2.2一元二次方程的解法第4课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法及解法选择，通过回顾公式法和根的判别式，结合“ab=0”结论辨析与小球运动问题情境，对比不同解法引出新知，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以现实问题和错误辨析培养数学思维，通过方法对比表和典例分析发展推理意识与模型意识。学生能掌握解题策略，教师可利用结构化资源提升教学效率，落实核心素养。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第4课时 学 习 目 标 1.理解用因式分解法解方程的依据； 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程；(重点) 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. (难点) 知识回顾 1.一元二次方程的求根公式： 当b2-4ac ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，的根是 . 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 2.一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式是 ，通常用希腊字母“ ”来表示. 3.一元二次方程的根与根的判别式b2－4ac的关系： 当b2 - 4ac ＞0时，方程有 的实数根； 当b2 - 4ac = 0 时，方程有 的实数根； 当b2 - 4ac < 0 时，方程 实数根. b2－4ac Δ 两个不相等 两个相等 没有 情境引入 思考：你能根据上边的正确结论直接说出一元二次方程(x-2)(x+3)=0的解吗？ 问题：若ab=0，可以得到下面两个结论吗？ (1)a和b都为0，即a=0，且b=0. (2)a和b至少有一个为0，即a=0，或b=0. × √ 新知探究 探究一：因式分解法解一元二次方程 一个小球从地面以 15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位:m)与运动的时间t(单位:s)满足关系:h=15t-5t2。小球从弹出到落回地面，经过了几秒? 设小球经过t s落回地面，此时h=0，于是可得方程15t-5t2=0. 你会解这个方程吗？ 新知探究 小颖、小明、小亮都求出了方程15t-5t2=0的解，但他们的解法各不相同。 由方程15t-5t2=0 , 得5t2 - 15t = 0. 因此, 所以t1 = 0, t2 = 3. 小颖 小明 由方程15t-5t2=0, 得5t2 =15t. 两边都约去5t， 得t= 3. 新知探究 由方程15t-5t2=0 , 得5t2 - 15t = 0. 即5t(t-3)=0, 于是t = 0，或t -3= 0. 所以t1 = 0, t2 = 3. 小亮 分析上面的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗?与同伴进行交流。 小颖的结果是正确的，她运用了公式法解方程。 小明的结果是错误的，因为他进行的方程变形不是同解变形，结果丢掉一根。这里5t可能为0，所以这种变形是错误的。 小亮的结果也是正确的，他运用了本节课所学的因式分解法。 新知探究 因式分解法： 知识归纳 当一元二次方程的一边为0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时,可用解两个一元一次方程的方法求得一元二次方程的解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 用因式分解法解一元二次方程的依据： 如果两个因式乘积为0，那么这两个因式至少有一个为0， 即如果a·b＝0，那么a＝0或b=0. 体现了转化思想. 新知探究 例 解下列方程：（1）5x2 = 4x ; （2）x – 2 = x (x - 2). 解：5x2 - 4x = 0, x (5x - 4) = 0. ∴x = 0 或 5x – 4 =0. ∴ x1 = 0 , x2=. 解：(x - 2) – x (x - 2) = 0, (x - 2) (1 - x) = 0. ∴x – 2 = 0 或 1 – x = 0. ∴ x1 = 2 , x2=1. 原来的一元二次方程化成了两个一元一次方程. 新知探究 知识归纳 1.移项：将方程的右边化为0; 2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; 3.转化：令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程; 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 因式分解法解一元二次方程的步骤： 新知探究 1.一元二次方程x(x－3)＋3－x＝0的根是( ) A．1 B．3 C．1和3 D．1和2 C 新知探究 探究二：选用适当的方法解一元二次方程 解： (x+2)(x-2)=0, ∴ x+2=0 或 x-2=0. ∴ x1=-2， x2=2. (2)[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴ x+6=0 或 x-4=0. ∴ x1=-6，x2=4. 还可以用直接开平方法. ①x2-4=0; ② (x+1)2-25=0. (1)解方程： 新知探究 ③x2+2x-3=0; ④x2+6x-8=0. (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程？ ③这里a=1，b=2，c=-3. ∵b2-4ac =22-4×1×(-3)=16＞0， ∴x=， 即-3， ④这里a=1，b=6，c=-8. ∵b2-4ac =62-4×1×(-8)=68＞0， ∴x=， 即-3， 还可以用配方法. 解(1)中的方程的方法依次为因式分解法、因式分解法、公式法、公式法。(与(1)中所用方法对应即可) 新知探究 知识归纳 选择适当的方法解一元二次方程: 方法 理论依据 适用范围 关键步骤 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 所有一元二次方程 (x+m)2＝n（n ≥ 0） 一边是0,另一边是易于分解成两个一次因式的乘积的方程 所有一元二次方程 平方根的意义 完全平方公式 配方 如果两个因式乘积为0，那么这两个因式至少有一个为0 开平方 配方 代入求根公式 分解因式 新知探究 2.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( ) A．(x－2)(x＋5)＝2 B．(x－2)2＝ x 2－4 C． x 2＋5 x －2＝0 D．12(2－ x)2＝3 B 新知探究 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？ 它们的共性是将一元二次方程“降次”逐步将方程变形为x=a的形式。 各自特点:直接开平方法适用于(mx+n)2=p(p≥0)的形式的方程； 配方法适用于一般形式下一侧易配成完全平方式的一元二次方程； 公式法适用于所有的一元二次方程； 因式分解法适用于能整理成右边为0,左边能分解成两个一次因式的乘积的方程。 典例分析 用因式分解法解方程：(3x+1)(2x-5)=-2(2x-5). 例1 解：移项，得 (3x+1)(2x-5)+2(2x-5)=0， 提公因式，得(2x-5)(3x+1+2)=0， 则2x-5=0或3x+1+2=0， 解得， 典例分析 分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 解：整理，得（x-1）2＝ 9. 开平方，得x-1 ＝ ±3， 即x-1 ＝ 3 或x-1 ＝ -3， ∴ x1＝4，x2＝-2. 用适当的方法解下列方程： 例2 （1）2（x-1）2-18 ＝ 0 ； （2）x2+4x-1 ＝ 0 ； 分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法. 解：原方程变形为x2+4x＝ 1. 配方，得x2+4x+22＝ 1+22， 即（x+2）2＝5. 可得x+2 ＝ ± ， ∴ x1＝ -2+ ，x2＝-2- . 典例分析 （3）9（x+1）2＝（2x-5）2 ； 分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法. 解：整理，得 [3(x+1)]2-(2x-5)2＝ 0. 因式分解，得 [3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x-5)]＝ 0. 可得3(x+1)+(2x-5)＝0或3(x+1)-(2x-5)＝0, 即5x-2 ＝0 或x+8 ＝0， ∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8. 解：∵ a ＝ 4，b ＝ -12，c ＝ -1， ∴ Δ＝ b2-4ac＝（-12）2-4×4×（-1）＝ 144+36 ＝160>0， ∴x=， 即， （4）4x2-12x-1 ＝ 0. 分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法. 巩固练习 1.方程3x(2x+1)=2(2x+1)的两个根为（ ） A.， B. ， C. ， D.， D 2.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是（ ） A.配方法 B.公式法 C.因式分解法 D.以上都不合适 C 3.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，其中x1＜x2，则x12-2x22的值为（ ） A.-4 B.-8 C.8 D.4 B 巩固练习 4.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根,则此三角形的周长是（ ） A.16 B.12 C.14 D.12或16 A 5.下列命题:①方程kx2-x-2=0是一元二次方程;②方程x=1与方程x2=1是同解方程;③方程x2=x与方程x=1是同解方程;④由(x+1)(x-1)=3 可得x+1=3,或x-1=3.其中正确的命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A 6.若x2-2px+3q=0的两根分别是-3与5，则多项式2x2-4px+6q可以分解为 ( ) A.(x+3)(x-5) B.(x-3)(x+5) C.2(x+3)(x-5) D.2(x-3)(x+5) C 巩固练习 7.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为 . 8.一元二次方程x(x-2)=x-2的根是 . x1=2，x2=1 16 9.已知公式:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)可用来进行因式分解，其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，试分解因式:2x2-x-1= . (2x+1)(x-1) 巩固练习 10.用因式分解法解下列方程: (1)3x2-6x=-3; (2)4x2-121=0; 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )2= 0. 所以x1=x2=1. 解：化为一般式为 (2)因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， ∴x1=，x2. 巩固练习 解：把方程的左边进行因式分解，得 从而 或 ， 所以 ， 巩固练习 11.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0， (x－7)(x－10)＝0 得 x1＝7，x2＝10. 当x＝10时，3＋7＝10， ∴x2＝10不合题意，舍去． ∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 课堂小结 一元二次方程的解法-第4课时 因式分解法 当一元二次方程的一边为0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时,可用解两个一元一次方程的方法求得一元二次方程的解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 步骤 依据 若a·b＝0，则a＝0或b=0. 移项、化积、转化、求解. 作业布置 1.必做题：习题2.2第3题。 2.探究性作业：习题2.2第4题。 感谢聆听! $