1.4　正方形的性质与判定第2课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定定理，课堂引入通过回顾正方形定义、性质及对称性，搭建矩形、菱形与正方形的知识联系，以学习支架形式帮助学生梳理从特殊平行四边形到正方形的判定脉络。 其亮点在于通过问题驱动（比较矩形与正方形的边、对角线，菱形与正方形的角、对角线）引导探究，结合表格梳理判定定理和例题推理（如例1证菱形构造正方形），培养学生推理能力与几何直观。课堂小结用分类关系图清晰呈现图形联系，助力学生系统掌握，教师可依托此资料提升教学效率。

第一章　1.4　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.深刻理解正方形的判定定理，知道每个判定定理之间的区别与适用范围.(重点) 2.能利用正方形的判定定理与定义进行推理和计算.(难点) 3.在利用正方形的判定定理解决问题的过程中，提高逻辑推理能力和计算能力，增强符号感. 课堂引入 1.正方形的定义：有一组　　　相等，并且有一个角是　　　的　　　四边形叫作正方形.  2.正方形的性质： (1)正方形的四个角都是　　　；  (2)正方形的四条边　　　；  (3)正方形的对角线　　　且互相　　　　　.  3.正方形的对称性：正方形既是　　　　　图形，也是　　　　图形，它有　　条对称轴.  判定一个矩形是正方形 一、 问题1　(1)从“边”的角度比较矩形与正方形的定义，可知它们的共同点：对边　　 且相等；不同点：正方形的各边相等而矩形的　　 不相等.所以，当矩形的一组邻边　　　时，则这个矩形是正方形；  (2)从“对角线”的角度比较矩形与正方形的定义，可知它们的共同点：对角线互相平分且　　 ；不同点：矩形的两条对角线不　　 .所以，当矩形的两条　　 　互相垂直时，则这个矩形是正方形.  邻边 互相垂直 相等 相等 平行 对角线 知识梳理 利用矩形判定正方形的判定定理如表. 判定 定理 一组 相等的 是正方形 对角线互相 的 是正方形 符号 表示     如图所示，在矩形ABCD中，如果AB＝AD(或BC)，那么矩形ABCD是正方形 如图所示，在矩形ABCD中，如果AC⊥BD，那么菱形ABCD是正方形 矩形 邻边 矩形 垂直 例1　(课本P21习题1.4第4题改编)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点. (1)求证：△BAE≌△BCF； 证明　∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA，AC⊥BD， ∴∠BAE＝∠BCF. 在△BAE与△BCF中， ∴△BAE≌△BCF(SAS). 例1　(课本P21习题1.4第4题改编)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点. 证明　在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD. ∵AE＝CF， ∴OE＝OA＋AE＝OC＋CF＝OF. ∴四边形BFDE是平行四边形. 由(1)得，△BAE≌△BCF，则∠EBA＝∠FBC＝20°. ∵∠ABC＝50°， (2)若∠ABC＝50°，∠EBA＝20°，求证：四边形BFDE是正方形. 例1　(课本P21习题1.4第4题改编)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点. 证明　∴∠EBF＝∠EBA＋∠ABC＋∠FBC＝20°＋50°＋20°＝90°. ∴平行四边形BFDE是矩形(一个角是直角的平行四边形是矩形). ∵AC⊥BD，∴EF⊥BD. ∴矩形BFDE是正方形(对角线互相垂直的矩形是正方形). (2)若∠ABC＝50°，∠EBA＝20°，求证：四边形BFDE是正方形. 反思感悟 在利用矩形判定正方形时，基本方法是先证明相应的四边形是矩形，然后根据边的数量关系或对角线的位置关系判定正方形. 跟踪训练1　如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D. (1)试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论； 解　四边形ACBD是矩形. 证明：∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM，∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB. 同理可得OB＝OD. ∴OA＝OB＝OC＝OD， 跟踪训练1　如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D. (1)试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论； 解　∴四边形ACBD是平行四边形. ∵CD＝OC＋OD，AB＝OA＋OB， ∴AB＝CD， ∴平行四边形ACBD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 跟踪训练1　如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D. (2)当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明. 解　△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形. 证明：由(1)得四边形ACBD是矩形， ∵CB＝BD， ∴矩形ACBD是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形). 二、 判定一个菱形是正方形 问题2　(1)从“角”的角度比较菱形与正方形的定义，可知它们的共同点：对角　　　且对角线平分一组对角；不同点：正方形的各角是直角而菱形的角不一定是　　　.所以，当菱形的一个角为　　　时，则这个菱形是正方形；  (2)从“对角线”的角度比较菱形与正方形的定义，可知它们的共同点：对角线互相平分且　　　；不同点：正方形的对角线相等而菱形的对角线不　　　.所以，当菱形的　　　　相等时，则这个菱形是正方形.  垂直 相等 相等 直角 对角线 直角 知识梳理 利用菱形判定正方形的判定定理如表. 判定 定理 有一个角是 的菱形是正方形 对角线相等的 是正方形 符号 表示     如图所示，在菱形ABCD中，如果∠A＝90°，那么菱形ABCD是正方形 如图所示，在菱形ABCD中，如果AC＝BD，那么菱形ABCD是正方形 菱形 直角 例2　(课本P19例2)已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 证明　∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°. 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°. ∴∠EBC＝∠ECB. 例2　(课本P19例2)已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 证明　∴EB＝EC. ∴▱BECF是菱形(菱形的定义). 在△EBC中， ∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝180°－∠EBC－∠ECB＝180°－2×45°＝90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 反思感悟 正方形的性质完美，最易掌握，但判定却最难.只有在确定一个四边形是平行四边形，又是矩形，还是菱形，即三种必须都符合的基础上才能判定是正方形. 跟踪训练2　如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH，求证：四边形EFGH是正方形. 证明　∵四边形ABCD为正方形， ∴OB＝OC，∠EBO＝∠HCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH. ∵EG⊥FH， ∴∠BOE＋∠BOH＝90°， ∴∠COH＝∠BOE， ∴△CHO≌△BEO， ∴OE＝OH. 跟踪训练2　如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH，求证：四边形EFGH是正方形. 证明　同理可证OE＝OF，OF＝OG， ∴OE＝OF＝OG＝OH.∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵EG⊥FH， ∴平行四边形EFGH为菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). ∵OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH， ∴菱形EFGH为正方形(对角线相等的菱形是正方形). 课堂小结 1.下列说法正确的是 A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 随堂演练 √ 随堂演练 解析　A项，四个角都相等的四边形是矩形，故错误； B项，四条边都相等的四边形是菱形，故错误； C项，对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； D项，对角线互相垂直的矩形是正方形，故正确. 2.在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 A.AC⊥BD B.AB∥CD C.∠BAD＝90° D.∠BAD＝∠BCD √ 随堂演练 解析　∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形. 当∠BAD＝90°时，菱形ABCD是正方形. 3.如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为　　 .  随堂演练 2 解析　如图，连接EG，HF， ∵点E，F，G，H分别是正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点， ∴AE＝BE＝BF＝CF＝CG＝DG＝DH＝HA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴EH＝EF＝FG＝HG， ∠AEH＝∠AHE＝∠DHG＝∠DGH＝∠CGF＝∠CFG＝∠BFE＝∠BEF＝45°， ∴∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是正方形，则EG＝HF＝AB， ∴S正方形EFGH＝EG·HF＝AB2＝×4＝2. 4.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB； 随堂演练 证明　∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SAS)， ∴∠ADB＝∠CDB. 4.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (2)当∠ADC＝　 °时，四边形MPND是正方形，并说明理由.  随堂演练 解　当∠ADC＝90°时，四边形MPND是正方形. 理由如下： ∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD＝∠PND＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形MPND是矩形， 4.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (2)当∠ADC＝　 °时，四边形MPND是正方形，并说明理由.  随堂演练 解　∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝45°， ∵∠PMD＝90°， ∴∠MPD＝∠PDM＝45°， ∴PM＝MD， ∴矩形MPND是正方形. 谢谢观看 $