培优B卷-2026-2027学年上海市高二上学期开学考数学质量检测预测模拟卷

**基本信息** 上海市高二开学考数学培优B卷，120分钟150分，以集合、函数、数列等为核心，通过新定义“等差数列型数列”、电流函数模型等设计，考查数学抽象、逻辑推理与建模能力，适配开学培优检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|集合运算、反函数、幂函数、三角函数图像变换|基础巩固，如零点个数结合数形结合| |选择题|4题18分|充分必要条件、立体几何最短路径、二阶等差数列|能力提升，如方位角问题考查空间观念| |解答题|5题78分|函数零点讨论、奇函数单调性证明、等比数列求和及证明、新定义数列应用|创新应用，如第21题新定义数列结合逻辑推理，第19题电流模型体现数学建模|

2026-2027学年上海市高二（上）开学考数学质量检测预测模拟卷 培优B卷 （沪教版 · 120分钟 150分） 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 ，，则 ______， ______。 2. 已知函数 的反函数为 ，则 ______， 的图像关于直线 ______ 对称。 3. 已知幂函数 的图像经过点 ，则 ______， ______。 4. 函数 的零点个数为 ______。 5. 将函数 的图像先向左平移 个单位，再保持纵坐标不变、横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图像，则 ______，其最小正周期为 ______。 6. 已知复数 是实系数一元二次方程 的两个根，则 ______。 7. 已知 ，，且 ，则 的最大值为 ______，此时 ______， ______。 8. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，若 ，则 ______。 9. 已知 ，，则 ______。（用最简分数表示） 10. 在等比数列 中，，，则公比 ______， ______。 11. 函数 的定义域为 ______，值域为 ______。 12. 已知数列 满足 ，，则 ______。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知函数 在 上有最小值 ，则“”是“ 在 上单调递减”的（　） A. 充分非必要条件　　B. 必要非充分条件　　C. 充要条件　　D. 既非充分也非必要条件 14. 如图，棱长为 的正方体 中， 为 的中点，点 、 分别为面 和线段 上动点，则 周长的最小值为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 15. 某船从海岛 出发，沿北偏东 方向航行 km 到达海岛 ，然后沿北偏西 方向航行 km 到达海岛 ，则海岛 在海岛 的（　） A. 北偏东 方向　　B. 北偏东 方向　　C. 北偏东 方向　　D. 正东方向 16. 对于数列 ，定义“差分数列” 。若数列 的差分数列为等差数列，则称 为“二阶等差数列”。已知数列 为二阶等差数列，且 ，，，则 （　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） 已知函数 。 （1）若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围； （2）若函数 在区间 上恰有一个零点，求实数 的取值范围。 18.（14分） 已知函数 是定义在 上的奇函数。 （1）证明：对任意实数 ， 均为奇函数； （2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明； （3）若方程 在 上有两个不同的实数根，求实数 的取值范围（用含 的式子表示）。 19.（14分） 已知电流 与时间 的关系式为 。 （1）图是 在一个周期内的图象，根据图中数据求 的解析式； （2）记 ，求 的单调递增区间。 20.（18分） 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ； （3）设 （），求数列 的前 项和 ，并证明 。 21.（18分） 定义：若数列 满足 对任意 恒成立，则称 为“等差数列型数列”。 （1）判断数列 是否为“等差数列型数列”，并说明理由； （2）若数列 是“等差数列型数列”，且 ，，求 的通项公式； （3）已知数列 是“等差数列型数列”，且 ，，求数列 的前 项和 。 --- 试卷结束 --- 参考答案与解析 一、填空题 第1题 答案：， 解析：。。，。 【易错提醒】交集取公共部分，并集取全部；注意端点3在中取不到，在中取到。 第2题 答案：， 解析：，定义域 ，值域 。，反函数 （）。。反函数与原函数图像关于直线 对称。 第3题 答案：， 解析： 过 ，。，。 第4题 答案： 解析：。分别作出 与 的图像，两图像在 有1个交点， 有1个交点，共2个交点，故零点个数为2。 【易错提醒】数形结合判断零点个数时，注意和在和各有一个交点。 第5题 答案：， 解析： 向左平移 得 ，横坐标缩短为原来的 得 。最小正周期 。 【易错提醒】先平移后伸缩与先伸缩后平移结果不同，本题明确“先向左平移再缩短横坐标”，需按顺序执行。 第6题 答案： 解析： 的两根为 ，。。 第7题 答案：， 解析：，故 ，当 时取等号。 第8题 答案： 解析：，周期 。，。 【易错提醒】为奇函数，，但在周期中对应，答案为。 第9题 答案： 解析：两式平方相加：。展开得 ，即 。 第10题 答案：， 解析：，，相除得 。当 时，；当 时，。 【易错提醒】等比数列公比可正可负，时，需分类讨论。 第11题 答案：， 解析：定义域需 且 。。，故 ，值域为 。 【易错提醒】求值域时需注意定义域限制，的取值范围对应的非负性。 第12题 答案： 解析：，累加得 。 二、选择题 第13题 答案：A 解析：。 在 上有最小值 。分情况讨论： 时 ； 时 （舍）； 时 。故最小值为 。 在 上单调递减 。 是 的充分不必要条件，选A。 第14题 答案：B 解析：将 的周长转化为展开图中的最短路径。正方体棱长为2， 为 的中点， 在面 上， 在线段 上。展开正方体的部分面，使得 、、 三点共线时周长最小。经展开计算，最小周长为 。选B。 第15题 答案：C 解析：以 为原点，正东为 轴，正北为 轴。。从 沿北偏西 ，方向角 ，。，， 在 的北偏东约 方向，最接近北偏东 。选C。 【易错提醒】北偏西的横坐标变化为正（向东），纵坐标变化为负（向南），注意方向角计算。 第16题 答案：A 解析：二阶等差数列 为等差数列。，，公差为 ，故 。。，选A。 三、解答题 第17题（14分） （1）， 或 。（2分） 两根均在 内，需对称轴 ，，。（2分） 又 ，，，且 ，故 。（2分） （2）恰有一个零点，分三种情况： ①零点在区间端点：，。（2分） ②一个零点在区间内部，另一个在区间外：，即 。（2分） ③ 且顶点在区间内： 或 ，，符合。（2分） 综上 或 。（2分） 第18题（14分） （1），故 为奇函数， 可取任意实数。（2分） （2）任取 ，（2分） 。（2分） 当 时，，，故 ， 在 上递增；当 时递减；当 时无单调性。（2分） （3），，，。（2分） 当 时， 在 递增，在 递减， 时只有1个根（），不满足两个根。需 。（2分） 当 时， 在 递减，在 递增， 时只有1个根，需 。（2分） 综上： 时 ； 时 。（2分） 第19题（14分） （1）由图可知，。（2分） 周期 ，。（4分） 由图象过点 ：，。（4分） 解析式为 。（2分） （2）令 ，，（2分） ，（2分） ，。（2分） 单调递增区间为 ，。 第20题（18分） （1）（）。（4分） 。（2分） （2）。（4分） 。（2分） （3）（）。（2分） 。（2分） 。（2分） 证明：。（2分） 第21题（18分） （1），，。（4分） 故 ，是“等差数列型数列”。（2分） （2）由定义，，即 ，故 为等差数列。（4分） ，，公差 ，。（2分） （3）由定义 为等差数列，设公差为 。（2分） 。（2分） 。（2分） 解得 ，。。（2分） --- 解析结束 --- 1 学科网（北京）股份有限公司 $