6 函数的单调性和最大（小）值-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(人教A版)

高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① 9 ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 求函数的最值 易 0.80 求绝对值函数的单 2 选择题 易 0.72 调区间 由函数的单调性比 选择题 5 中 0.70 较大小 4 选择题 5 由函数单调性求参 中 0.55 函数最值的实际 5 选择题 5 中 0.50 应用 由单调性和对称性 6 选择题 5 中 0.45 解不等式 7 选择题 6 判断函数的单调性 易 0.80 复合函数的单调性 选择题 6 V 中 0.45 与最值 与单调性有关的开 9 填空题 易 放题 0.72 与函数单调性有关 10 填空题 5 中 0.35 的新定义问题 定义法证明函数的 11 解答题 13 单调性，求最值及由 中 0.65 不等式有解求参 由二次函数的单调 12 解答题 15 0.55 性及最值求参 分 抽象函数性质的 13 解答题 20 难 0.25 综合 叁考答案及解析 一、选择题 (x∈[0,3])在[0,3]上单调递减，则f(x)mim= 1.A【解析】因为y=有在[03]上单调递减，y f3)=子-3=故选A -x在[0,3]上单调递减，则f(x)=市 x 2.C【解析】当x≥-1时，g(x)=x(x十1)十1=x2 ·21· ·数学（人教A版）必修第一册· 参考答案及解析 +x十1，则g(x)在[-1，-号]上单调递减，在 增，故在（一∞，0）上不单调，不符合题意；对于D,一 次函数y=2x一1为R上的增函数，故不符合题意， (-之，十∞)上单调递增：当x<-1时，g(x) 故选AB. 8.BCD 【解析】对于A,B,令t=x2-x十1，则t∈ -x(x十1)+1=-x2-x+1,则g(x)在(-o∞，-1] [3 1x2十x十1，x≥一1 上单调递增，所以g(x)= -x2-x十1，x<-1 的单 [,+∞)，则什≥2V=2,当且仅当 t 调递增区间为(-9，-1门，[-，十)，故选心 7,即t=1时等号成立，所以y= √+1 3.B【解析】因为f(2+x)=f(-x),所以函数y= P+2t+1 ∈(1wE], t+1 +1h+2 /1+2 f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(2)= f(0),又函数f(x)在（一∞，1]上单调递减，因为1 A错误，B正确；对于C,又x∈(1，十oo)时，t=x2 >0>-1,所以f(1)<f(0)<f(-1),即f(1)< f(2)<f(-1).故选B. 十1单调递增，且>1，函数y=什，工在 4.A【解析】由题意可得， V++ 1-a0 (1,十∞)上单调递减，所以f(x)在(1，十∞)上单 4一0≤-1 2 解得号 调递减，C正确；对于D,因为f(1一x)= (1-x)2-(1-x)+2 ≤(-1)+(4-a)×(-1)+2a-1 /[(1-x)-(1-x)+1+1 x2-x十2 <a<2,所以实数a的取值范围为[号，2小故选A. (2一x干1)2=f(x),所以函数f(x)的图象 5.B【解析】当20≤x≤200时，设=kx十b,则 关于直线x=号对称，D正确，故选BCD 10=200k+6解得k- 60=20k+b 3b= ,于是0 200 三、填空题 /60,0≤x<20 9.0(答案不唯一，填一1,0,1中的任意一个即可)【解 子十2,20<≤20设车流量为g,则车流量 。解得一2 析】f(x)=(x一a)+4-a,故4,0解 3 60x,0≤x<20 <a≤1，又a∈Z,所以a的取值可以为-1,0,1中的 g=vx= 31,20≤x≤200'当0≤r<20 3x2+2 1 任意一个， 10.2【解析】易知函数g(x)的定义域为（一∞，0）U 时，9=60x∈[0,1200)；当20≤x≤200时，q (0,十∞)，所以[m,n]二(-∞，0)或[，n] + 3 x=-号x-10)r+10900<1090。 (0,+∞).由题意可知函数g(x)=(a+3a)x-3 3 3 当且仅当x=100时取等号，所以当x=100时，车流 量最大，最大值约为3333辆.故选B. =店3-子在[m,上单调递增，所以可得 6.C【解析】因为f(3-x)=f(3十x),所以函数f(x) 的图象关于直线x=3对称，又对任意的x1,x2∈ (0）,故m是方程3-是=博a g(n)=n [3,+0)(西1≠)，都有)f)>0,所以 一(a2十3a)x十3=0的两个同号的相异的实数根， x2-x1 则△=(a+3a)2-4×3a>0,解得a>-3十2√3 f(x)在[3，十∞)上单调递增，若f(m-1)<f(2),则 或a<-3-2,m十n=a+3a=1十 m-1-3<2-3,解得3<<5，即m的取值范 a,mn=3 2, 围是(3,5).故选C. 则n-m=√(m+n)2一4mn= 二、选择题 7.AB【解析】对于A,反比例函数y=2在（一0,0） V1+名)-4×是=√3（日-）'+4，所以 当a=1时，n一m的最大值为2. 上单调递减，符合题意；对于B,函数y=|x| 四、解答题 x,x≥0，的图象关于y轴对称，且在(-0,0)上单 11.解：(1)任取x1,x2∈(-1，十o∞)，且x1>x2>-1, -x,x<0 调递减，符合题意：对于C,二次函数y=x2十x十1的 则f()-f()=2十1-2+ x1十1x2十1 图象开口向上，对称轴为x二一乞，其在 =（2x1+1)(x2十1)-(2x2+1)(x1十1) (x1十1)(x2十1) (-∞，-分)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递 x1一x2 (x1十1)(x2+1) (2分) ·22· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第一册· 因为x1>x2>-1, 令x1=x2=0,可得f(0)=2f(0)-1, 则x1十1>0，x2十1>0，x1-x2>0, 可得f(0)=1, (2分) 则f(x1)-f(x2)>0, 令x1=x2=1,可得f(2)=2f(1)-1=-1. 即f(x)>f(x2), (4分) 则f(x)在区间(-1，十∞)上单调递增 (4分) (2)函数f(x)在R上单调递减， (2)由(1)可知f(x)在区间[1,5]上单调递增， 证明如下： 则fx)的最小值为f1)=多，最大值为f5) 设x>0,则x+1>1, 又f(1)=0, (8分) 所以f(x+1)=f(x)十f(1)-1=f(x)-1<0, 可得f(x)<1, (6分) (3)由(2)可知，当x∈[1,5]时，f(x)=f(1) 所以当x>0时，f(x)<1, (7分) 任取x1,x2∈R且x1>x2, 则x1-x2>0,f(x1-x2)<1, 所以若存在x∈[1,5]，使得k2- >fx)成立， 则f(x)-f(x) 则->f)m= =f[(x1-x)十x2]-f(x2) =f(x-x2)十f(x2)-1-f(x2) 即k>2, =f(x1-x2)-1<0, 解得<一√2或k>√2， 即f(x1)<f(x2), 所以k的取值范围为（一∞，一√2）U(W2,十∞). 因此，函数∫(x)在R上单调递减 (10分) (3)由(2)可知，函数∫(x)在R上为单调递减函数， (13分) 12.解：(1)f(x)=-x2+2a.x十a2+1=-(x-a)2十 令x1=1,x2=-1, 2a2十1，其图象的对称轴为直线x=a. 可得f(0)=f(1)十f(-1)-1, (2分) 所以f(-1)=2, (11分) 若f(x)在区间[-1,1]上为减函数， 则a≤-1， 因为f(x2+x-1)=f(x2十x)+f(-1)-1= (4分) f(x2+x)十1， 若f(x)在区间[-1,1]上为增函数， 令t=f(x2+x), 则a≥1， (6分) 由[f(x2+x)]2-f(x2+x-1)-1<0, 所以a的取值范围为(-∞，一1]U[1,十o∞). (7分) 得[f(x2+x)]-[f(x2+x)+1]-1<0, (2)①若a≥1，此时函数f(x)在区间[-1,1]上单 即'-t-2<0, 调递增， 解得-1<t<2, 所以最大值为f(1)=-1十2a十a2十1=3， 可得-1<f(x2+x)<2, (15分) 解得a=1或a=-3(舍去)； (9分) 因为f(2)=-1,f(-1)=2, ②若-1<a<1, 所以不等式-1<f(x2十x)<2等价于f(2) 此时当x=a时，函数f(x)取得最大值为f(a)= f(x2+x)<f(-1), (17分) 因为函数f(x)在R上单调递减， 2a2十1=3， 解得a=士1（均舍去）： (11分) 则-1<x2十x<2, ③若a≤-1，此时函数f(x)在区间[-1,1]上单 对于不等式+>-1，即r十x十1=（十名）》 调递减， 所以最大值为f(-1)=-1-2a十a+1=3, 十子>0，显然成立， 解得a=-1或a=3(舍去). (13分) 对于不等式x2十x<2,即x2十x-2<0, 综上所述，a=1或-1. (15分) 解得一2<x<1, 13.解：(1)因为函数f(x)满足对一切实数x1,x2都有 因此，原不等式的解集为（一2,1）. f(x1十)=f()十f(x2)-1成立， ·23·高一同步周测卷/数学必修第一册 (六)函数的单调性与最大（小）值 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)= x千一x(x∈[0,3])，则函数f(x)的最小值为 1 A. B.-1 C.1 D.2 2.函数g(x)=xx十1+1的单调递增区间为 A.(-∞，-1] B[-+ C.(-∞，-1[-2+） D.(-∞，-1U[-2,+∞) 3.已知函数y=f(x)满足f(2+x)=f(一x),且f(x)在（一∞，1]上单调递减，则 A.f(-1)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(-1) C.f(2)<f(-1)<f(1) D.f(1)<f(-1)<f(2) 1- ,x<-1 4.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则实数a的取值 x2+(4-a)x+2a-1,x≥-1 范围为 A[2] ] C.(1,2] D(2] 5.数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去 解决实际问题.小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通 行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这 样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度x(单 位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速 度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明，当x ∈[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数.问：当车流密度多大时，车流量 (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，车流量=车流速度×车流密度，单位： 辆/小时)可以达到最大？ A.60 B.100 C.140 D.180 数学（人教A版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3一x)=f(3十x),且对任意的x1,x2∈ [3,十oo)(≠，)，都有f）f)>0,若f(m-1)<f(2),则m的取值范围是 C2—x1 A.(-∞，3) B.(3,十∞) C.(3,5) D.(-∞，3)U(5,十o∞) 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列函数中，在区间（一，0）上单调递减的是 A.y=2 B.y=x C.y=x2+x+1 D.y=2x-1 8.已知函数f(x)= x2-x+2 ，则下列结论正确的是 √(x2-x+1)2+1 A.f(x)的最小值为1 B.f(x)的最大值为√2 C.f(x)在(1，+∞)上单调递减 D.f(x)的图象是轴对称图形 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知二次函数f(x)=x2一2ax+4(a∈Z)满足：①定义域为R,②最小值为正数，③在 区间(1，十∞)上单调递增，则a的一个可能取值为 10.对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]二D,同时满足：①f(x)在 [m,n]内是单调函数；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n] 是该函数的“优美区间”.若函数g(r)=a+3a)r一3(a∈R,a≠0)有“优美区间” ax [m,n],当a变化时，则n一m的最大值为 高一同步周测卷六 数学（人教A版）必修第一册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分)》 已知函数f(c)=2x十1 x十1· (1)用定义法判断f(x)在区间（一1，十∞）上的单调性； (2)求出该函数在区间[1,5]上的最大值和最小值； (3)若存在x∈[1,5]，使得->f(x)成立，求的取值范围. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=-x2+2a.x+a2十1，a∈R. (1)若f(x)在区间[一1,1]上为单调函数，求a的取值范围； (2)若f(x)在区间[一1,1]上的最大值为3，求a的值. 数学（人教A版）必修第一册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)满足对一切实数x1,x2都有f(x1十x2)=f(x1)十f(x2)一1成立，且 f(1)=0,当x>1时，有f(x)<0. (1)求f(0),f(2); (2)判断并证明f(x)在R上的单调性； (3)解不等式[f(x2+x)]-f(x2+x-1)-1<0. 一同步周测卷六 数学（人教A版）必修第一册第4页（共4页）