3.1 列代数式表示数量关系 第3课时 反比例关系 学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦反比例关系，引导学生掌握概念、表示方法及判断标准。通过造雪量与天数、圆柱容器底面积与高度等现实情境导入，衔接代数式与正比例知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 以情境化探究培养数学眼光，对比表格与辨析练习发展推理意识，用xy=k模型强化数学语言表达。分层习题覆盖基础与应用，助力学生理解乘积一定核心，提升分析和解决实际问题的能力。

3.1 列代数式表示数量关系 第3课时 反比例关系 学案 一、学习目标 1. 知道反比例关系的概念，能说出反比例关系的定义。 2. 掌握反比例关系的表示方法，能用xy=k表示反比例关系。 3. 会判断两个量是否成反比例关系，能区分正比例关系和反比例关系。 二、知识梳理 1. 反比例关系的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的____一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作____关系。 2. 反比例关系的表达式：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k≠0），反比例关系可以表示为____=k，其中k叫作____。 3. 正比例关系与反比例关系对比： 对比维度 正比例关系 反比例关系 定义 两个量______一定 两个量______一定 表达式 ______=k ______=k 变化方向 一个变大，另一个______ 一个变大，另一个______ 关系特征 商一定 积一定 4. 判断两个量是否成反比例关系的方法：先看变化方向是否____，再看____是否一定，两者缺一不可。 三、课堂探究 探究1：发现反比例关系 某赛场计划造雪260 000 m³。根据每天造雪量，计算所需的造雪天数： （1）每天造雪量5000 m³ → 造雪天数 = ______天 （2）每天造雪量5200 m³ → 造雪天数 = ______天 （3）每天造雪量6500 m³ → 造雪天数 = ______天 （4）观察发现：每天造雪量变____，造雪天数变____；且5000×____ = 5200×____ = 6500×____ = 260000，乘积____。 （5）结论：造雪天数与每天造雪量成____关系。 探究2：正比例与反比例辨析 判断下列关系属于正比例关系还是反比例关系： （1）工作效率一定，工作总量与工作时间：______ （2）路程一定，速度与时间：______ （3）总价一定，单价与数量：______ （4）长方形的宽一定，面积与长：______ 探究3：圆柱容器问题 例5（教材P74）：四个圆柱容器底面积分别为10cm²、20cm²、30cm²、60cm²，分别注入300cm³的水。 例5 圆柱形容器示意图 （1）四个容器中水的高度分别为： S=10cm²时，h = ______ cm S=20cm²时，h = ______ cm S=30cm²时，h = ______ cm S=60cm²时，h = ______ cm （2）用x表示底面积，y表示高度，y与x满足____=300，y与x成____关系。 探究4：判断反比例关系 判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： （1）长方形面积一定，长与宽：____（理由：长×宽 = 面积____） （2）购买两种水果的总费用一定，苹果的费用与香蕉的费用：____（理由：苹果费用+香蕉费用 = 总费用，是____一定而非____一定） （3）运输总吨数一定，每天运输的吨数与运输天数：____（理由：每天运输吨数×天数 = ____，乘积____） 四、巩固练习 1. 如果汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系？为什么？ 2. 一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量是否成反比例关系？为什么？ 3. 长方体的体积一定，长方体的底面积与高是否成反比例关系？为什么？ 4. 购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用是否成反比例关系？为什么？ 5. 某运输公司有一批货物，每天运输的吨数与运输天数如下表： 每天运输吨数：500、250、100、50 运输天数：1、2、5、10 （1）这批货物共有多少吨？ （2）用t表示天数，a表示每天吨数，t与a成什么关系？ 6. 用反比例关系式xy=k表示：当k=24时，如果x=3，则y=______。 7. 下列各组量中，成反比例关系的是（ ） A. 正方形的边长与周长 B. 圆柱的底面积一定，体积与高 C. 路程一定，速度与时间 D. 单价一定，总价与数量 8. 判断正误：两个量的和一定时，它们成反比例关系。（ ） 9. 用式子表示：长方形的面积S一定，长a与宽b成______关系，可表示为______。 10. 在xy=60中，x与y成______比例关系。如果x=12，则y=______。 11. 一项工程的工作总量一定，甲队单独完成需要a天，乙队单独完成需要b天，a与b是否成反比例关系？为什么？ 12. 用字母表示：总价c一定，单价p与数量n成______关系，关系式为______。 五、归纳总结 1. 反比例关系的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定。 2. 反比例关系表达式：xy = k（k≠0，k为比例系数），也可以写成 y = k/x。 3. 正比例是比值一定（y/x = k），反比例是乘积一定（xy = k），两者变化方向相反。 4. 判断反比例关系的方法：先看变化方向是否相反，再看乘积是否一定，两者缺一不可。特别要注意"和一定"不是反比例关系。 ⚠ 易错提示：易错提醒： 1. "乘积一定"是反比例关系的核心特征，不是"和一定"也不是"差一定"。 2. 正比例：y/x=k（比值一定），变化方向相同。 3. 反比例：xy=k（乘积一定），变化方向相反。 4. 判断时不能只看变化方向相反，还要验算乘积是否相等。 参考答案 二、知识梳理 1. 乘积；反比例 2. xy；比例系数 3. 比值；乘积；y/x；xy；也变大；变小 4. 相反；乘积 三、课堂探究 探究1：（1）52（2）50（3）40（4）大；小；52；50；40；一定（5）反比例 探究2：（1）正比例关系（2）反比例关系（3）反比例关系（4）正比例关系 探究3：（1）30；15；10；5（2）xy；反比例 探究4：（1）成反比例关系；一定（2）不成反比例关系；和；积（3）成反比例关系；总吨数；一定 四、巩固练习 1. 成反比例关系。解析：路程=速度×时间，路程一定时，速度×时间=路程（定值）。 2. 成反比例关系。解析：总质量=每箱质量×装箱数，总质量一定时乘积一定。 3. 成反比例关系。解析：体积=底面积×高，体积一定时乘积一定。 4. 不成反比例关系。解析：荧光笔费用+中性笔费用=总费用，是和一定而非积一定。 5. （1）500吨（2）at=500，t与a成反比例关系。 6. y=8。解析：由xy=24，代入x=3得3y=24，y=8。 7. C。解析：路程=速度×时间，乘积一定时成反比例。A中边长与周长比值一定（正比例），B中体积÷高=底面积（正比例），D中总价÷数量=单价（正比例）。 8. ×。解析：反比例要求乘积一定，不是和一定。 9. 反比例；ab=S。解析：长×宽=面积，面积一定时乘积一定。 10. 反；5。解析：xy=60是反比例关系，x=12时y=60÷12=5。 11. 不成反比例关系。解析：a和b分别是两队单独完成的天数，它们之间没有乘积一定的关系，总工作量不一定等于a×b。 12. 反比例；pn=c。解析：单价×数量=总价，总价一定时乘积一定。 学科网（北京）股份有限公司 $