26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过回顾一次函数图象画法及性质，以“二次函数图象是什么图形”设问导入，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，引导学生逐步探究抛物线的特征。 其亮点在于采用描点法实践、对比不同a值图象等方式，培养学生几何直观与推理意识，如通过对比y=x²与y=2x²的开口大小归纳规律。以表格系统总结性质体现模型意识，助力学生形成结构化认知，教师可借助中考对接与拓展延伸提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数的图象和性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次函数的图象 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次函数的性质 8. 对接中考 1. 会用描点法画二次函数的图象，理解抛物线的有关概念. 2. 掌握二次函数的性质，能确定二次函数的解析式. 3. 通过画出简单的二次函数探索出二次函数的性质及图象特征，经历探索二次函数图象性质的过程，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 学习目标 知识回顾 1. 一次函数的图象是 . 3. 一次函数的性质是什么？ 一次函数(k，b是常数，)具有如下性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小. 一条直线 列表，描点，连线 2. 通常怎样画一个函数的图象？ 4. 二次函数的一般形式是什么？ (是常数,) 新课导入 一次函数的图象是一条直线，那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象. 新课讲解 知识点1 二次函数的图象 问题 用描点法画出 y=x2 的图象. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 1. 列表 在 y = x2 中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值： 2. 描点 根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点. 3. 连线 用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象. 3 6 9 y O -3 3 x 新课讲解 用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤 1. 列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格； 2. 描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点； 3. 连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸. 用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确. 说明 新课讲解 可以看出，二次函数 y=x2 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c . 新课讲解 y=x2 在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 (−m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称. 顶点 对称轴 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 思考 抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？ 新课讲解 1. 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=x2，y=2x2 的图象. x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 解：分别列表，再画出它们的图象. y=x2 y=2x2 例 y=x2 新课讲解 共同点：开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是函数图象的最低点. 思考 函数  的图象与函数  的图象（图中的虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？ 不同点：开口大小不同，函数 的图象开口最大，函数 的图象开口最小. 新课讲解 共同点：开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是函数图象的最高点. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 观察这些抛物线有什么共同点和不同点？ 思考 不同点：开口大小不同，函数 y=的图象开口最大，函数y=﹣2 的图象开口最小. 新课讲解 一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点. 一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点. 越大，抛物线的开口越小. 归纳 新课讲解 例 2. 抛物线， ， 的共同性质是 ( ) B A. 开口向上 B. 对称轴是𝑦 轴 C. 都有最高点 D. 𝑦随𝑥 的增大而增大 解：三条抛物线的开口方向分别是向上、向下、向上，所以A项不符合题意； 三条抛物线的对称轴都是𝑦 轴，所以B项符合题意； 三条抛物线分别有最低点、最高点、最低点，所以C项不符合题意； 三条抛物线中任意一条在其对称轴两侧的增减性都是相反的，所以D项不符合题意. 新课讲解 例 3. 若二次函数的图象经过点 ，则该函数的图象必经过点 ( ) A A. (2,4) B. (−2,−4) C.(−4,2) D.(4,−2) 方法一 二次函数的图象经过点， ， 解得，. 当时，， 该函数的图象必经过点 . 方法二 二次函数的图象的对称轴为轴， 若该函数的图象经过点，则其必经过点 ． 新课讲解 练一练 1. 关于二次函数 的图象，下列说法错误的是 ( ) A. 它是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于 轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与的图象关于 轴对称 C 新课讲解 练一练 (1) 其中开口向上的是________（填序号）； (2) 其中开口向下且开口最大的是______（填序号）； (3) 有最高点的是_______（填序号）. 2. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；④y =-4x2；⑤y = 4x2. ② ① ① ③ ⑤ ④ a>0 a<0， |a|越大，开口越小. 开口向下 a<0 新课讲解 练一练 3. 如图所示，三个二次函数的图象分别对应的是； ；，则，， 的大小关系是_____________. 方法一：由抛物线的开口方向，可知 ，， ， 由抛物线的开口大小，可知， . 方法二：用特殊值法，当 时，四个函数值分别等于二次项系数， . 二次函数中 的作用 1. 的正负决定抛物线的开口方向； 2. 的大小决定抛物线的开口大小： 越大，抛物线的开口越小， 越小，抛物线的开口越大. 归纳 新课讲解 知识点2 二次函数的性质 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. y=x2 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 －2 2 2 4 6 4 －4 8 y x o 新课讲解 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升； 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 y x o 一般地，当 a>0 且 x<0 时，y随x的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 一般地，当 a<0 且 x<0 时，y随x的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 归纳 4. 已知抛物线 ，回答下列问题： (1)抛物线  开口向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____； (2)当  时， 随  的增大而_____，当  时， 随  的增大而_____； (3)对于任意的  值，总有函数值  __ 0，当  __ 时， 有最___值，是___. 新课讲解 例 下 减小 y轴 (0,0) 增大 ≤ 0 大 0 5. 对于抛物线，当时， 的取值范围是 ( ) 新课讲解 例 C A. B. C. D. 解：二次函数中，， 抛物线开口向上. 抛物线的对称轴是轴， 当时，随的增大而增大， 当时，随 的增大而减小. 当时，取得最小值，为0； 当时，；当 时，， 当时， . 新课讲解 练一练 B 1. 已知二次函数，当时，随 的增大而增大，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 新课讲解 练一练 2. 下列关于二次函数 的说法正确的是 ( ) D A. 它的图象经过点 B. 当时， 取最大值，为0 C. 它的图象的对称轴是直线 D. 当时，随 的增大而减小 解：将代入，得， 抛物线经过， 选项错误. 在二次函数中，， 抛物线开口向上.易知抛物线的对称轴为轴，当时，取最小值，为0，当时，随 的增大而减小， ，C选项错误，D选项正确. 新课讲解 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0，0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 二次函数 y=ax2 的图象和性质 总结 课堂小结 二次函数y=ax2的图象和性质 画法 性质 描点法 抛物线 图象 轴对称图形 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当堂小练 1. 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： (1)y=3x2； (2)y=-3x2. 解：函数图象如图所示. 当堂小练 2. 已知y＝(m＋1)是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式. 解：依题意，得 由②，得m1=-2，m2=1； 由①，得m＞-1. ∴m＝1. 此时，二次函数的解析式为y＝2x2. 当堂小练 3. 已知二次函数 的图象开口向下，则 的值是___. -2 解：由图象开口向下，得，所以 . 由函数是二次函数，得且，解得. 综上，的值是 . 4. 二次函数与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是 ( ) 当堂小练 D A B C D 当堂小练 5. 若抛物线与抛物线的形状相同，则 _________. 或 解：由抛物线的形状相同，得 （抛物线的形状相同，则二次项系数的绝对值相等）， 或 . 当堂小练 6. 已知点， ，若抛物线与线段只有一个公共点，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解：抛物线的对称轴为轴，顶点坐标为， 当 时，二次函数有最大值0，抛物线与线段 没有交点. 当时， 抛物线与线段只有一个公共点， 当 时，；当时，，解得， . D 当堂小练 7. 已知函数是关于 的二次函数. (1) 求 的值. (2) 为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点的坐标，此时当为何值时，随 的增大而增大？ (3) 为何值时，二次函数有最大值？最大值是多少？此时当 为何值时，随 的增大而减小？ 解：(1) 函数是关于 的二次函数， ，且，解得， . (2) 当时，二次函数的图象有最低点，此时 ，最低点的坐标为 . 当时，随 的增大而增大. (3) 当 时，二次函数有最大值， 此时，二次函数的最大值为0，当时，随 的增大而减小. 对接中考 若点，，都在二次函数 的图象上，则 ( ) A. B. C. D. 解法一（直接代入法）将，1，2分别代入 ，得 ，，， . 解法二（增减性）二次函数的图象的对称轴为 轴，开口向上， 为函数的图象的最低点， 最小.当时，随 的增大而增大， ，都在二次函数的图象上，且 ， . A 拓展与延伸 1. 已知点，为二次函数 的图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是 ( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 解：在中，，对称轴为轴， 在轴左侧，随 的增大而减小，在轴右侧，随 的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大. 项，当时，不一定大于，如当 ，时，，，此时，但，故A项错误. 项，当时，不一定小于，如当，时， ， ，此时，但，故B项错误. C项，当 ，即时，有或.当 时，，当时，，所以当时， ，故C项正确. D项，当时，不一定小于，如当 ，时，，，此时，， ，但 ，故D项错误. C 2. 如图，已知点 在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点 . (1) 求的值和点 的坐标； (2) 若点是抛物线上一点，当以点，，为顶点构成 的 的面积为2时，求点 的坐标. 拓展与延伸 解：(1) 把点的坐标代入 ， 得，解得 ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为 轴. 轴，且点 在抛物线上， 点和点关于抛物线的对称轴对称， 即关于 轴对称， . (2) ，， . 的面积为2， 轴， ， ，解得或 . 在中，当时，； 当时， ， 点的坐标为，，或 . $