专题01 充分条件、必要条件、充要条件五大常考问题（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦充分、必要、充要条件五大核心题型，以题载知，构建从概念判断到参数范围再到证明的递进式训练体系，培养推理意识与逻辑联系能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |充分条件与必要条件的判断与探求|15题（选择/多选/填空）|结合集合、函数、几何等载体判断条件关系|从概念辨析到实际情境应用，强化逻辑推理| |根据充分条件求参数取值范围|14题（选择/填空/解答）|已知充分条件关系求参数范围|以集合包含关系为核心，体现条件与范围的转化| |根据必要条件求参数取值范围|11题（选择/填空/解答）|已知必要条件关系求参数范围|深化对“必要”逻辑的理解，训练逆向思维| |根据充要条件求参数取值范围|13题（选择/填空/解答）|充要条件下参数范围的确定与方程根的关系|整合充分与必要条件，构建完整逻辑闭环| |充要条件的探求与证明|15题（选择/填空/解答）|充要条件的证明及实际问题应用|从数学证明到实际情境，提升数学表达与论证能力|

专题01 充分条件、必要条件、充要条件五大常考问题 题型一：充分条件与必要条件的判断与探求 题型二：根据充分条件求参数取值范围 题型三：根据必要条件求参数取值范围 题型四：根据充要条件求参数取值范围 题型五：充要条件的探求与证明 题型一：充分条件与必要条件的判断与探求 1．若，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式，再根据充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】由，解得，即， 又因为，所以， 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 2．下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 4．设，则下列语句是“”的充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，举反例，当时，但是，不符合题意； 对于B，举反例，当时，但是，不符合题意； 对于C，由指数函数的性质可得，时，则有，满足题意； 对于D，举反例，当时，但是，不符合题意. 5．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程可得或1，即得，再根据题意，需使选项中的范围是区间的真子集，结合选项即得. 【详解】由方程，可得或1，得， 依题意，需使选项中的范围是区间的真子集， 故成立的一个充分不必要条件是． 故选：D. 6．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考虑的等价命题，求得的取值，结合充要条件判断即可. 【详解】集合， 因等价于， 即或，解得，经检验符合题意，则必要性成立， 代入，此时，，满足，则充分性成立， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 7．已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为 且且是等边三角形， 所以“是等边三角形”是“”的充要条件. 8．“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得. 【详解】依题意，不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远； 不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”， 所以“积小流”是“成江海”的必要条件. 故选：B 9．（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先解得到，则的必要条件的是：成立能推出对应的选项也成立即为它的必要条件，故依次分析选项即可. 【详解】由得到； 当时，成立，但是推不出成立，选项A错误； 成立必定可以推出成立，选项B正确； 成立必定可以推出成立，选项C正确； 当时，成立，但是推不出成立，选项D错误； 故选：BC 10．（多选）下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得或，则“”是“”的必要不充分条件，A正确； 对于B，是的充分不必要条件，B正确； 对于C，由，得且，则是的充分不必要条件，C错误； 对于D，命题“若为无理数，则为无理数”是假命题，如是无理数，是有理数； 由为有理数，得为有理数，因此命题“若为无理数，则为无理数”是真命题， “为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D正确. 故选：ABD 11．（多选）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC. 12．（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可. 【详解】解：因为，所以，则成立的必要条件是或 故选：AB. 13．已知是的必要条件，s是的充分条件，是的充分条件，则 是的_____________条件．（用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”回答） 【答案】充要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可得，即， 所以s是q的充要条件. 故答案为：充要条件. 14．下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 题型二：根据充分条件求参数取值范围 1．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 2.命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解. 【详解】由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 3．若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是的真子集，即可求解. 【详解】由题意可知是的真子集， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：A 4．若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A 5.若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在恒成立，求解的解，即可列不等式求解. 【详解】由于是的充分条件，故在恒成立， 由可得， 当时，可得，当时，，时，无解， 要使在，恒成立， 故或，解得， 故选：B 6．（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 7．设，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】化简，再根据是的充分不必要条件判断两集合关系即可求得的取值范围. 【详解】因为，所以，所以. 又因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，所以. 故答案为： 8．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是______. 【答案】 【分析】用列举法表示集合，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得. 【详解】依题意，，，显然， 由“”是“”的充分不必要条件，得， 当时，，符合题意，当时，方程的根为和， 显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意， 所以实数的所有取值组成的集合是. 故答案为： 9．设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】结合充分条件性质，分与进行讨论即可得. 【详解】若，即时，， 此时是的充分条件； 若，即时， 由是的充分条件，则或， 分别解得或，故，又，无解； 综上所述：. 故答案为：. 10.已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得集合和，再由“”是“”的充分条件，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 11．设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先通过全集与补集的定义，将给定条件转化为具体不等式的解集，再根据交集运算规则求出两个集合的共同部分； （2）利用充分条件的集合解释，将条件转化为子集关系，再根据数轴分析端点值的大小关系确定参数范围. 【详解】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以 （2）因为“”是“”的充分条件，所以. 又因为集合，，所以. 即的取值范围为. 12．已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算可得； （2）依题意可得，又，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 13．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】(1)利用集合的补集和并集运算即可求解； (2)把充分关系转化为集合的子集关系，从而可确定参数范围. 【详解】（1）当时，， 则或， 即或或， 故或； （2）因为是的充分条件，所以， 即， 可得：，解得， 故的取值范围. 14．已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合的补集与交集运算求解即可； （2）将“”是“”的充分条件转化为集合的关系：，然后由集合的包含关系求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）若，， 所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，即实数m的取值范围是． 题型三：根据必要条件求参数取值范围 1．已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【详解】是的必要条件，，. 故选：B. 2．已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件定义可确定集合的包含关系，分别讨论和的情况即可求得结果. 【详解】是成立的一个必要不充分条件，是的真子集； 当，即时，，满足题意； 当时，需满足，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 3．设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 4．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，再根据集合的包含关系，对参数进行分类讨论，即可求得结果. 【详解】由题意知： 又且或； ①当时，，，故，解得，故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得，故； 综上所述：. 故选：A. 5．已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 6．集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用是的必要条件，得出，进而构造不等式求解． 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以，解得，故实数的取值范围为． 7．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 8．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由集合的并集与补集运算求解即可； （2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 9．已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）当时，求出集合B的取值范围； （2）根据题意得到集合B是集合A的真子集，分类和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以或，. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 10.．已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用集合的并运算求； （2）根据已知有，列不等式求参数范围即可. 【详解】（1），当时， 所以； （2）由（1）得，， 因为是的必要条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 11．设， (1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的值. 【答案】(1)，所有子集是，，， (2)或或 【分析】（1）解方程，得到集合，再根据集合子集的定义列举； （2）根据题意得，再根据集合中的元素特点分类讨论求. 【详解】（1）由题可知集合中元素满足方程，解得或， 即集合所以集合的所有子集是，，，. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，无解，则； 当时，，则； 当时，，则， 综上所述，实数的值为或或 题型四：根据充要条件求参数取值范围 1．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 2．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 3．关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 4．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 5．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 6．“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 7．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 8．“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【答案】 【分析】利用计算即可. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得． 故答案为： 9．命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________． 【答案】 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 10．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是__________． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 11．若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______. 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 12．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 13．设集合或，或. (1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】(1)根据给定条件求出与所对集合，再借助集合的包含关系列式求解即得. (2)根据充要条件的定义直接分析判断作答. 【详解】（1）因集合或，或，且，， 则中的取值构成的集合为，中的取值构成的集合为， 又是的充分而不必要条件，于是得，则有，解得：， 所以实数的取值范围为. （2）根据充要条件的定义知，“”是“”的充要条件当且仅当， 而集合A中可以取到端点值-2，3，集合B中不能取到端点值2a，-a， 于是得无论取何值，都有， 所以不存在实数，使得“”是“”的充要条件. 题型五：充要条件的探求与证明 1．“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知方程有实根，分和两种情况讨论，得出，经验证，时，，方程有实根成立. 【详解】若方程有实根， 当时，， 当时，，即且， 综上，． 验证：当时，方程为一元一次方程，有一个实根， 当且时，，方程有实根成立. 故选：A. 2．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 3．设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 4．“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和，利用判别式法求得a的范围，再利用逻辑条件判断. 【详解】解：当时，，方程有实根； 当时，，解得，此时，，且， 综上：方程有实根”的充要条件为， 故选：A 5．已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的性质以及集合运算和自己概念可判断. 【详解】对A，若，则，故A错误： 对B，若，则不能得到，故B错误； 对C，若，故C正确； 对D，，当是真子集时，不能得到，故D错误. 故选：C 6．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合一元二次方程根的情况求解即得. 【详解】一元二次方程有一个正根和一个负根，等价于，解得， 所以所求充要条件是. 故选：A 7．（多选）已知关于x的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实根之和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的充要条件是 【答案】BC 【分析】根据一元二次方程的性质，结合判别式和韦达定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B中，方程无实数根，则，解得， 又由，方程无实根的一个必要条件是，所以B正确； 对于C,D，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得， 所以C正确；D错误. 故选：BC. 8.一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 9．设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【分析】将原等式变形后，通过配方法转化为平方和的形式，借助平方数的非负性推导得变量间的等量关系. 【详解】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 10.已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案； （2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】（1）． 因为，均有，所以． 当时，，满足题意； 当时，，解得，所以． 综上，，即的取值范围是． （2）证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 11．已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 12．设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】 证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】略 13．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 14．已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 15.设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 充分条件、必要条件、充要条件五大常考问题 题型一：充分条件与必要条件的判断与探求 题型二：根据充分条件求参数取值范围 题型三：根据必要条件求参数取值范围 题型四：根据充要条件求参数取值范围 题型五：充要条件的探求与证明 题型一：充分条件与必要条件的判断与探求 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】BC 10．【答案】ABD 11．【答案】BC 12．【答案】AB 13．【答案】充要条件 14．【答案】(1)必要非充分条件(2)既非充分又非必要条件(3)必要非充分条件(4)充要条件(5)充分非必要条件 题型二：根据充分条件求参数取值范围 1．【答案】B 2.【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】A 5.【答案】B 6．【答案】ACD 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10.【答案】 11．【答案】(1)(2) 12．【答案】(1)(2) 13．【答案】(1)或；(2) 14．【答案】(1)(2) 题型三：根据必要条件求参数取值范围 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】(1)或(2) 9．【答案】(1)或，(2) 10.．【答案】(1)；(2). 11．【答案】(1)，所有子集是，，，(2)或或 题型四：根据充要条件求参数取值范围 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】(1)(2) 13．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析 题型五：充要条件的探求与证明 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】BC 8.【答案】 9．【答案】 10.【答案】(1) (2)证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 11．【答案】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 12．【答案】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 13．【答案】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 14．【答案】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 15.【答案】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 充分条件、必要条件、充要条件五大常考问题 题型一：充分条件与必要条件的判断与探求 题型二：根据充分条件求参数取值范围 题型三：根据必要条件求参数取值范围 题型四：根据充要条件求参数取值范围 题型五：充要条件的探求与证明 题型一：充分条件与必要条件的判断与探求 1．若，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．设，则下列语句是“”的充分条件的是（   ） A． B． C． D． 5．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 11．（多选）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 13．已知是的必要条件，s是的充分条件，是的充分条件，则 是的_____________条件．（用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”回答） 14．下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 题型二：根据充分条件求参数取值范围 1．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 5.若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 7．设，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 8．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是______. 9．设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. 10.已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 11．设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 12．已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 13．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 14．已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 题型三：根据必要条件求参数取值范围 1．已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 6．集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 7．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 8．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 9．已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 10.．已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 11．设， (1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的值. 题型四：根据充要条件求参数取值范围 1．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 6．“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 7．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 8．“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 9．命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________． 10．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是__________． 11．若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______. 12．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 13．设集合或，或. (1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 题型五：充要条件的探求与证明 1．“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 2．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 4．“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 5．已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 6．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知关于x的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实根之和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的充要条件是 8.一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 9．设，命题的充要条件是_________________． 10.已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 11．已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 12．设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 13．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 14．已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 15.设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $