四川省成都市郫都区第一中学2025-2026学年高一上学期期末检测数学试卷

**基本信息** 该试卷覆盖高一上期集合、函数、三角函数、不等式等核心内容，通过港口水深、“囧函数”等情境设计，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力，兼具基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数图像判断、三角函数模型|第5题港口水深结合三角函数，体现数学建模；第8题“囧函数”创新情境，考查函数性质| |多选题|3/18|基本不等式、三角恒等变换|第9题正实数条件下不等式应用，考查运算能力与推理意识| |填空题|3/15|方程根分布、最值问题|第12题方程根的充要条件，考查逻辑推理；第14题开放型函数设计，培养创新意识| |解答题|5/77|二次函数、函数奇偶性、含参不等式|第18题函数奇偶性证明与单调性应用，考查逻辑推理；第19题含参不等式求解，体现分类讨论思想|

2025-2026学年度郫都一中高2025级高一上期期末检测 数学学科试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是     ． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，当时，方程的根的个数是(    ) A. B. C. D. 5.受潮汐影响，某港口一天的水深单位：与时间单位：时的部分记录如表． 时间 水深 若该天与的关系可近似用函数来表示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 时的水深为 D. 一天中水深低于的时间为小时 6.已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于(    ) A. B. C. D. 7.设，，，则三者大小关系为(    ) A. B. C. D. 8.形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为(    ) 函数的定义域为； ； 函数的图象关于直线对称； 当时，； 函数有四个零点． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正实数，满足，则下列是真命题的为(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10.已知，，其中，为锐角，下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 11.设函数的定义域为，满足，当时，，则下列结论正确的是(    ) A. B. 在上为减函数 C. 为奇函数 D. 方程有且仅有个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.方程有两个不相等的负实数根的充要条件是          ． 13.设，，则的最小值为          ． 14.已知函数满足：函数在上单调递减写出一个同时具有以上性质的函数：          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 已知二次函数满足． 求函数的解析式； 若，，求的最小值． 16.本小题分 已知 化简 若是第三象限角，且，求的值． 17.本小题分 设集合，集合． 若，求和 设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立． 求 证明：为奇函数 若，求实数的取值范围． 19.本小题分 已知函数． 若不等式的解集为，求的取值范围； 解关于的不等式； 若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 2025-2026学年度郫都一中高2025级高一上期期末检测数学学科试卷答案 1.【答案】  【解析】解：集合，， 则． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 根据各选项的条件取特殊值，即可判断，由不等式的基本性质，即可判断． 本题考查了不等式的基本性质，属基础题． 【解答】 解：当时，取，则不成立，故A错误； B.当时，取，，则不成立，故B错误； C.当时，由不等式的基本性质知，故C正确； D.当时，取，，则不成立，故D错误． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性，函数图象的作法，属于基础题． 先由函数是奇函数，排除，，再由的函数值排除可得． 【解答】 解：设函数，其定义域为， ， 是奇函数，排除，， 再由时，，排除，可得选项A符合题意． 故选A． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数零点、方程的根的个数，属于中档题． 根据题意画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果． 【解答】 解：设，则，即， 故， 因为，故，画出的大致图象， 由图象可知和与分别有个公共点， 故原方程共有个根． 故选：． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由部分图象求三角函数解析式、向量的数量积的概念及其运算、正弦型函数的图象变换，属于中档题． 由部分图像求的解析式，利用向量的数量积的概念及其运算求的大小，进而求出函数的周期，根据即可求出的值． 【解答】 解：因为函数图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象， 所以， 因为， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 过点作轴，垂足为， 则，所以， 所以周期． 所以，所以， 故答案选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了三个数比较大小，是基础题． 利用指数函数和对数函数的性质．分别判断出、、与和的大小关系，进而进行大小比较． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， ， 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的图象、函数的性质等，难点是对于的判断，解题时应结合函数的图象进行判断，因此画出对应函数的图象是解决本题的关键． 求出函数的定义域可判断，代值计算可判断，根据函数的奇偶性以及取特殊值可判断，结合函数的图像可判断． 【解答】 解：由可得，故函数的定义域为，故错误； ，故正确； 因为函数为偶函数，所以其图象关于轴对称， 且，故错误； 作出和的图象如图所示， 由图可知当时，，故正确； 和的图象有个交点， 所以函数有四个零点，故正确； 故选B． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 利用基本不等式，逐项分析求解即可． 【解答】 解：，当且仅当时取等，A正确 因为，所以，当且仅当时取等，B正确 结合选项，，当且仅当，C错误 因为，所以，当且仅当时取等，D错误． 故选：． 10.【答案】  【解析】由题意， 易得，， 所以，故A正确； ， 所以 ，故B错误； ，故C正确； ， 所以，故D错误． 11.【答案】  【解析】解：由题意，为上的奇函数，且， 令，所以， 即得，所以， 又为偶函数， 令，所以，所以， 由，得， 令，即得， 所以， 所以， 所以函数的周期， 又当时，， 下面对各选项进行分析： 对，由上易得，故A正确； 对，因为，所以为偶函数，而时，， 此时在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对，因为，所以为奇函数，故C正确； 对，由上分析，可作出函数和的图像，如下图所示： 因为方程的实数解个数等价于函数和的图像交点个数， 易知方程仅有个实数解，故D正确． 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程根的分布，属于基础题． 设方程的两根为，，且，可得解不等式可得． 【解答】 解：因为方程有两个不相等的负实数根， 设方程的两根为，，且，所以只需 即解得， 所以方程有两个不相等的负实数根的充要条件是． 故答案为． 13.【答案】  【解析】由，，得， 当且仅当，即时取等号． 14.【答案】答案不唯一  【解析】对于，若，则的图象关于点对称． 对于，若，则的图象关于直线对称． 设， 令，所以， 又的图象关于直线对称， 且函数在上单调递减， 所以，， 解得，． 所以可令，经检验，符合题意． 15.【答案】解：设， 因为二次函数满足， 所以， 即， 所以， 解得， 所以； 由可知， 所以，， 当时，在上单调递增， 所以， 当时，， 当时，在上单调递减， 所以， 综上．  【解析】本题主要考查具体函数的解析式，利用函数的单调性求最值，一元二次函数的图象与性质，属于基础题． 设，根据条件建立方程组，即可求解； 由可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解． 16.【答案】解： ； 是第三象限角，且， ， ， ．  【解析】本题考查了三角函数的诱导公式与同角三角函数的基本关系． 利用三角函数的诱导公式化简即可； 根据诱导公式，利用同角的三角函数关系计算即可． 17.【答案】解：． 因为，所以， 所以，． 因为是成立的必要不充分条件，所以， 当时，，得 当时， 解得， 当时，，满足，所以， 综上可得，实数的取值范围是，即．   【解析】本题考查必要不充分条件的应用，集合的并集运算和交集运算，属于基础题． 利用集合的并集运算和交集运算即可求解； 将必要不充分条件转化为含参数的集合关系问题，分类讨论即可求解． 18.【答案】解：令，可得， 因为当时，恒成立，则， 令，，可得， 即，则， 的定义域为， 令，则可得， 即，则可得， 令，可得， 即， 由可知，， 把代入可得，， 即，即，所以为奇函数 因为当时，， 由知为奇函数，所以当时，， 因为，所以，， ，，且， ， 因为当时，恒成立，所以， 因此函数在为减函数， 由知，所以， 即为，，解得．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：当，即时，，解集不为，不合题意； 当，即时，的解集为， ，即， 故时，． 综上，的取值范围为； 由，得， 当，即时，解集为； 当，即时，， 即的解集为； 当，即时，， ，解集为． 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． ，即， 恒成立，， 设，则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，，， 的取值范围为．  【解析】本题考查二次函数的解法，基本不等式，二次函数判别式，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题． 通过分类讨论的值即可解出不等式； 通过分类讨论的范围即可解出不等式； 利用分参法，设 ，即可求出的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $