精品解析：福建泉州市鲤城区2025-2026学年第二学期八年级数学期末考试试卷

2025～2026学年第二学期 八年级数学期末考试试卷 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 点的横坐标，纵坐标， ∴ 点在第二象限． 2. 血小板是人体内最小的细胞碎片，负责止血和凝血．某人的血小板直径约2.6微米，相当于0.0000026米，数据0.0000026用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为，要求满足，为原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】∵ 左起第一个非零数字为，前面共有个零，且 ，符合科学记数法要求， ∴， 故选：D． 3. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（ ）m A. 52 B. 13 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的中位线，即， B选项符合题意． 4. 小明的平时成绩、期中成绩、期末成绩分别为85分、80分、90分，若三者的权重分别为、、，则小明的最终成绩为（　　） A. 85分 B. 86分 C. 87分 D. 88分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算． 根据加权平均数的计算公式，将各成绩对应乘以权重后求和得到最终成绩即可． 【详解】解：∵加权平均数的计算方法为各数据与其权重的乘积之和， ∴小明的最终成绩 （分）． 故选：B． 5. 科技小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，图1是密度计浸在某种液体中的示意图．已知该密度计竖直漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图2所示（）．当此密度计浸在某种液体中的高度为时，该液体的密度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出h与ρ之间的函数关系式，再将代入计算即可． 【详解】解：设h与ρ之间的函数关系式为（k为常数，且）， 将坐标代入上式，得，解得， 与ρ之间的函数关系式为， 当时，． 6. 如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题中的条件，根据平行四边形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得，， A、，则四边形是平行四边形，选项正确，符合题意； B、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； C、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； D、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意． 7. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】左右平移时自变量满足 “左加右减”的平移法则，据此求出平移后的函数解析式，再根据正比例函数的常数项为0计算m的值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移3个单位长度后的函数解析式为 ， ∵平移后的函数是正比例函数， ∴． 解得． 8. 在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（ ） A. 众数是90分 B. 中位数是85分 C. 平均数是89分 D. 分位数是90分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数的定义、四分位数和折线统计图的知识，注重数形结合是解答本题的关键．根据众数、中位数、平均数、四分位数的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案． 【详解】解：∵90出现了5次，出现的次数最多， ∴众数是90分，故A正确； ∵共有10个数， ∴中位数是第5、6个数的平均数， ∴中位数是分，故B错误； ∵平均数是分，故C正确； ∵从小到大排序，后5个数，90，90，90，95，95， ∴分位数是90分，故D正确． 综上所述，B选项符合题意， 故选：B． 9. 定义运算：对于任意实数、、，有．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据新定义运算将原方程转化为常规分式方程，再利用增根的性质求解的值． 【详解】解：根据新定义运算，原方程可化为． 整理得． 两边同乘去分母，得． 分式方程有增根， ，即． 将代入整式方程，得． 解得． 10. 如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点．则下列结论：①是定值；②平分；③当运动到中点时，；④当时，四边形的面积是． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即，易知是定值，故可判断结论①；根据题意无法判断与的大小关系，即可判断结论②；③当运动到中点时，点运动到中点，利用勾股定理解得的值，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得的值，即可判断结论③；利用全等三角形的性质可得，即进而可得，时，结合可得，进而可得，易知，即可判断结论④． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵点与点的运动速度相同， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，是定值， 故①正确； ②根据题意无法判断与的大小关系，所以平分不正确， 故②错误； ③当运动到中点时，点运动到中点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，故③正确； ④∵， ∴，即， ∴， 当时，可有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使分式有意义，则的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据分式有意义的条件确定a的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：要使分式有意义，则分母， 解得， ∴a的值可以是0（答案不唯一）． 12. 已知一次函数，当时，函数值_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的函数值计算，解题的关键是将自变量的值代入一次函数解析式进行代数运算．把代入，按运算顺序计算即可得到的值． 【详解】解：将代入一次函数中，． 故答案为：． 13. 有一条长方形纸带，按如图方式折叠，图中的，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，由折叠的性质求出的度数，由长方形纸带的对边平行求出的度数即可．掌握平行线的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，， 由折叠的性质可得， ∵长方形纸带的对边平行， ∴， ∴。 故答案为：． 14. 一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款鞋的各种尺码销售量如图所示，鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为23.5cm的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是_______． 【答案】众数 【解析】 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由表中数据知，这组数据的众数为， 所以影响店主决策的统计量是众数. 故答案为：众数. 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 15. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为48，则，然后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，落在坐标轴上，反比例函数的图象分别交，于点，，且，若，则的值为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】设点B的坐标为（），则点D的坐标为，点A的坐标为（），分别求出BD，CD，AB的长，利用比例的关系得到之间的关系，再设点E坐标为（、）利用三角形的面积以及反比例函数图像上点的特征表示点E的坐标，在利用割补法求出，进而可求得的值 【详解】设点B的坐标为（），则点D的坐标为，点A的坐标为（） 设点E坐标为（、） ，即 点E在反比例函数上 点E的坐标为（、） 将代入中得 反比例函数图像在第一象限，则 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，解题关键是利用函数图像上点的坐标特征表示出点E，割补法求面积列出等式． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得，， 两边同乘以得，， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 当时，原式． 19. 如图，已知在平行四边形中，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键，首先根据平行四边形的形质可得，，，再由题意可得，最后根据全等三角形的判定得出，即可证出． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ． 20. 甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，70，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数； （2）根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）不经过计算，哪组测试的成绩的方差更大？为什么？ 【答案】（1） （2）图见解析 （3）甲组测试的成绩的方差更大，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将甲组的成绩从小到大排列为 70，70，80，89，91，92，96，98， 所以； 【小问2详解】 解：如答图所示： 【小问3详解】 解：甲组测试的成绩的方差更大，理由如下： 根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中， 所以甲组测试的成绩的方差更大． 21. 如图，四边形是矩形，． （1）尺规作图：作菱形，点E，F分别在，上．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点F，于点E，则四边形即为所作菱形． （2）由菱形的性质，设菱形的边长为x，则．在中，由勾股定理即可解出x，即可求出菱形的边长与面积． 【小问1详解】 解：如图所示，菱形为所求；   ∵矩形， ∴，即， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解： 四边形是矩形，，， ， 设菱形的边长为x，则． 在中， ，即， 解得． 菱形的边长为，面积为． 【点睛】本题考查尺规作图：作线段垂直平分线，菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理．掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解答本题的关键． 22. 某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，并购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用4000元购买型机器人模型和用2400元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共40台，购买型机器人模型不超过型机器人模型的3倍，问购买型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）型机器人模型的单价是500元，型机器人模型的单价是300元 （2）购买型机器人模型10台，型机器人模型30台时花费最少，最少花费是14000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答； （2）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，根据题意列出不等式，求出的范围，设购买机器人模型的花费为元，列出与的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：型机器人模型的单价是500元，型机器人模型的单价是300元． 【小问2详解】 解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， 由题意得，， 解得：， 设购买机器人模型的花费为元， 则， ， 随着的增大而增大， ， 当时，有最小值，最小值为（元），此时． 答：购买型机器人模型10台，型机器人模型30台时花费最少，最少花费是14000元． 23. 综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． （1）任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： （2）计算任务1得到的函数表达式的值； （3）写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： （4）小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】（1） （2） （3） （4）准确性较高，原因见解析 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； 【小问3详解】 解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； 【小问4详解】 解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 24. 已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点，求的值． （2）若点，在函数的图象上，比较，，的大小． （3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析，反比例函数的性质， （1）将点坐标代入求出即可； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可； （3）由反比例函数的性质可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程构成方程组，即可求解； 根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴的值为； 【小问2详解】 ∵中， ∴反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴，，， ∴； 【小问3详解】 证明：∵反比例函数， ∴该图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵，且， ∴的最大值为，最小值为， ∵反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，且， ∴的最大值为，最小值为， ∵函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大， ∴，， ∴， ②－①，得：， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，，，，且． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），是等腰直角三角形，，，，三点在一条直线上，过点作于．若，的面积为6，求的长； （3）如图（2），点，，连接，，．当最小时，求的值． 【答案】（1），，． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值和平方式的非负性求解即可； （2）过B作于H，证明是等腰直角三角形得到，，，，再证明，，再证明得到，，，进而得，设，，利用三角形面积公式推导出，进而可求解； （3）将沿着方向平移到，则，，作点B关于直线对称的点，连接，，则，，，当，，三点共线时取等号，此时最小，点N为与直线的交点，利用待定系数法求出直线的表达式为，进而求得点N坐标即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，． 【小问2详解】 解：过点B作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， 设，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：∵点，，， ∴点N在直线上运动，点M在直线上运动， 如图，将沿着方向平移到，则，， 作点B关于直线对称的点，连接，，则，， ∴，当，，三点共线时取等号，此时最小，点N为与直线的交点， 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，，解得， 则， 由得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期 八年级数学期末考试试卷 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 血小板是人体内最小的细胞碎片，负责止血和凝血．某人的血小板直径约2.6微米，相当于0.0000026米，数据0.0000026用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（ ）m A. 52 B. 13 C. 18 D. 20 4. 小明的平时成绩、期中成绩、期末成绩分别为85分、80分、90分，若三者的权重分别为、、，则小明的最终成绩为（　　） A. 85分 B. 86分 C. 87分 D. 88分 5. 科技小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，图1是密度计浸在某种液体中的示意图．已知该密度计竖直漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图2所示（）．当此密度计浸在某种液体中的高度为时，该液体的密度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（ ） A. 众数是90分 B. 中位数是85分 C. 平均数是89分 D. 分位数是90分 9. 定义运算：对于任意实数、、，有．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点．则下列结论：①是定值；②平分；③当运动到中点时，；④当时，四边形的面积是． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使分式有意义，则的值可以是_____．（写出一个即可） 12. 已知一次函数，当时，函数值_________． 13. 有一条长方形纸带，按如图方式折叠，图中的，则的度数为______． 14. 一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款鞋的各种尺码销售量如图所示，鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为23.5cm的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是_______． 15. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，落在坐标轴上，反比例函数的图象分别交，于点，，且，若，则的值为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知在平行四边形中，．求证：． 20. 甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，70，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数； （2）根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）不经过计算，哪组测试的成绩的方差更大？为什么？ 21. 如图，四边形是矩形，． （1）尺规作图：作菱形，点E，F分别在，上．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 22. 某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，并购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用4000元购买型机器人模型和用2400元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共40台，购买型机器人模型不超过型机器人模型的3倍，问购买型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． （1）任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： （2）计算任务1得到的函数表达式的值； （3）写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： （4）小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 24. 已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点，求的值． （2）若点，在函数的图象上，比较，，的大小． （3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明． 25. 在平面直角坐标系中，，，，且． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），是等腰直角三角形，，，，三点在一条直线上，过点作于．若，的面积为6，求的长； （3）如图（2），点，，连接，，．当最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $