2.2 充分条件、必要条件、充要条件 第2课时 充要条件 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2.2　充分条件、必要条件、充要条件 第2课时　充要条件 一、基础达标 1.“x>-1”是“x>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知a,b∈R,“a=b”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.>1的一个充要条件是(　　) A.a(b-a)>0 B.b>a>0 C.a>1,b>1 D.a>0,b>0 4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关,黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A.必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件 C.充要条件 D.无法判断 5.已知a,b∈R,则ab+4≠2a+2b的充要条件是(　　) A.a,b都不为2 B.a,b不都为2 C.a,b不都为0 D.a2+b2≠8 6.指出下列各题中p是q的什么条件. (1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:x=2或-2,q:的值为0. 二、能力提升 7.(多选题)下列选项中,p是q的充要条件的为(　　) A.p:x>0,y<0,q:xy<0 B.p:a>b,q:a+c>b+c C.p:x>5,q:x>10 D.p:a>b≥0,q: 8.“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac<0”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 9.(多选题)已知p,q都是r的充分条件,s是r的充要条件,q是s的必要条件,则(　　) A.q是s的充要条件 B.p是s的充分不必要条件 C.q是s的充分不必要条件 D.p是s的充要条件 10.命题p:一次函数y=(k-1)x+2k+1的图象经过一、二、四象限的充要条件是　　　　　.  11.写出关于a,b,c的等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2成立的一个充要条件:　　　　　.  12.已知△ABC的三边长为a,b,c,其中a=2.求证:△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4. 三、拓展探究 13.(2024·南京高三模拟)当m,n∈Z时,定义运算􀱋:当mn>0时,m􀱋n=-;当mn<0时,m􀱋n=min{m,n};当mn=0时,m􀱋n=m+n,则“a=0,b=1或a=1,b=0”是“a􀱋b=1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是a-b=0. 15.设命题p:实数x满足2<x≤3,命题q:实数x满足a<x<3a,其中a>0. (1)若a=1,且命题p和q均为真命题,求实数x的取值范围; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 参考答案 1.B　解析 由“x>-1”不能推出“x>1”,所以“x>-1”不是“x>1”的充分条件; 由“x>1”可以推出“x>-1”,所以“x>-1”是“x>1”的必要条件. 综上可知,“x>-1”是“x>1”的必要不充分条件. 2.C　解析 由a=b,得(a-b)2=0,即a2+b2=2ab,充分性成立, 由a2+b2=2ab,则(a-b)2=0,即a=b,必要性成立, 所以“a=b”是“a2+b2=2ab”的充要条件. 3.A　解析 由不等式>1,可得-1=>0,即a(b-a)>0,所以A符合题意; 由a(b-a)>0,可得b>a>0或b<a<0,所以选项B是>1的充分不必要条件; 选项C和D都为>1的既不充分也不必要条件. 故选A. 4.A　解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定有“攻破楼兰”. 5.A　解析 ab+4≠2a+2b⇔(a-2)(b-2)≠0⇔a≠2且b≠2, 故ab+4≠2a+2b的充要条件为a,b都不为2. 故选A. 6.解 　(1)x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0, 但(x-2)(x-3)=0⇒/x-3=0, 故p是q的充分条件但不是必要条件. (2)x=2或x=-2⇒/的值为0, 但的值为0⇒x=2或x=-2, 故p是q的必要条件但不是充分条件. 7.BD　解析 对于A选项,p⇒q,但xy<0不一定得到x>0,y<0,故p不是q的充要条件; 对于B选项,p⇒q,且q⇒p,即p⇔q,故p是q的充要条件; 对于C选项,x>5不能得到x>10,但x>10一定x>5,故p不是q的充要条件; 对于D选项,p⇒q,且q⇒p,故p是q的充要条件. 故选BD. 8.C　解析 若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立, 由根与系数的关系可得x1x2=<0,所以ac<0成立, 反之,若“ac<0”成立, 此时一元二次方程ax2+bx+c=0的Δ>0,此时方程有两个不等的根, 由根与系数的关系可得此时, x1x2=<0,即方程两个根的符号相反, 即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根, 所以“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac<0”的充要条件. 9.AB　解析 因为p,q都是r的充分条件,所以p⇒r,q⇒r, 因为s是r的充要条件,所以s⇔r, 因为q是s的必要条件,所以s⇒q, 综上可得,q⇒r⇒s⇒q,p⇒r⇒s,即q是s的充要条件,p是s的充分不必要条件,故AB正确,CD错. 10.-<k<1　解析 因为一次函数y=(k-1)x+2k+1的图象经过一、二、四象限, 则满足解得-<k<1, 即一次函数y=(k-1)x+2k+1的图象经过一、二、四象限的充要条件是-<k<1. 11.a=b=c　解析 将等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2整理得2a2+2c2+2b2-2ab-2bc-2ac=0, 即(a-c)2+(b-c)2+(a-b)2=0,即a=b=c. 故原式等价于a=b=c. 12.证明 充分性: 当a=2时,多项式b2+c2-2(b+c)=bc-4可化为b2+c2-a(b+c)=bc-a2, 即a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,所以a-b=b-c=a-c=0, 即a=b=c,△ABC为等边三角形,即充分性成立; 必要性:由△ABC为等边三角形,且a=2,所以a=b=c=2, 则b2+c2-2(b+c)=0,bc-4=0,所以b2+c2-2(b+c)=bc-4,即必要性成立. 故△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4. 13.C　解析 充分性:当a=0,b=1或a=1,b=0时,ab=0,则a􀱋b=a+b=1,充分性成立; 必要性:当a􀱋b=1时,显然当ab>0时,a􀱋b<0,当ab<0时,a􀱋b<0,均不符合题意, 当a=0时,a􀱋b=1,则b=1,当b=0时,a􀱋b=1,则a=1,必要性成立. 所以“a=0,b=1或a=1,b=0”是“a􀱋b=1”的充分必要条件. 14.证明 充分性:若a-b=0,则a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0, 即充分性成立; 必要性:若a3-2a2b+2ab2-b3=0,而a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2), 则(a-b)(a2-ab+b2)=0,又a2-ab+b2=, 由ab≠0,得a≠0且b≠0,即≥0,且>0, 因此a2-ab+b2=>0,则a-b=0,即必要性成立, 所以a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是a-b=0. 15.解 (1)当a=1时,命题p:2<x≤3,命题q:1<x<3. 又命题p和q均为真命题,所以解得2<x<3. 故实数x的取值范围是(2,3). (2)命题p:2<x≤3,命题q:a<x<3a.要使p是q的充分不必要条件, 则解得1<a≤2. 故实数a的取值范围是(1,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $