专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“充分条件、必要条件、充要条件”核心知识点，从命题真假切入推出关系，明确条件与结论的逻辑联系，进而学习四种条件形式，构建从概念理解到判断方法再到参数求解的递进式学习支架。 该资料以“即学即练—典例解析—变式拓展”为主线，结合几何图形、方程根等具体实例培养数学思维，通过集合判断法等直观方法提升逻辑推理能力。课中助力教师分层教学，课后多样化题型帮助学生巩固概念，查漏补缺，落实数学抽象与逻辑推理核心素养。

专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件 教学目标 1、从不同的角度理解必要条件、充分条件与充要条件的意义； 2、结合具体命题，会判断充分条件、必要条件、充要条件，掌握判断它们的方法； 3、会解决由条件的充分性、必要性来求参数的范围的一类问题； 4、能从具体的问题出发来进行抽象概括和逻辑推理。 教学重难点 1.重点 （1）理解充分、必要条件的概念，掌握二者基本含义。 （2）能根据推出关系准确判断条件的充分与必要性。 2.难点 （1）区分充分不必要、必要不充分条件的逻辑关系。 （2）准确找准条件与结论，避免判断时颠倒推出方向。 （3）利用充要条件求解参数范围，灵活等价转化问题。 知识点1 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件p 不能推出结论q,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 【即学即练】 1．下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件的定义，逐一判断各个命题. 【详解】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． 2．下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 【分析】根据必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． （2）由，可得， 所以，所以q是p的必要条件． （3）当时，推不出， 故，所以q不是p的必要条件. 知识点2 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件 【即学即练】 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】依题意找到成立的等价条件，再由充要条件的定义即可判断. 【详解】因， 对于，，当且仅当时等号成立. 则由可得，由可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．：两个三角形的三条边对应相等，：两个三角形全等，则是的_________条件． 【答案】充要条件 【分析】利用全等三角形的判定和性质定理即可作出判断. 【详解】根据边边边全等三角形的判定定理可知，如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等， 又根据全等三角形的性质定理可知，如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边相等， 由此可推断是的充要条件. 故答案为：充要条件. 知识点3 充分条件、必要条件的四种形式 若，，则是的充要条件； 如果pq，且，那么称p是q的充分不必要条件； 如果pq，且qp，那么称p是q的必要不充分条件； 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分又不必要条件。 【即学即练】 请在“充分条件”“必要条件”“充要条件”“既不是充分条件也不是必要条件”中选择一个最恰当的，填空： （1）当时，“”是“”的______； （2）“a是偶数，b是偶数”是“ab是偶数”的______； （3）“”是“”的______； （4）“”是“，且”的______； （5）“整数n能被3整除”是“整数n能被6整除”的______； （6）“”是“”的______； （7）“”是“”的______； （8）“”是“”的______． 【答案】 充分条件 充分条件 充要条件 必要条件 必要条件 充分条件 充分条件 充分条件 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判定即可． 【详解】（1）当时，则当时，有， 反之不一定成立，如， ∴当时，“”是“”的充分条件； （2）当a是偶数，b是偶数时，则是偶数， 反之不成立，如， ∴“a是偶数，b是偶数”是“ab是偶数”的充分条件； （3）∵，∴“”是“”的充要条件； （4）∵有两种情况：一种是且，另一种是且， ∴“”是“，且”的必要条件； （5）当整数n能被6整除，则整数n能被3整除， 反之不成立，如，能被3整除，但不能被6整除， ∴“整数n能被3整除”是“整数n能被6整除”的必要条件； （6）∵，∴， ∴“”是“”的充分条件； （7）若，则， 反之不成立，如， ∴“”是“”的充分条件； （8）若，则，从而成立， 反之不成立，如时，成立，但， ∴“”是“”的充分条件． 故答案为：（1）充分条件；（2）充分条件；（3）充要条件；（4）必要条件；（5）必要条件；（6）充分条件；（7）充分条件；（8）充分条件． 题型01 充分条件与必要条件的判断 【典例1】下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)不是 (5)是 (6)不是 【分析】利用充分条件的定义即可求解. 【详解】（1）这是平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件. （4）由于，但是，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件. （6）为无理数但是有理数，，所以p不是q的充分条件. 【典例2】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？ （1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除. （2）p：x>1，q：x2>1. （3）p：b2=ac，q：=. （4）p：A∩B=A，q：. 【答案】（1）充分条件；（2）充分条件；（3）必要条件；（4）充要条件. 【分析】（1）根据充分条件、必要条件的定义判断； （2）根据充分条件、必要条件的定义判断； （3）根据充分条件、必要条件的定义判断； （4）结合集合的包含关系根据充分条件、必要条件的定义判断； 【详解】（1）数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立.即p⇒q，q推不出p， 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. （2）因为x2>1⇒x>1或x<， 所以p⇒q，且q推不出p. 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. （3）b2=ac推不出=，如b=0，c=0时，b2=ac，而无意义.但=⇒b2=ac， 所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件. （4）画出Venn图(如图). 结合图形可知，A∩B=A⇒AB⇒BA， 反之也成立，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件. 充分、必要条件的判断方法： （1）定义法：首先分清条件和结论，然后判断和是否成立，最后得出结论． （2）集合判断法：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件 【变式1】已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 【变式2】（多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【答案】BC 【分析】利用充分性与必要性的条件判断即可. 【详解】由题意可知只有更上一层楼才能穷千里目，但仅更上一层楼，未必能穷千里目， 所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件，“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件； 故A错误，B正确，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式3】设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 【变式4】指出下列各题中，p与q的关系． (1)p：且，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形． 【答案】(1)p是q的充分条件，q是p的必要条件 (2)q是p的充分条件，p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】（1）当且时，成立，反之不一定，如，， 即，， 所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）当有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，反之成立， 即，且， 所以q是p的充分条件，p是q的必要条件． 题型02 充要条件的判断 【典例1】设为全集，、为非空集合，下面四个条件，（1）；（2）；（3）；（4）.其中是的充要条件个数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合韦恩图可直接判断集合间的关系. 【详解】U为全集，A、B为非空集合 对于（1）； 对于（2）； 对于（3）； 对于（4）. 故选：D 【变式1】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意即可得到答案. 【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件. 故选：C． 【变式2】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，，判断充分性成立；由，，判断必要性成立即可. 【详解】，，， ，， 由，通分整理得：， ，，即， ，， ，， 故选：C 【变式3】关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由方程有一个正根和一个负根可求得的范围，进而可求得结论. 【详解】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． 题型03 求充分条件与必要条件 【典例1】写出一个使关于的方程有实数根的充分条件__________． 【答案】 【分析】利用方程有实根的充要条件求解充分条件即可. 【详解】由方程有实数根得，当时，； 当也有实数根，所以充要条件为． 充分只需要是的子集即可． 故答案为： 【典例2】（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 探求充分、必要条件问题,首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件。 【变式1】（多选）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC. 【变式2】“方程至多有一个实数解”的一个充分条件是（ ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义判断即可 【解析】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分条件， 故选：D. 【变式3】（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 【答案】BCD 【分析】根据必要条件定义依次判断即可. 【详解】对于A，由，不能推出，所以不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，由两个三角形相似，能推出这两个三角形的三边对应成比例， 所以是的必要条件，故B符合题意； 对于C，由，则，能推出， 所以是必要条件，故C符合题意； 对于D，由，，能推出， 所以是的必要条件，故D符合题意. 故选：BCD 题型04 充要条件的探求与证明 【典例1】设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【分析】将原等式变形后，通过配方法转化为平方和的形式，借助平方数的非负性推导得变量间的等量关系. 【详解】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 【典例2】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 探求充分、必要条件问题,首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件 【变式1】设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 【答案】 【分析】根据作差法可得的等价条件，由充要条件的概念即可得解. 【详解】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 【变式2】已知：a、b∈R，则|a-b|=|a|+|b|成立的充要条件为___________. 【答案】 【分析】对等式两边同时平方化简后即可得解. 【详解】由题意得 . 故答案为：. 【变式3】已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 【变式4】证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性即可． 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 题型05 根据充分、必要、充要条件求参数 【典例1】已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 【典例2】已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）略 （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 【变式1】已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 【变式2】方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 【变式3】设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 【变式4】已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 1．“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】“是等腰直角三角形”推不出“是等边三角形”，反过来也不成立， 所以“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的既不充分也不必要条件. 2．在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 3.下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解. 【详解】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 4．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 5.（多选）下列是“集合是集合的子集”的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据，结合并集、交集的运算以及必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，， 故是“集合是集合的子集”的必要条件的是AC选项. 故选：AC. 6．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【详解】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）． (1)数a能被6整除，数a能被3整除； (2)； (3)有两个角相等，是正三角形； (4)． 【答案】(1)充分不必要条件． (2)充分不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充要条件 【分析】利用充分条件，必要条件，充要条件的定义可以直接求解. 【详解】（1）不能推出p， 是q的充分不必要条件． （2）不能推出是q的充分不必要条件． （3）不能推出是q的必要不充分条件． （4）当时，有，即． 而当时，有，即． 是q的充要条件． 8．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 1．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 2．记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 3.（多选）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可. 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 4.已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 5.已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题可得，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求. 【详解】∵表示不超过的最大整数， ∴，，即， 又是的充分不必要条件，， ∴AB，故，即的取值范围是. 故答案为：. 6．已知． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件 (2) (3) 【分析】（1）由集合的包含关系即可确定； （2）由是的充分条件得，列不等式组进行求解； （3）若是的充分不必要条件得是的真子集，列不等式组进行求解． 【详解】（1）若，则， 所以是的真子集，所以是的必要不充分条件． （2）因为是的充分条件，所以， 因此有， 所以实数的取值范围为. （3）因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 因此有或 解得或． 所以实数的取值范围为． 7．已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). (4). 【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可； （3）先计算集合，再根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，即可求解； （4）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，即可求解. 【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得. 所以的取值范围是. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故， 解得.所以的取值范围是. （3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集， 易知，所以.所以的取值范围是. （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以.所以的取值范围是. 8．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A. （2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论； 由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数. （3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而得到集合． 【详解】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，，，； （2）证明：集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”； （3）证明：集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件 教学目标 1、从不同的角度理解必要条件、充分条件与充要条件的意义； 2、结合具体命题，会判断充分条件、必要条件、充要条件，掌握判断它们的方法； 3、会解决由条件的充分性、必要性来求参数的范围的一类问题； 4、能从具体的问题出发来进行抽象概括和逻辑推理。 教学重难点 1.重点 （1）理解充分、必要条件的概念，掌握二者基本含义。 （2）能根据推出关系准确判断条件的充分与必要性。 2.难点 （1）区分充分不必要、必要不充分条件的逻辑关系。 （2）准确找准条件与结论，避免判断时颠倒推出方向。 （3）利用充要条件求解参数范围，灵活等价转化问题。 知识点1 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是 “若,则”是 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件p 不能推出结论q,记作: 条件关系 是的 是的 不是的 不是的 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 【即学即练】 1．下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 2．下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 知识点2 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件 【即学即练】 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．：两个三角形的三条边对应相等，：两个三角形全等，则是的_________条件． 知识点3 充分条件、必要条件的四种形式 若，，则是的 ； 如果pq，且，那么称p是q的 ； 如果pq，且qp，那么称p是q的 ； 如果pq，且qp，那么称p是q的 。 【即学即练】 请在“充分条件”“必要条件”“充要条件”“既不是充分条件也不是必要条件”中选择一个最恰当的，填空： （1）当时，“”是“”的______； （2）“a是偶数，b是偶数”是“ab是偶数”的______； （3）“”是“”的______； （4）“”是“，且”的______； （5）“整数n能被3整除”是“整数n能被6整除”的______； （6）“”是“”的______； （7）“”是“”的______； （8）“”是“”的______． 题型01 充分条件与必要条件的判断 【典例1】下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【典例2】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？ （1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除. （2）p：x>1，q：x2>1. （3）p：b2=ac，q：=. （4）p：A∩B=A，q：. 充分、必要条件的判断方法： （1）定义法：首先分清条件和结论，然后判断和是否成立，最后得出结论． （2）集合判断法：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件 【变式1】已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【变式2】（多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【变式3】设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【变式4】指出下列各题中，p与q的关系． (1)p：且，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形． 题型02 充要条件的判断 【典例1】设为全集，、为非空集合，下面四个条件，（1）；（2）；（3）；（4）.其中是的充要条件个数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 求充分条件与必要条件 【典例1】写出一个使关于的方程有实数根的充分条件__________． 【典例2】（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 探求充分、必要条件问题,首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件。 【变式1】（多选）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】“方程至多有一个实数解”的一个充分条件是（ ） A． B．m<1 C． D． 【变式3】（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 题型04 充要条件的探求与证明 【典例1】设，命题的充要条件是_________________． 【典例2】已知，证明：“”是“”的充要条件. 探求充分、必要条件问题,首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件 【变式1】设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 【变式2】已知：a、b∈R，则|a-b|=|a|+|b|成立的充要条件为___________. 【变式3】已知，求证：的充要条件是. 【变式4】证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 题型05 根据充分、必要、充要条件求参数 【典例1】已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【典例2】已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 【变式1】已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式4】已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 1．“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 3.下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 4．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 5.（多选）下列是“集合是集合的子集”的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 6．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）． (1)数a能被6整除，数a能被3整除； (2)； (3)有两个角相等，是正三角形； (4)． 8．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 1．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 3.（多选）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4.已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 5.已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 6．已知． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 7．已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 8．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $