2026-2027学年上海市高二上学期开学考数学质量检测模拟卷

**基本信息** 沪教版高二开学考数学培优卷，聚焦函数单调性、数列递推等核心知识，通过“严格增函数”新定义题、向量斜坐标系应用等创新设计，考查抽象能力与推理意识，适配开学分层检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|集合运算、函数单调区间、复数模|第5题结合正弦函数图像交点，考查几何直观| |选择题|4题/18分|充要条件、向量投影、等差数列和集|第16题定义“和集”，体现数学抽象| |解答题|5题/78分|函数恒成立、数列证明、新定义应用|第21题以“严格增函数”定义为载体，考查逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年上海市高二（上）开学考数学质量检测预测模拟卷 培优A卷 （沪教版 · 120分钟 150分） 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 为非空集合，且 ，则实数 的取值范围为 ______。 2. 已知 ，，，则 、、 的大小关系为 ______。（用“”连接） 3. 函数 的单调递增区间为 ______。 4. 若函数 的零点在区间 内（），则 ______。 5. 如图，点 是函数 （）的图象与直线 的相邻的三个交点， 是 的图象与 轴的交点，若 ，则 ______。 6. 已知复数 （其中 为虚数单位），则 ______。 7. 已知 ，，，且 ，则 的最大值为 ____，此时** **____。 8. 已知函数 对任意正实数 ， 都有 ，且 ，则不等式 的解集为 ______。 9. 已知 ，，则 ______。 10. 已知函数 ，若 （），则 ______。 11. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为 ______。 12. 已知数列 满足 ，，则数列 的通项公式为 ____，数列** **是 ____ 数列（填“递增”或“递减”）。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知函数 在 上的最小值为 ，则“”是“ 在 上单调递增”的（　） A. 充分非必要条件　　B. 必要非充分条件　　C. 充要条件　　D. 既非充分也非必要条件 14. 若 （）是 所在平面内的点，且 ，给出下列说法： （1） （2） 的最小值一定是 （3）点 和点 一定共线 （4）向量 及 在向量 方向上的投影必定相等 其中正确的个数是（　） A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 15. 已知向量 ，，若 的最大值为 ，最小值为 ，则 （　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 16. 对于集合 ，定义“和集” 。若集合 为等差数列 的前 项构成的集合，则 中元素的个数为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） 已知函数 。 （1）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值。 18.（14分） 已知函数 。 （1）写出 的分段函数解析式； （2）若方程 有 个不同的实数根，求实数 的取值范围； （3）若方程 有 个不同的实数根，求实数 的值。 19.（14分） 如图，设 是平面内相交成 角的两条数轴， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量。若向量 ，则把有序实数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标，记作 。在此坐标系 中，若 ，，， 分别是 的中点， 分别与 交于 两点。 （1）求 ； （2）求 的坐标； （3）若点 在线段 上运动，设 ，求 的最大值。 20.（18分） 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ； （3）证明：。 21.（18分） 定义：若函数 对定义域内任意两个不相等的实数 、，都有 ，则称 为“严格增函数”。 （1）判断函数 是否为“严格增函数”，并说明理由； （2）若函数 在 上为“严格增函数”，求实数 的取值范围； （3）设 是定义在 上的“严格增函数”，且 ，，若 ，求 的取值范围。 --- 试卷结束 --- 参考答案与解析 一、填空题 第1题 答案： 解析： 非空，需 或 。，需两根均为正数，由韦达定理两根之和 ，两根之积 ，故 。综上 。 【易错提醒】易漏 非空条件，直接写 导致范围过大。 第2题 答案：（即 ） 解析：利用换底公式 ，，，故 。 【易错提醒】注意换底公式的方向，。 第3题 答案： 解析：，定义域 或 。 在 上递减，故 的单调递增区间即 的递减区间。 在 上递减，与定义域取交集得 。 【易错提醒】必须先求定义域再判断单调区间，否则易误写 。 第4题 答案： 解析：，，零点在 内，故 。 第5题 答案： 解析：设相邻三个交点 的横坐标分别为 。正弦函数与 的交点满足 ，相邻两点间距离在一个周期内为 和 。由 ，可得 ，。 是 轴交点，，取 。。 第6题 答案： 解析：，。 第7题 答案：， 解析：由三元均值不等式 ，当 时取等号。（注：三元均值为高一拓展内容，培优卷保留。） 第8题 答案： 解析：定义域要求 。（2分） 由 ，令 得 。，。由函数性质可推出 在 上递增，故 。（2分） 与 取交集得 。（1分） 【易错提醒】本题隐藏条件：，易漏导致解集错误。 第9题 答案： 解析：，平方得 。，，，且 ，。由 ，，解得 ，，。 【易错提醒】 时 ，需根据 判断 且 ，否则符号判断错误。 第10题 答案： 解析：，若 且 ，则 ，即 。 【易错提醒】注意 隐含条件，答案 成立。 第11题 答案： 解析：，对称轴 ，开口向上，顶点 。（2分） ，。（2分） 最大值为 ： 当 时，区间 上 ，令 ，符合 ；（2分） 当 时，区间 上 ，不可能为 。（2分） 故 。（2分） 第12题 答案：，递减 解析：，。（2分） ，故 为递减数列。（3分） 二、选择题 第13题 答案：D 解析：。 在 上最小值为 ，需 时 ； 时 （舍）。故最小值为 。 在 上单调递增 。 是 的充分不必要条件。故选D。 第14题 答案：B 解析：由 ，得 ，即 ，所以点 在过点 且垂直于 的直线上。（1）错误： 不一定相等，只有在以 为圆心的圆上才相等；（2）错误： 的最小值不一定是 ，取决于 的位置；（3）正确：点 均在过点 且垂直于 的直线上，故 和 一定共线；（4）正确：投影相等是题设条件的等价表述。故正确的有2个。选B。 第15题 答案：B 解析：，。故选B。 第16题 答案：A 解析：，，元素个数为 。故选A。 【易错提醒】注意 是否可取：当 时取到 ； 当 时取到；中间每个整数均可由不同 组合得到。 三、解答题 第17题（14分） （1），对称轴 ，开口向上。（2分） 当 时， 上单调递增，，符合；（2分） 当 时， 上单调递减，，故 ；（2分） 当 时，，故 。（2分） 综上 。（2分） （2），对称轴 ，开口向上。（1分） ，。（1分） 当 时， 上最大值在端点 处取到，，符合；（1分） 当 时， 上最大值在端点 处取到，，不符合。（1分） 故 。（2分） 第18题（14分） （1）。（2分） 分段解析式为： （4分） （2）方程 有 个不同的实数根，由图像可知 。（4分） （3）方程 有 个不同的实数根，由图像可知 。（4分） 【易错提醒】 时有2个根（）， 时有3个根（ 为二重根， 为单根）。 第19题（14分） （1），，。（2分） 。（3分） 。（1分） （2） 为 中点，。（1分） 为 中点，。（1分） 与 交于 ：设 ，又 。（2分） 由对应系数相等：，，代入得 ，。（2分） 同理 与 交于 ：，又 。（2分） 对应系数相等：，，代入得 ，。（2分） （3） 在线段 上，，。（2分） 。（2分） 当 时， 取最大值 。（2分） 第20题（18分） （1）。（4分） 。（2分） （2）。（4分） （2分） 。（2分） （3）。（4分） 第21题（18分） （1），任取 ，（2分） （恒为正）。（4分） 故 是“严格增函数”。（2分） （2），任取 ，（2分） 。（2分） 需 对任意 恒成立。（2分） ，故 。（2分） （3） 为“严格增函数”且 ，，（2分） 由严格增函数定义得 。（2分） 。（2分） 【易错提醒】严格增函数定义中“任意两个不相等的实数”决定定义等价于“”，可直接使用。 --- 解析结束 --- 1 学科网（北京）股份有限公司 $