4.2.1等差数列的概念第3课时课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修二

该高中数学课件聚焦等差数列习题课，核心涵盖对称法设项、实际应用及综合应用，通过衔接等差数列定义与通项公式，以题型分类搭建学习支架，帮助学生从基础概念过渡到复杂问题解决。 其亮点是采用“例题-探究-思考题”模式，对称法设项体现数学眼光优化计算，实际问题（利润亏损、气温变化）建模发展数学语言，综合应用（共同项问题）强化数学思维。学生能提升解题与应用能力，教师可直接用于分层教学，提高效率。

4.2.1　等差数列的概念(第3课时)(习题课) 课时学案 2 题型一　 对称法设未知项 例 1　三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这个等差数列．　 【解析】　设等差数列中间一项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d. 依题得3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4. 故这个等差数列为－2，2，6或6，2，－2. 第页 3 探究1 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般有如下规律：当等差数列{an}中n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 第页 思考题1　四个数成递增的等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这个等差数列． 【解析】　设这个等差数列为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)． 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8. 即d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增的等差数列，∴d>0. ∴d＝1，故这个数列为－2，0，2，4. 第页 题型二　 等差数列的实际应用 例 2　某公司2022年生产一种数码产品，获利200万元，从2023年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？ 第页 6 【解析】　记2022年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元……设该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司生产此产品将出现亏损． 因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 由题意知数列{an}为递减数列，令an<0，即220－20n<0，解得n>11，又n∈N*， 即从第12年起，也就是从2033年开始，该公司生产这一产品将出现亏损． 第页 探究2 实际问题中，相同的增加量或减少量问题首先考虑是否为等差数列问题；合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． 第页 思考题2　(1)在通常情况下，从海平面到海拔为10 km的高空，海拔每增加1 km，气温就下降一固定数值．如果海拔为1 km的高空的气温是9 ℃，海拔为5 km的高空的气温是－15 ℃，那么海拔为2 km，4 km和8 km的高空的气温各是多少？ 第页 所以a2＝9－6＝3，a4＝9－6×(4－1)＝－9，a8＝9－6×(8－1)＝－33， 所以海拔为2 km的高空的气温是3 ℃，海拔为4 km的高空的气温是－9 ℃，海拔为8 km的高空的气温是－33 ℃. 第页 (2)将等差数列2，7，12，17，22，…中的数按顺序抄写在本子上，若每行可写12个数，每页共15行，则数2 022应抄在第________页第________行第________个位置上． 3 4 9 【解析】　由题知此数列的通项公式为an＝5n－3，由5n－3＝2 022，得n＝405. 每页共12×15＝180个数，180×2＝360＜405＜180×3. 又405－360＝45＝3×12＋9， ∴2 022应抄在第3页第4行第9个位置上． 第页 题型三　 等差数列的综合应用 例 3　已知两个等差数列{an}：5，8，11，…和{bn}：3，7，11，…都有100项，那么它们有多少共同项？　 【思路分析】　可以求出两个数列的通项公式，令两个通项公式相等，再判断共同项的个数． 第页 12 【解析】　由题意得，两个数列的通项公式分别为an＝3n＋2，bn＝4n－1. 即两数列有25个共同项． 第页 方法二：第一个数列的公差为3，第二个数列的公差为4，则这两个数列的共同项按从小到大的顺序组成的新数列{cn}的公差为3×4＝12. 又∵c1＝11，∴cn＝11＋(n－1)·12＝12n－1. 又∵a100＝302，b100＝399， ∴cn＝12n－1≤302，即n≤25.25.又∵n∈N*， ∴所给两数列有25个共同项． 第页 探究3 在方法一中为什么是an＝bm，而不是an＝bn？这是因为an＝bn的意思是数列{an}和数列{bn}中的序号及数值都分别相等的项，这就歪曲了题意，题目只要求数值相等即可．在方法二中，可以先通过列举的方法，归纳出数列{cn}的首项和公差，要注意{cn}是{an}与{bn}的共同项组成的数列，因此，cn≤b100，cn≤a100，而a100＜b100，因此只要cn≤a100即可． 第页 思考题3　(1)【多选题】有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　) A．构成的新数列是等差数列，公差为10 B．构成的新数列是等差数列，公差为12 C．该数列共有16项 D．该数列共有18项 √ √ 第页 第页 √ 第页 【解析】　设方程x2－2x＋m＝0的两个根分别为x1，x2，方程x2－2x＋n＝0(m≠n)的两个根分别为x3，x4，则由根与系数的关系知x1＋x2＝x3＋x4＝2. 由题设及等差数列的性质得，方程x2－2x＋m＝0的两个根要么排在两端，要么排在中间． 第页 返 回 课后巩固 21 1．设数列{an}是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为(　　) A．1　　　　　 B．2 C．4 D．6 √ 解析　设前三项分别为a－d，a，a＋d， 由a－d＋a＋a＋d＝12知a＝4. 又由(4－d)×4×(4＋d)＝48知d2＝4， ∵{an}为递增数列，∴d＝2. ∴首项为4－2＝2. 第页 √ 第页 解析　设五个人所分得的面包个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中a>2d>0， 则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20. 第页 3．在50到350之间，末位数字是3的自然数的个数为________． 30 解析　在50到350之间，末位数字是3的自然数有53，63，…，343，它们构成以53为首项，343为末项，10为公差的等差数列， 第页 4．一支车队有15辆车，某天下午车队出发执行运输任务，第一辆车于12时出发，以后每间隔12分钟发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在16时停下来休息，则截止到16时，最后一辆车行驶了________小时． 第页 第页 (1)求新数列{an}的通项公式； 第页 (2)28是新数列{an}的项吗？若是，是第几项？ 返 回 【解析】　设从海拔为1 km到海拔为10 km的高空，海拔每增加1 km的气温成等差数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则a1＝9，a5＝－15，设公差为d，则d＝eq \f(a5－a1,5－1)＝eq \f(－15－9,5－1)＝－6，所以an＝9－6(n－1)， 方法一：令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，∴n＝eq \f(4m,3)－1.∵n，m∈N*，且n≤100，m≤100，∴m＝3，6，9，…，75，共25个数． 【解析】　等差数列2，6，10，…，190的公差为4，等差数列2，8，14，…，200的公差为6，所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，其公差为12，首项为2，所以通项为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤eq \f(50,3)，而n∈N*，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16.故选BC. (2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可构成首项为eq \f(1,4)的等差数列，则|m－n|的值是(　　) A.1　　　　　　　　 B.eq \f(3,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,8) 不妨设x1＝eq \f(1,4)，则x2＝eq \f(7,4)，且为第4项．不妨设x3<x4，则x3，x4分别为第2项与第3项． 设这四个数构成的等差数列的公差为d，则eq \f(7,4)＝eq \f(1,4)＋3d，解得d＝eq \f(1,2). 于是第2项与第3项分别为eq \f(3,4)与eq \f(5,4)，所以由根与系数的关系得，m＝x1x2＝eq \f(7,16)，n＝x3x4＝eq \f(15,16)， 故|m－n|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)－\f(15,16)))＝eq \f(1,2). 2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的eq \f(1,7)等于较少的两份之和，则最少的一份有(　　) A.eq \f(5,3)个面包 B.eq \f(10,3)个面包 C.eq \f(5,6)个面包 D.eq \f(11,6)个面包 由eq \f(1,7)(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d， 得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝eq \f(55,6). 所以最少的一份有a－2d＝20－eq \f(110,6)＝eq \f(5,3)个面包． 故选A. ∴由an＝a1＋(n－1)d，可得项数n＝eq \f(an－a1,d)＋1＝eq \f(343－53,10)＋1＝30. eq \f(6,5) 解析　设第n辆车出发时间为an，则a1＝12， d＝a2－a1＝eq \f(12,60)＝eq \f(1,5)， ∴an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(1,5)n＋11eq \f(4,5)， ∴a15＝14eq \f(4,5)，∵16－14eq \f(4,5)＝eq \f(6,5)， ∴最后一辆车行驶了eq \f(6,5)小时． 5．在等差数列－5，－3eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列{an}． 解析　(1)原数列的公差d＝－3eq \f(1,2)－(－5)＝eq \f(3,2)， 所以新数列{an}的公差d′＝eq \f(1,2)d＝eq \f(3,4)，所以新数列{an}的通项公式为an＝－5＋eq \f(3,4)(n－1)＝eq \f(3,4)n－eq \f(23,4). 解析　(2)是．设28是新数列{an}的第n项，则eq \f(3,4)n－eq \f(23,4)＝28，解得n＝45∈N*，所以28是新数列{an}中的项，且是第45项． $