1.4+正方形的性质与判定 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过创设情境导入，结合正方形定义与性质提问，引导探究矩形（邻边相等或对角线垂直）、菱形（直角或对角线相等）转化为正方形的条件，衔接平行四边形、矩形、菱形知识，构建学习支架。 其亮点在于通过折纸实验（剪口线与折痕成45°角）培养几何直观，结合定理推理证明（如矩形+邻边相等证正方形）发展推理能力，例题中中点四边形判定体现模型意识。帮助学生系统掌握判定方法，教师可高效开展教学。

1.4 正方形的性质与判定 北师版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 第1课时 正方形的判定 1 创设情境，导入新课 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分。 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形。 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？ 探究与应用 满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形? 探究一　正方形的判定定理 启发思考 解:有一组邻边相等的矩形是正方形,对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形,对角线相等的菱形是正方形. (1)如图1-4-9,四边形ABCD是矩形,AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形; 推理证明 图1-4-9 证明:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=BC, ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？ 探究新知，经历过程 提示：剪口线与折痕成 45°角即可。 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 四 边 形 平行四 边 形 正方 形 菱形 两组对边分别平行 (或两组对边分别相等 或一组对边平行且相等) 两条对角线互相平分 两组对角分别相等 四条边都相等 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一组邻边相等，且有一个角是直角 有三个角是直角 有一个角是直角 （或对角线相等） 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 距形 有一个角是直角 (或对角线相等) (2)如图1-4-10,AC,BD是矩形ABCD的对角线,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形; 图1-4-10 证明:(2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AC平分BD. ∵AC⊥BD,∴AC垂直平分BD, ∴AB=AD. ∴矩形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形). (3)如图1-4-11,已知四边形ABCD是菱形,∠A=90°. 求证:四边形ABCD是正方形; 图1-4-11 证明:(3)∵四边形ABCD是菱形, ∴四边形ABCD是平行四边形且AB=BC. ∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 判断四边形是正方形有哪些方法？ 1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角。（定义法） 2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边（对角线互相垂直）相等。 3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角（对角线相等）。 (4)如图1-4-12,已知菱形ABCD的对角线为AC,BD,AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 图1-4-12 证明:(4)∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵AB=BA,BD=AC, ∴△ABD≌△BAC,∴∠DAB=∠CBA. ∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°,∴∠DAB=∠CBA=90°, ∴四边形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD， 又∵AC ⊥ BD， ∴△AOB ≌ △AOD（SAS）， ∴AB = AD， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 判定正方形的基本思路 一个四边形既是矩形又是菱形,这个四边形就是正方形,所以判定正方形时,先证这个四边形是矩形(或菱形),再证其是菱形(或矩形). 理 思路 正方形的判定定理: 定理1:有一组邻边　　 的矩形是正方形;  定理2:对角线互相　　 的矩形是正方形;  定理3:有一个角是　 　的菱形是正方形;  定理4:对角线　　 的菱形是正方形.  相等 概括新知 垂直 直角 相等 定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90°， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 定理：对角线相等的菱形是正方形。 已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD， ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）。 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形。 ∴∠ABC = 90°。 ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 (教材典题)已知:如图1-4-13,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 应用一　根据正方形的判定定理证明正方形 例 1 证明:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. 又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°. ∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴▱BECF是菱形(菱形的定义). 在△EBC中,∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-2×45°=90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 图1-4-13 (教材典题)如图1-4-14,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,在AC上截取OE=OF=OB,顺次连接B,F,D,E四点.求证:四边形BFDE是正方形. 例 2 证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ∴AC⊥BD,OB=OD. ∵OE=OF,∴四边形BFDE是平行四边形. ∵OF=OB,∴OE=OF=OB=OD,∴EF=BD,∴四边形BFDE是矩形. 又∵BD⊥EF,∴四边形BFDE是正方形(对角线互相垂直的矩形是正方形). 图1-4-14 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。 求证：四边形 BECF 是正方形。 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形。 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°。 又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°。 ∴∠EBC = ∠ECB。∴ EB = EC。 ∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）。 在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 180°－∠EBC －∠ECB = 180°－ 45°－ 45°= 90°。 ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。 求证：四边形 BECF 是正方形. 解:(1)连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 证明:如图,连接AC,BD. ∵四边形ABCD为正方形,∴AC=BD,AC⊥BD. ∵E,H分别为AB,AD的中点,∴EH=BD,EH∥BD. 同理,FG=BD,FG∥BD,EF=AC,EF∥AC,∴EH=FG,EH∥FG, ∴四边形EFGH为平行四边形. ∵AC=BD,∴EH=EF,∴四边形EFGH为菱形. ∵EH∥BD,EF∥AC,AC⊥BD,∴EH⊥EF,∴∠HEF=90°, ∴四边形EFGH为正方形. 若四边形ABCD是矩形,则连接矩形各边中点,得到的四边形是菱形.证明略. (2)类比上述问题,你还能提出什么问题?你能解决它们吗? (3)在上述问题的解决过程中,你发现了什么规律?请说明理由. 解:(2)答案不唯一.连接菱形各边中点得到的四边形是怎样的四边形? 答案:矩形. (3)一般的四边形的中点四边形是平行四边形,平行四边形的中点四边形是平行四边形;矩形的中点四边形是菱形;菱形的中点四边形是矩形;正方形的中点四边形是正方形. 借助三角形的中位线和特殊平行四边形的判定方法可说明理由. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。 如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线， ①若∠BEF = 30°，则∠A =______。 ②若 EF = 8 cm，则 AC =______。 你还记得三角形的中位线定理吗？ 30° 16 cm 一般四边形的中点四边形 如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论。 任意四边形的中点四边形是平行四边形。 判断中点四边形的形状时,先由三角形中位线定理得出中点四边形是平行四边形,再根据原四边形对角线的位置关系或数量关系得出中点四边形邻边的位置关系或数量关系,进一步判断出中点四边形是哪一种特殊四边形. 懂 步骤 如图1-4-16,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,求证:四边形EFGH是菱形. 应用二　中点四边形的形状判定 例 3 证明:如图,连接AC,BD. ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD. ∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点, ∴EF是△ABC的中位线,FG是△BCD的中位线,GH是△ADC的中位线,EH是△ABD的中位线,∴EF=AC,FG=BD,HG=AC,EH=BD, ∴EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH是菱形. 图1-4-16 如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 ？ 菱形 ？ 正方形 ？ 课堂小结 判定一个四边形是正方形的思路 思考角度 证明思路 边 角 对角线 四边形 + 对角线相等且互相垂直平分 → 正方形 平行四边形 + 对角线相等且互相垂直 → 正方形 菱形 + 对角线相等 → 正方形 矩形 + 对角线互相垂直 → 正方形 菱形 + 一个角是直角 → 正方形 矩形 + 一组邻边相等 → 正方形 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | $