4.2.2　第2课时　等差数列前n项和的应用课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的应用，涵盖实际问题解决、最值求解及裂项相消法，通过课前基础认知的最值条件梳理、微思思考的二次函数图象分析和微训练例题，搭建从公式到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合分期付款、服装销售等实际案例培养数学建模，通过通项分界点、二次函数图象等多种方法提升逻辑推理，裂项相消法例题强化数学运算。采用典例剖析、互动探究和规律总结，助力学生提升核心素养，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第2课时　等差数列前n项和的应用 目 标 素 养 1.运用等差数列的前n项和知识解决一些实际问题,提升数学建模核心素养. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 3.能运用裂项相消法解决一些数列求和问题.提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中, 当a1>0,d>0时,{Sn}是递增数列,S1是{Sn}的最小值; 当a1<0,d<0时,{Sn}是递减数列,S1是{Sn}的最大值. Sn有　最小　值;当d<0时,Sn有　最大　值.当n取最接近抛物线对称轴的自然数时,Sn取到最值.  2.求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,从第一项起到分界点项的各项和为最大(小)值. (2)借助二次函数的图象及性质求最值. 微思考 已知一个数列{an}的前n项和Sn=n2-5n,试作出Sn关于n的函数图象. 请你说明数列{an}的单调性.该数列的前n项和有最值吗? 提示:Sn=n2-5n= ,它的图象是分布在函数y=x2-5x的图象上的离散的点.由函数y=x2-5x的图象的开口方向可知该数列是递增数列,图象开始下降说明数列{an}的前几项为负数.由Sn的图象可知,Sn有最小值,且当n=2或n=3时,Sn最小,最小值为-6,即数列{an}的前2项或前3项和最小. 微训练 若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 　　　　　时,数列{an}的前n项和最大.  答案:8 解析:∵a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0, ∴a8>0,a9<0, ∴当n=8时,数列{an}的前n项和最大. 课堂·重难突破 一 求等差数列前n项和的最值问题 典例剖析 1.已知数列{an}的前n项和Sn=33n-n2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前多少项和最大? 解:(1)(方法一)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n; 当n=1时,a1=S1=33-1=32,满足an=34-2n. 故数列{an}的通项公式为an=34-2n. (方法二)由Sn=-n2+33n,知Sn是关于n的缺常数项的二次函数, 则{an}是等差数列,设等差数列{an}的公差为d, 解得a1=32,d=-2, 故数列{an}的通项公式为an=34-2n. (2)令an≥0,得34-2n≥0,解得n≤17, 故数列{an}的前17项大于或等于零. 由于a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大. 互动探究 1.(变条件)将例题中的条件“Sn=33n-n2”变为“在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9”,求其前n项和Sn的最大值. 解:(方法一)设等差数列{an}的公差为d. (方法二)同方法一,求出公差d=-2. 则an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. (方法三)设等差数列{an}的公差为d. ∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. ∵a1>0,∴d<0.∴a13>0,a14<0.∴当n=13时,Sn有最大值. 由a13+a14=0,得25×2+25d=0,解得d=-2. S13=13×25+ ×13×12×(-2)=169. 2.(变结论)本例中条件不变,令bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:由数列{an}的通项公式an=34-2n知,当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0. 则当n≤17时, Tn=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2. 当n≥18时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544. 规律总结 1.寻求正、负项分界点的方法: (1)寻找正、负项的分界点,可利用等差数列的性质或利用来寻找; (2)利用到y=ax2+bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个正整数的对应项即为正、负项的分界点. 2.求数列{|an|}的前n项和,应先判断{an}的各项的正负,再去掉绝对值号,转化为数列{an}的求和问题. 学以致用 1.在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22. (1)求该数列从第几项开始为负数; (2)求数列{|an|}的前n项和. 解:设等差数列{an}的公差为d, 即从第18项开始为负数. 当n>17时,Sn'=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an), 二 裂项相消法求和 典例剖析 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5=25,S5=55. (1)求数列{an}的通项公式; 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 规律总结 裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,进而求数列的前n项和. 学以致用 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=7,a5与a7的等差中项为13. (1)求an以及Sn; 三 等差数列前n项和的实际应用 典例剖析 3.某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱? 解:设每次交款数额(单位:元)依次为a1,a2,…,a20, 则a1=50+1 000×1%=60, a2=50+(1 000-50)×1%=59.5, …… a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5, 即第10个月应付款55.5元. 因为{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列, 即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元). 规律总结 遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解题要注意以下两点: (1)抓住实际问题的特征,明确数列模型的类型. (2)深入分析题意,确定是求通项公式还是求前n项和,还是求项数. 学以致用 3.7月份,有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件,以后每天售出的该款服装都比前一天多3件,当日销售量达到最大(只有1天)后,每天售出的该款服装都比前一天少2件,且7月31日当天刚好售出3件. (1)问7月几日该款服装销售最多?最多售出几件? (2)按规律,当该市场销售此服装达到200件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于20件时,则不再流行.问该款服装在社会上流行几天? 解:(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*,1≤n≤31),最多售出ak件. 所以7月13日该款服装销售最多,最多售出39件. (2)设Sn是数列{an}的前n项和, 因为S13=273>200, 所以当1≤n≤13时,由Sn>200,得12≤n≤13, 当14≤n≤31时,日销售量连续下降,由an<20,得23≤n≤31, 所以该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日). 随堂训练 1.已知数列{an}的通项公式是an= ,其前n项和Sn=9,则n等于(　　) A.9 B.99 C.10 D.100 答案:B 2.在等差数列{an}中,若a8>0,a4+a10<0,则数列{an}的前n项和Sn中最小的是(　　) A.S4 B.S5 C.S6 D.S7 答案:D 解析:因为{an}是等差数列,所以a4+a10=2a7,由a4+a10<0,知a7<0,由a8>0,可知等差数列{an}的公差d>0,即{an}是递增数列,且前7项均是负数,故数列{an}的前n项和Sn中最小的是S7. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5+5a9=0,且a9>a5,则Sn取得最小值时n的值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:B 4.已知数列{an}的通项公式为an= ,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　.  5.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,如果要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为　　　　　.  答案:10 解析:钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个. 即钢管总数为1+2+3+…+n= . 当n=19时,S19=190;当n=20时,S20=210>200. 故当n=19时,剩余钢管根数最少,为10根. 6.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,a1=12,d=-2. (1)求Sn,并画出Sn(1≤n≤13)的图象; (2)分别求使Sn单调递增、单调递减的n的取值范围,并求Sn的最大(或最小)值; (3)Sn有多少项大于零? 当1≤n≤13时,其图象如图. 故当n=6或n=7时,Sn最大; 当1≤n≤6,n∈N*时,Sn单调递增; 当n≥7,n∈N*时,Sn单调递减. Sn有最大值,最大值S6=S7=42. (3)由图象得Sn中有12项大于零. $