精品解析：上海市市西中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

市西中学2025-2026学年第一学期高二年级数开学考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 不等式的解集为____________． 2. 直线的倾斜角为______． 3 设，若与平行，则实数_________． 4. 已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则_________． 5. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 6. 如图，以长方体顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________ 7. 已知复数（是虚数单位），则________. 8. 已知圆的面积为，则__________． 9. 已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则__________ 10. 在中，，以为焦点，且经过点的椭圆的离心率_________． 11. 设，则的最小值等于______． 12. 给定等边三角形，在空间任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则可以得到______个不同的正四棱锥. 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题3分． 13. 已知，若且，则（ ）. A. B. C. D. 14. 在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（ ）. A 1 B. C. D. 2 15. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，．记则下列等式中不正确的是（ ）. A. B. C. D. 16. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．现有如下命题：①；②存在正整数，当时，都有．下列判断正确的是（ ）. A. ①②均为真命题 B. ①②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题． 17. 设都是第二象限的角，已知． （1）求值 （2）求的值． 18. 有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示． （1）直接写出菜地内的分界线的方程 （2）设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 19. 如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5． （1）求异面直线与所成角的大小 （2）设为的中点，求直线与平面所成角的大小． 20. 已知定义在上函数满足（其中为正常数）． （1）若，且为奇函数，求的值： （2）若，且（且．证明：存在，使得函数为周期函数． （3）若，且当时，．设（为正整数），求使得都小于2025的最大正整数． 21. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． （1）判断点是否被直线分隔： （2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围 （3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市西中学2025-2026学年第一学期高二年级数开学考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解绝对值不等式得公式求解即可. 【详解】，所以， 可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为， 所以， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故答案为：. 3. 设，若与平行，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算即得. 【详解】向量，由与平行，得， 所以. 故答案为： 4. 已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】. 故答案为：48. 5. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积． 【详解】设球半径为， ∵球的表面积为， ∴， ∴， ∴该球的体积为． 故答案． 【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 6. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________ 【答案】 【解析】 【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点， 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为的坐标为，所以, 所以. 7. 已知复数（是虚数单位），则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，再利用复数的模长公式可求得. 【详解】因为，则， 因此，. 故答案为：. 8. 已知圆的面积为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 9. 已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理求出，由平方关系求得结果. 【详解】由余弦定理可得， ，又， . 故答案为：. 10. 在中，，以为焦点，且经过点的椭圆的离心率_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意，可以得到，从而得到，利用公式求解. 【详解】，又椭圆是以为焦点，且经过点的椭圆， ，，. 故答案为：. 11. 设，则的最小值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】将原问题转化为直线上点与圆上的点之间的距离问题，求解圆心到直线的距离，即可求解最小值. 【详解】表示点、两点距离的平方， 由得点的轨迹方程为， 由得点Q的轨迹方程为，表示圆心为，半径的圆. 所以点、两点距离的最小值为圆心O到直线的距离减去半径， 即，则， 故的最小值等于. 故答案为： 12. 给定等边三角形，在空间任取2个不同点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则可以得到______个不同的正四棱锥. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，可分为两种情况：当为正四棱锥的侧面时和当为正四棱锥的对角面时，分别求得满足条件的正四棱锥的个数，即可求解. 【详解】空间内存在三点，满足， 在空间内取不同两点，使得这两点与可以组成正四棱锥的五个顶点， 可分为两种情况： 第一种：当为正四棱锥的侧面时，如图（1）所示， 此时可分别充当底面正方形的一边，对应的情况显然相同， 不妨以为底面正方形的一边，符合要求的另两个点， 如图（1）所示，此时有两种情形； 考虑到三边的对称性，共有6种情况； 第二种：当为正四棱锥的对角面时，如图（2）所示， 此时分别充当底面正方形的一条对角线时，对应的情况显然也相同， 不妨以为底面正方形对角线，符合要求的另两个点， 如图（2）所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有3种情况， 综上所述，共有9种情况. 故答案为：9 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题3分． 13. 已知，若且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定定义，直接求出答案. 【详解】由，且，得. 故选：A 14. 在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（ ）. A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将化简得，而是平面内垂直的单位向量得，从而得，而的最大值为1，所以可得的最大值. 【详解】设与的夹角为， 因，， 所以， 所以， 因为是平面内垂直的单位向量，所以，所以， 因为，所以， 即当与夹角为0时，. 故选：B 15. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，．记则下列等式中不正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定定理可得，，，，再利用直角三角形的边角关系对选项逐一分析即可. 【详解】因为在矩形中，， 又平面， 所以平面.又平面，所以. 因为在矩形中，，所以，即. 因为平面， 所以平面. 又在矩形中，，所以平面. 又平面，所以. 同时，易知在矩形中，. 对于A：在中，， 在中，， 在中，， 所以，故A正确； 对于B：在中，，在中，， 在中，， 又，且在中，为斜边， 故有，所以，故B错误； 对于C：在中，，在中，. 又，所以，故C正确； 对于D：在中，， 又， 所以，， 所以，即，故D正确． 故选：. 16. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．现有如下命题：①；②存在正整数，当时，都有．下列判断正确的是（ ）. A. ①②均为真命题 B. ①②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出判断命题①；由当时，及，结合累加法求得，进而求出的不等关系，再推理判断命题②即可. 【详解】对于①，由，得，而，则， 于是，即， 而，解得，①是真命题； 对于②，数列的各项均为正数，当时，， 则数列严格递增，且， 由，得， 于是， 则，而，则，， 解得，，因此，， 由，得， 取，当时，，， 所以存在正整数，当时，都有，②是真命题. 故选：A 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题． 17. 设都是第二象限的角，已知． （1）求的值 （2）求的值． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的余弦公式求解. （2）利用同角公式求出，再利用差角的正切公式求解. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 由都是第二象限的角，且，得， ，则， 所以. 18. 有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示． （1）直接写出菜地内的分界线的方程 （2）设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可； （2）利用割补法结合梯形的面积计算即可. 【小问1详解】 易知：，利用抛物线的定义可知曲线为抛物线， 为其焦点，所以； 【小问2详解】 如图所示作， 易知， ， ， 所以 ， 而正方形的面积为4，所以面积比为 19. 如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5． （1）求异面直线与所成角的大小 （2）设为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由异面直线所成角的概念可知或其补角就是异面直线与所成角，在中求解即可； （2）连接，由线面角的概念可得就是直线与平面所成角，在中求解即可. 【小问1详解】 因为，所以或其补角就是异面直线与所成角， 在中， ，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 【小问2详解】 连接， 由直三棱柱可知平面， 故为直线与平面所成角，又， 所以在中，，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 20. 已知定义在上的函数满足（其中为正常数）． （1）若，且为奇函数，求的值： （2）若，且（且．证明：存在，使得函数为周期函数． （3）若，且当时，．设（为正整数），求使得都小于2025的最大正整数． 【答案】（1）0 （2）证明见解析 （3）最大为32，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题可知，周期为2，得出，再结合奇函数的性质即可求解； （2）由题可得，代入，即可证明当时，是周期为4的周期函数； （3）令，，结合题目得出数列是以为首项，2为公比的等比数列，求得，再列出不等式求得的最大值，在验证即可得出的最大值． 【小问1详解】 当时，，即周期为2， ∴①， 又∵为奇函数，∴②， 结合①②两式得． 【小问2详解】 证明：当时，， 而，代入得， 当时，即时，有， 从而，此时是周期为4的周期函数． 【小问3详解】 当时，， 当时，， 则，， ， 令，， 则， 因为， 所以， 而， 又 ， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，显然该数列递增数列， 令，解得最大值为10， 所以， 又， ， ， 所以最大值为32． 21. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． （1）判断点是否被直线分隔： （2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围 （3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 【答案】（1）点能被直线分隔； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义，把、两点的坐标代入计算判断. （2）由消去，利用所得方程无解求出的范围. （3）设点，求得曲线的方程，再按与分类并与的方程联立，判断解的情况即可得证. 【小问1详解】 点，直线，则， 所以点被直线分隔. 【小问2详解】 由直线是曲线的分隔线，得方程组无解，即方程无解， 而当且仅当时，方程无解，因此； 显然点在曲线上，， 因此点被直线分隔， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 设点，依题意，，则曲线的方程为， 显然当时，方程无解， 点都在曲线上，且，即点被直线分隔， 因此直线为曲线的分隔线； 设过原点的直线，由消去得， 令函数，当时，， 函数的图象连续不断，则函数在上有解，即方程有实数解， 当时，方程有实数解，即直线与曲线有公共点， 因此直线不是曲线的分隔线， 所以经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $