量为x度，请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为136元，请求出小明家12月份的用电量． 变式3. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【考点11：行程问题】 例1. 一艘轮船在A、B两港口之间行驶，顺水航行要5小时，逆水航行要7小时，水流的速度是5千米/时，则A、B两地之间的路程是（    ） A．105千米 B．175千米 C．180千米 D．210千米 例2. 甲乙两城市相距400千米，摩托车与轿车分别从甲乙两城市同时出发，相向而行．已知摩托车每小时行35千米，轿车每小时行65千米，两车相遇时距甲城市________千米． 例3. 小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 变式1. 某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（   ） A．72米 B．24米 C．144米 D．96米 变式2. 一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划回到原来出发的码头．若这艘轮船在静水中的速度是，水流速度是，则这艘轮船最多顺水走________，就必须返回． 变式3. 一天，小王和小颖在一条平缓的坡路上玩，小王从坡底跑到坡顶用时5分钟，从坡顶跑到坡底用时3分钟，已知他下坡比上坡每分钟多跑80米，小颖上坡、下坡的速度跟小王相同．从某一时刻开始，小颖从坡顶往下跑，同时小王从坡底往上跑，经过多长时间后他们俩相距56米？ 变式4. 如图，甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度为，后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口． (1)A、C两港口相距多远？ (2)港口间比港口间多多少千米？ （用含a的代数式表示） (3)卸装货物后同时出发，两船又经过多少小时相遇？ 若相遇处距B港口 50千米，求甲船还需几到达C港口？ 变式5. 周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为的环形跑道，若把跑道从，，，处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从，两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【考点12：日历问题】 例1. 如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．110 B．88 C．107 D．40 变式1. 如图，在2024年10月的月历表中用框选器“”框出3，5，11，17，19五个数，它们的和为55．若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（   ） A．40 B．88 C．107 D．110 变式2. 在某月的日历表中，用如图所示的“”型框任意框出表中四个数，若框出的四个数的和是，则框中最小的数是_____． 变式3. 将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 【考点13：古代问题】 例1. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设有x个人，根据题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 例2. 明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，则银子有_______两．（明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语） 变式1. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六，问人数几何？题目大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，问买鸡的人数是多少？如果设有人买鸡，那么根据题意可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 变式2. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为尺，则可列方程为（　　） A． B． C．2 D． 变式3. 唐代大诗人李白喜好饮酒作诗；李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒_____升． 变式4. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【考点14：其他问题】 例1. 大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃．猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可以采摘11千克；猴王在场监督时，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克．某天，猴子们采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时有猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃．问，在这个猴群中，一共有小猴子多少只？（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 例2. 鞋的长度通常用“厘米”或“码”作单位，它们之间的换算关系是（a表示厘米数，b表示码数）．根据这个关系，长度22厘米的鞋换算成以“码”作单位是_______码． 例3. 在物理学中，华氏温度与摄氏温度之间存在着如下的关系：． (1)一个人的体温有可能达到吗？试说明理由； (2)如果某地早晨的温度为，那么此地早晨的华氏温度是多少？ 变式1. 某裁缝做一件童装，一条裤子，一件上衣，所用时间之比为，他一天共能做件童装，条裤子，件上衣，则他做件上衣，条裤子，件童装，需（    ）天． A． B． C． D． 变式2. 在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（   ） A． B． C． D． 变式3. 在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是．若，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．则该重物的质量为_______ ． 变式4. 如图，现有若干片相同的拼图，其凸出的部分是直径为的半圆．若4片拼图紧密拼成一排时的长度为，则n片拼图紧密拼成一排时的总长度为__________．（用含n的代数式表示） 变式5. 综合与实践 古琴在我国的历史非常悠久，不管是神话故事还是史书记载，古琴的出现时间是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵（zhǐ）、商、羽、角．其发声管的管长可以通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下： 假设基本音“宫”的发声管长是81， “宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声管长是54； “徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声管长是72； “商”经“三分损一”得“羽”； “羽”经“三分益一”得“角”． (1)按照上面的假设，“羽”音的发声管长是______． (2)如图，线段表示“徵”的发声管长，其中两点是线段的三等分点，请你用尺规作图作出表示“商”的发声管的线段（保留作图痕迹） (3)小明想要制作一个古琴，需要五根发声管，每根发声管分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声管的长度总和为，求该古琴中“宫”的发声管长． 课后作业 1．（2026·天津河东·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为人，则可以列出的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）泌阳花岗岩是长江以北最大花岗岩生产基地，号称“中部石都”．产自河南泌阳（伏牛山与大别山交汇处），核心矿区：春水、象河、黄山口等乡镇．探明储量超10亿立方米，可开采百年以上，有效地拉动了地方经济．为了促销，一件品种为“芝麻白”花岗岩，先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利260元．若设这件“芝麻白”花岗岩的成本是元，根据题意，可得到的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿，现有12立方米的木材，设有x立方米木材制作桌面，问怎样用料才能制作尽可能多的桌子，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，一块长，宽的长方形草坪中有两条人行小道，小道的上下两边，小道与草坪的长边垂直，左右两边，，，四块草地的面积总和为，下列方程： ；； ；．其中错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（   ） A． B．5 C． D．8 6．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）某商品的成本为100元，若以标价的8折出售，仍可获利，则该商品的标价为_____元． 7．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 8．（2026·河北·一模）刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 9．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）在5时到6时之间，某人看表时、由于不慎将时针看成分针，造成他看到的时间比正确的时间早了57分钟，试问正确时间是几时几分？____． 10．（25-26六年级下·山东济宁·期中）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．求种文创产品每件的进价． 11．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 12．（25-26六年级下·山东济宁·期中）某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 13．（2026·北京东城·一模）学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 14．（2026·安徽芜湖·二模）某超市三月份的利润比二月份减少了，四月份的利润比三月份增加了，三、四两个月共获得利润万元，求该超市四月份的利润． 15．（25-26七年级下·浙江台州·期中）某水果市场要将168吨水果从仓库运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批水果．已知这两种货车的载重量分别为10吨和8吨，运往甲、乙两地的运费如下表： 运输使用的车型 运费情况 甲地/（元/辆） 乙地/（元/辆） 大货车 300 400 小货车 200 250 (1)求这两种货车各用多少辆． (2)如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，且此次的总运费为5550元．请求出安排前往甲地的大货车有多少辆． 16．（2026·北京密云·二模）毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为（包带缝合处忽略不计），该款毛毡包在制作时，要为需缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2（虚线为缝合时的走线位置），求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？ 17．（2026·湖北黄冈·模拟预测）在如图1所示的数表中，记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是9． (1)________； (2)若，则________，________； (3)用图2所示的T字形框去框出数表中的4个数，这4个数由小到大依次记为a，b，c，d． ①d所表示的数为________（用含a的代数式表示）； ②T字形框中的四个数之和能否等于226？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $