2.2 第2课时　充分、必要、充要条件的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦充分、必要、充要条件的应用，通过典型例题导入，以集合观点为支架，连接集合包含关系与条件判断，帮助学生梳理从集合知识到条件应用的脉络。 其亮点在于用集合思想贯穿题型（如参数范围转化为集合包含），通过通性通法总结逻辑推理方法，结合母题探究与跟踪训练，培养学生数学眼光（抽象集合与条件关系）和数学思维（严谨推理）。学生能提升抽象能力与推理意识，教师可借助系统题型与方法提高教学效率。

第2课时　充分、必要、充要条件的应用 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 用集合观点理解充分、必要与充要条件 【例1】　（链接教科书第35页习题6题）（1）设 p ：“－2≤ x ≤2”， q ：“ x ≤2或 x ＞3”，则 p 是 q 的（　A　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析：设 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤2}， B ＝{ x ｜ x ≤2或 x ＞3}.因为 A ⫋ B ， 所以 p 是 q 的充分不必要条件.故选A. A 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）设 x ∈R，则“－1＜ x ＜3”是“1＜ x ＜2”的（　B　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析：设 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜1＜ x ＜2}，因为 A ⫌ B . 所以“－1＜ x ＜3”是“1＜ x ＜2”的必要不充分条 件.故选B. B 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　利用集合间的包含关系判断充分、必要与充要条件的方法 　　对于集合 A ＝{ x ｜ x 满足条件 p }， B ＝{ x ｜ x 满足条件 q }： （1）若 A ⊆ B ，则 p 是 q 的充分条件； （2）若 A ⊇ B ，则 p 是 q 的必要条件； （3）若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条件； （4）若 A ⫋ B ，则 p 是 q 的充分不必要条件； （5）若 A ⫌ B ，则 p 是 q 的必要不充分条件. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1.. (2026春·泰安期末）已知：，：，则是的（　　） 解析：因为解得， 又， 故是的充分不必要条件. 故选：A． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. “ x ≤2”是“1＜ x ＜2”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析：　设 A ＝{ x ｜ x ≤2}， B ＝{ x ｜1＜ x ＜2}， A ⫌ B . 故“ x ≤2”是“1＜ x ＜2”的必要不充分条件.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 充分条件与必要条件的应用 【例2】　已知 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0），若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围. 解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）. 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 即{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m }⫋{ x ｜－2≤ x ≤10}， 故有或 解得 m ≤3. 又 m ＞0，所以实数 m 的取值范围为{ m ｜0＜ m ≤3}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 1. （变条件）将本例中“ p 是 q 的必要不充分条件”改为“ p 是 q 的充 分不必要条件”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围. 解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）. 因为 p 是 q 的充分不必要条件， 设 p 表示的集合为 A ， q 表示的集合为 B ， 所以 A ⫋ B . 所以或 解得 m ≥9， 即实数 m 的取值范围为{ m ｜ m ≥9}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （变设问）本例中 p ， q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条 件？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 解：因为 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）. 若 p 是 q 的充要条件，则方程组无解. 故不存在实数 m ，使得 p 是 q 的充要条件. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　利用充分条件与必要条件的关系求参数范围的方法 　　利用充分条件、必要条件的关系求参数，主要是依据集合间的包 含关系与充分条件和必要条件的联系，将问题转化为集合之间的关 系，建立关于参数的不等式（组）求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. （2025·高一上·成都期中）若不等式|x| < a的一个充分条件为-3 < x < 0，则实数a的取值范围是 __________. 解析：由题意知：a > 0， 由不等式|x| < a，可得-a < x < a， 因为不等式|x| < a的一个充分条件为-3 < x < 0，所以-a ≤ -3，解得a ≥ 3，则实数a的取值范围是[3, +∞) [3, +∞) 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 设集合 A ＝{ x ｜2 a ＋1≤ x ≤3 a －5}， B ＝{ x ｜3≤ x ≤22}，则 A ⊆ B 的充要条件为 ；写出一个充分不必要条件可为 ⁠ ⁠. 解析：若 A ＝⌀，则2 a ＋1＞3 a －5，解得 a ＜6；若 A ≠⌀，则 A ⊆ B ⇔⇔6≤ a ≤9.综上可知， A ⊆ B 的充要条件为 a ≤9；一个充分不必要条件可为8≤ a ≤9. a ≤9　 8≤ a ≤9 （答案不唯一）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 充要条件的证明 【例3】　（链接教科书第35页习题4题）求证：方程 x2－2 x －3 m ＝0 有两个同号且不相等实根的充要条件是－ ＜ m ＜0. 证明：（1）充分性：∵－ ＜ m ＜0， ∴方程 x2－2 x －3 m ＝0的判别式Δ＝4＋12 m ＞0， ∴ x2－2 x －3 m ＝0有两个不相等的实数根，分别设为 x1， x2. 则 x1 x2＝－3 m ＞0， ∴方程 x2－2 x －3 m ＝0有两个同号且不相等的实根. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）必要性：若方程 x2－2 x －3 m ＝0有两个同号且不相等的实根， 设两实根为 x1， x2，则有解得－ ＜ m ＜0. 综合（1）（2）知，方程 x2－2 x －3 m ＝0有两个同号且不相等实根的 充要条件是－ ＜ m ＜0. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 充要条件的证明策略 （1）要证明 p 是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向 进行，即证明两个命题“若 p ，则 q ”为真且“若 q ，则 p ” 为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的 解集是相同的. 提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 求证：△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc . （这里 a ， b ， c 是△ ABC 的三边边长） 证明：必要性：因为△ ABC 是等边三角形，所以 a ＝ b ＝ c ， 所以 ab ＋ ac ＋ bc ＝ a2＋ b2＋ c2，所以必要性成立； 充分性：由 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc 两边同时乘2得，2 a2＋2 b2＋2 c2 ＝2 ab ＋2 ac ＋2 bc ， 即（ a － b ）2＋（ b － c ）2＋（ c － a ）2＝0，所以 a ＝ b ＝ c ，所以△ ABC 是等边三角形，所以充分性成立. 综上，△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc . 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型四 充分条件、必要条件、充要条件的探求 【例4】　关于 x 的一元二次方程 x2＋ x ＋ m ＝0有实数解的一个必要条 件是（　　） 解析：　由题意得Δ＝ b2－4 ac ＝1－4×1× m ≥0，解得 m ≤ .四个 选项中，只有 m ＜ 是 m ≤ 的必要条件，故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 寻求充分条件、必要条件、充要条件的方法 （1）寻求 q 的充分条件 p ，即求使 q 成立的条件 p .即 p ⇒ q ； （2）寻求 q 的必要条件 p ，即求以 q 为条件可推出的结论 p .即 q ⇒ p ； （3）寻求 q 的充要条件有两种方法： ①等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充 要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每 一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证； ②非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要 性和充分性两方面说明. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1.. (2025高一上·嘉兴月考) 已知命题p：x² - 4x +3<0 ，则命题p成立的一个充分不必要条件是（　　） 解析：已知x² - 4x + 3 < 0 ，化简得(x - 1)(x - 3)< 0 ，解得1 < x < 3. 所以命题p成立的充要条件为{x|1 < x < 3} ， 所以命题p成立的一个充分不必要条件只需要找到{x|1 < x < 3}的真子集即可. 故答案为：C. A. x ≤ 3 B. 1 < x < 4 C. 1 < x ≤ 2 D. 1 < x < 3 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　A中，若 a ＝0， b ＝－1， a ＞ b 但｜ a ｜＜｜ b ｜，故 “｜ a ｜＞｜ b ｜”不是“ a ＞ b ”的必要条件，故A错误；B中， a ＞ b ＋2⇒ a ＞ b ，所以“ a ＞ b ＋2”是“ a ＞ b ”的充分条件，B错 误；C中， a ＞｜ b ｜⇒ a ＞ b ，所以“ a ＞｜ b ｜”是“ a ＞ b ”的 充分条件，C错误；D中， a ＞ b －2推不出 a ＞ b ，若 a ＞ b ，则 a ＞ b －2，所以“ a ＞ b －2”是“ a ＞ b ”的必要不充分条件，D正 确.故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）若 p ：1≤ x ≤3，则 p 成立的一个充分不必要条件是（　） A. 1≤ x ≤3 B. 2＜ x ＜3 C. 1＜ x ＜3 D. 0≤ x ≤4 解析：　设1≤ x ≤3对应的集合为 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}，使 p 成立 的一个充分不必要条件对应的集合为 B ，则 B ⫋ A ，满足上述条件 的选项有B、C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. “｜ x ｜＜3”是“｜ x ｜＜1”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析：　由｜ x ｜＜3，解得－3＜ x ＜3；由｜ x ｜＜1，解得－1 ＜ x ＜1；因为{ x ｜－1＜ x ＜1}⫋{ x ｜－3＜ x ＜3}，所以“｜ x ｜ ＜3”是“｜ x ｜＜1”的必要不充分条件.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）使 ab ＞0成立的充分条件是（　　） A. a ＞0， b ＞0 B. a ＋ b ＞0 C. a ＜0， b ＜0 D. a ＞1， b ＞1 解析：　因为 a ＞0， b ＞0⇒ ab ＞0； a ＜0， b ＜0⇒ ab ＞0； a ＞1， b ＞1⇒ ab ＞0，所以选项A，C，D都是使 ab ＞0成立的充分 条件，当 a ＝2， b ＝－1时， a ＋ b ＞0， ab ＜0，故 a ＋ b ＞0不是 ab ＞0成立的充分条件. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}， B ＝{ x ｜1－2 a ≤ x ≤ a ＋2}. （1）若 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分条件，求实数 a 的取值范围； 解：因为 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分条件，所以 A ⊆ B ， 所以解得 a ≥1.即实数 a 的取值范围是[1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若 x ∈ A 是 x ∈ B 的必要条件，求实数 a 的取值范围. 解：因为 x ∈ A 是 x ∈ B 的必要条件，所以 B ⊆ A ， 当 B ＝⌀时，符合题意，则1－2 a ＞ a ＋2，解得 a ＜－ ， 当 B ≠⌀ 时，则解得－ ≤ a ≤0， 综上， a ≤0，即实数 a 的取值范围是（－∞，0]. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $