精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

泉州五中2025-2026学年下学期初二年期末考试 数学试卷 （全卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题（单选题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的分式方程有增根，则增根是（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，是的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于反比例函数，下列结论错误的是（　　） A. 图象位于二、四象限 B. 点在这个函数图像上 C. 图象关于原点对称 D. y随x的增大而增大 8. 今年月份某品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，月份的生产成本为万元．假设今年每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，，分别为，的中点，为上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（ ） A. (4，1) B. (1，4) C. (1，－4) D. (－1，－4) 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 若分式的值为0，则的值为_______． 12. 已知正比例函数，随的增大而增大，请写出一个符合条件的值：_________． 13. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，且，，则______． 14. 已知，是方程的两个根，则__________． 15. 公元3世纪，我国数学家刘徽就能利用公式得到二次根式的近似值．其中，取最大的正整数，取正整数，则利用公式估算__________． 16. 如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 三．解答题（共86分） 17. 计算：； 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，矩形中，M是的中点，求证：． 20. 已知一次函数的图象是一条直线． （1）①列表，下表列出了部分对应值，请补充完整表格； … 0 … … 0 … ②描点、连线，画出函数的图象； （2）将此直线向右平移3个单位，可得直线_____________． 21. 榫（sǔn）、卯（mǎo）构件是中国古代建筑中常用的结合构件．如图是一种特定的榫卯结合构件，其中，每个榫构件所需的圆木比每个卯构件所需的圆木短．已知用的圆木制作的榫构件数量与用的圆木制作的卯构件数量相同．求制作个榫构件需要的圆木长度． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 23. 项目式学习任务：四边形的变身术 项目背景：华师大版八下数学教材139页呈现了“四边形的变身术”示意图，好学的泉小伍同学继续进行探究． 教材回顾：一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形．剪拼前后图形的面积不变． （1）任务1：【基础探究】如图①，四边形为梯形，，、是边、上的中点．经过剪拼，易证 ， ，可证四边形为矩形． （2）任务2：【进阶探究】如图②，取四边形四边中点、、、，连接对边中点，将四边形分为、、、四个部分，如图操作，作、的中心对称图形，并将平移，拼成四边形，判断四边形形状，并说明理由． （3）任务3：【应用拓展】如图③，取四边形四边中点、、、，连接，过点作于点，过点作于点，若四边形的面积为，，直接写出的长 ． 24. 根据以下素材，探索完成以下任务 探索“美好距离” 素材 定义：在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，过点作于点，过点作于点，连接，称线段的长为线段关于直线和的“美好距离”． 图形 问题解决 任务1 已知点，，利用图1探索以下问题： ①直线的解析式是________________________________； ②求线段关于轴和轴的“美好距离”； ③求线段关于直线和直线的“美好距离”． 任务2 如图2，线段在直线上运动（点的横坐标大于点的横坐标），且，直接写出线段关于轴和轴的“美好距离”的最小值． 25. 如图1，在正方形中，，点为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线交，对角线于点，，连接． （1）若，求的度数； （2）如图2，连接，． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，的面积为，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）为定值；（ii）为定值；（iii）为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2025-2026学年下学期初二年期末考试 数学试卷 （全卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题（单选题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式的定义为：若A、B是整式，B中含有字母且，则式子是分式．根据分式定义判断即可，需注意是常数，不是字母． 【详解】解：A、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意； B、的分母是含字母的整式，符合分式的定义，属于分式，符合题意； C、的分母是常数，不是字母，属于整式，不是分式，不符合题意； D、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意． 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式在实数范围内有意义的条件，二次根式的被开方数必须是非负数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得． 3. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个小于1的正数用科学记数法表示，n为负数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位,确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：． 4. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行判断即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，不一定有唯一的值与之对应，故不是的函数，符合题意． 5. 若关于的分式方程有增根，则增根是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，关键是理解分式方程为什么会有增根．方程中各分母的最简公分母为，令，即求出的值． 【详解】解：原方程中， 因此分式方程的最简公分母为． ∵分式方程有增根， ∴最简公分母的值为0，即， 解得． 6. 如图，是的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求解，再根据平行四边形的性质可解． 【详解】解：∵是的高，且， ∴， 在中，， ∴ ． 7. 关于反比例函数，下列结论错误的是（　　） A. 图象位于二、四象限 B. 点在这个函数图像上 C. 图象关于原点对称 D. y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图是解题的关键． 根据反比例函数的图判断各选项正误即可． 【详解】解：根据题意得，反比例函数， 选项A、，图位于第二、四象限，则A正确； 选项B、当时，，则点在图上，故B正确； 选项C、反比例函数图关于原点对称，则C正确； 选项D、由于，反比例函数图在每一象限内随的增大而增大，但选项未指定“在每一象限内”，因此说法错误， 故选：D． 8. 今年月份某品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，月份的生产成本为万元．假设今年每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个月生产成本的下降率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率为， 根据题意得：， 故选：． 9. 如图，中，，，，，分别为，的中点，为上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，，， 则由勾股定理得：， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：． 10. 若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（ ） A. (4，1) B. (1，4) C. (1，－4) D. (－1，－4) 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果． 【详解】解：根据不等式ax+b＞0的解集是x＜2可得一次函数y=ax+b的图象大致为： ∵点（4，1）在直线的上方，点（1，-4）在直线的下方，点（-1，-4）在直线的下方， ∴可能在一次函数图象上的是（1，4）． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式得到一次函数的图象是本题的关键． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 若分式的值为0，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件得出，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，掌握分式值为0的条件是解题的关键． 12. 已知正比例函数，随的增大而增大，请写出一个符合条件的值：_________． 【答案】(答案不唯一，任意均可) 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，当时，随的增大而增大，因此只需写出一个大于的即可． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴， ∴任意大于的都符合条件， 故答案为(答案不唯一)． 13. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，且，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形对角线互相垂直的性质是解题关键．根据菱形对角线互相垂直，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 15. 公元3世纪，我国数学家刘徽就能利用公式得到二次根式的近似值．其中，取最大的正整数，取正整数，则利用公式估算__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将整理为的形式，确定和的取值，再代入公式计算近似值． 【详解】解：∵a取最大的正整数，r取正整数， ∴，即， ∴． 16. 如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，利用平行四边形性质表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到的关系，再结合建立关于的方程求解． 【详解】解：设，其中 ， 边经过原点，且在反比例函数图象上 ， 点与点关于原点对称 ， ，且为中点  ． 四边形是平行四边形， ∴， 设，其中， ∴， ∴， ∴，， ． 点在反比例函数图象上， ， ， ， ，即 ． 连接， 四边形是平行四边形 ， 点到的距离等于平行四边形边上的高，设为，  又 将代入上式得 ． 三．解答题（共86分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简与求值，解题的关键是正确对分式进行化简．通过因式分解、通分、约分等运算化简，即可得到化简分式，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，矩形中，M是的中点，求证：． 【答案】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，证明是解题关键．首先结合矩形的性质可得，，再根据M是的中点易得，可证明，即可证明结论． 【详解】略 20. 已知一次函数的图象是一条直线． （1）①列表，下表列出了部分对应值，请补充完整表格； … 0 … … 0 … ②描点、连线，画出函数的图象； （2）将此直线向右平移3个单位，可得直线_____________． 【答案】（1） … 0 … … 4 0 … 函数图象如图所示： （2） 【解析】 【小问1详解】 解：令，解得；令，解得，据此补全表格并画出函数图象． 【小问2详解】 解：由图象平移口诀“左加右减”，则此直线向右平移3个单位，可得直线． 21. 榫（sǔn）、卯（mǎo）构件是中国古代建筑中常用的结合构件．如图是一种特定的榫卯结合构件，其中，每个榫构件所需的圆木比每个卯构件所需的圆木短．已知用的圆木制作的榫构件数量与用的圆木制作的卯构件数量相同．求制作个榫构件需要的圆木长度． 【答案】制作个榫构件需要的圆木长度为 【解析】 【分析】设制作个榫构件需要的圆木长度为，则制作个卯构件需要的圆木长度为，根据“用的圆木制作的榫构件数量与用的圆木制作的卯构件数量相同”列分式方程，求解即可． 【详解】解：设制作个榫构件需要的圆木长度为，则制作个卯构件需要的圆木长度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 答：制作个榫构件需要的圆木长度为． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； （2）解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【解析】 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 项目式学习任务：四边形的变身术 项目背景：华师大版八下数学教材139页呈现了“四边形的变身术”示意图，好学的泉小伍同学继续进行探究． 教材回顾：一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形．剪拼前后图形的面积不变． （1）任务1：【基础探究】如图①，四边形为梯形，，、是边、上的中点．经过剪拼，易证 ， ，可证四边形为矩形． （2）任务2：【进阶探究】如图②，取四边形四边中点、、、，连接对边中点，将四边形分为、、、四个部分，如图操作，作、的中心对称图形，并将平移，拼成四边形，判断四边形形状，并说明理由． （3）任务3：【应用拓展】如图③，取四边形四边中点、、、，连接，过点作于点，过点作于点，若四边形的面积为，，直接写出的长 ． 【答案】（1）， （2）解：是平行四边形，理由如下： 如图，连接，，，，， 则，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 根据旋转和平移可得点，，三点共线，，，三点共线，且，，，， ，， ∴， ，， ∴， ∴是平行四边形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明、即可； （2）连接，，，，，根据三角形的中位线定理得到是平行四边形，进而得到，，然后根据旋转和平移得到，，即可得到结论； （3）连接，，，，连接交于点，可得是平行四边形，然后证明，即可得到，，然后把四边形绕点旋转，把四边形绕点旋转，平移四边形，得到四边形，证明是矩形，根据矩形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据剪拼可知，， 、是边、上的中点， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，，，连接交于点， 把四边形绕点旋转，把四边形绕点旋转，平移四边形至四边形，得到四边形， 由（2）可得是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴，，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， 即， 解得． 24. 根据以下素材，探索完成以下任务 探索“美好距离” 素材 定义：在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，过点作于点，过点作于点，连接，称线段的长为线段关于直线和的“美好距离”． 图形 问题解决 任务1 已知点，，利用图1探索以下问题： ①直线的解析式是________________________________； ②求线段关于轴和轴的“美好距离”； ③求线段关于直线和直线的“美好距离”． 任务2 如图2，线段在直线上运动（点的横坐标大于点的横坐标），且，直接写出线段关于轴和轴的“美好距离”的最小值． 【答案】任务1：①；②；③；任务2：线段关于轴和轴的“美好距离”的最小值是 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据新定义，求出的坐标，勾股定理进行求解即可；③设直线与轴交于点，直线与直线交于点， 过点作直线于点，连接，，求出点，点坐标，推出四边形是矩形，得到，勾股定理求出的长，即可； （2）延长，交于点，易得四边形是矩形，得到，设，求出，勾股定理结合完全平方的非负性，求出最值即可． 【详解】任务1：①设直线的解析式为：， ∴，解得：； ∴； 故答案为：； ②作轴，作轴，则：，， ∴， ∴线段关于轴和轴的“美好距离”为； ③解：如图，设直线与轴交于点，直线与直线交于点， 过点作直线于点，连接，， 当时，， ∴； 由，得， ， ，，， ， ； 直线与直线平行， ， ， 又， 四边形是矩形， ，直线， 则线段关于直线和直线的“美好距离”是的长，即 ； 线段关于直线和直线的“美好距离”是． 任务2：线段关于轴和轴的“美好距离”的最小值是． 如图2，延长，交于点，直线交轴分别于点， ∵， ∴时，；时，， ∴， ∴， 轴，轴， ， ， 四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ， ， 设，则， ， 当时，， 的最小值为． 25. 如图1，在正方形中，，点为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线交，对角线于点，，连接． （1）若，求的度数； （2）如图2，连接，． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，的面积为，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）为定值；（ii）为定值；（iii）为定值． 【答案】（1） （2）①； ②（iii）为定值正确； 证明：过点E作交于点N， 由（1）得， 设， ， ， 过点F作交于点R，过点F作交于点M，过点E作交于点T， 易得四边形为正方形，四边形为矩形， ∴， ∴ ， ∴（iii）为定值正确． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，直角三角形斜边中线定理以及三角形外角定理即可求解； （2）①连接，过点F作交于点M，证明，通过条件得出，最后利用等腰直角三角形的性质求出线段长度即可； ②过点E作交于点N，过点F作交于点R，过点E作交于点T，根据条件求出相关线段的长度，易得四边形为正方形，四边形为矩形，然后根据进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①连接，过点 F 作交于点M， 在正方形中，， 又∵， ∴ ， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ， ∴， 在等腰和等腰中，， ∴， ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $