26.1 二次函数的概念 课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的概念，通过复习函数定义及一次函数知识，以矩形面积、比赛场次、产量增长三个实际问题为载体，引导学生从已有认知过渡到新函数的探究，构建知识学习支架。 其亮点在于以现实问题为切入点，培养学生用数学眼光抽象数量关系，通过归纳解析式共同点发展数学思维，课堂练习结合实例强化推理与运算能力。小结系统梳理定义、形式，助力学生形成知识体系，教师可高效开展概念教学与应用指导。

第二十五章 一元二次方程 26.1 二次函数的概念 学习目标 1.会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系. 2.能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数. 复习巩固 1.什么是函数？ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.目前，我们已经学习了哪些函数？ 一次函数 y=kx+b(k，b是常数，k≠0) 正比例函数 y=kx(k≠0) 探究新知 问题1 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 (单位：) 会随矩形一边长 (单位：)的变化而变化，与之间有什么关系？ 矩形的一边长和面积 都是变量。且对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，即 的函数. 它们之间的关系可以表示为 即 这是一个不同于一次函数的新函数. 探究新知 问题2 比赛场次问题 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛，求比赛的场次数 与球队数 之间的函数关系式。 每支球队要与 支球队比赛，由于每场比赛被计算两次. 所以 整理得 ② 在式中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即是的函数. 探究新知 问题3 某种产品现在的年产量是 ，计划今后两年增加产量，每年都比上一年的产量增加 倍，求两年后这种产品的产量 与 之间的函数关系式. 一年后的产量是 两年后的产量是 整理得 在式中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即 是 的函数. 探究新知 思考 观察这三个函数解析式，它们有什么共同点？ 1.解析式右边都是整式 2.自变量的最高次数都是 2 3.二次项系数不为0 一般地，形如 (是常数，)的函数，叫做二次函数. 思考 观察该二次函数的一般形式，它有什么特点？ 二次项 一次项 常数项 二次项系数 不能为0 一次项系数 均无条件限制 是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是，常数项是 注：必须先化为二次函数的一般形式，才能找出各项系数 探究新知 8 探究新知 二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. 1.判断下列函数中，哪些是二次函数?若是二次函数，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=3(x-1)2+1 (2)y= (3)S=3-2t2 先整理化简 y=3x²-6x+4 二次项系数：3,一次项系数：-6,常数项：4 √ 不是整式 × √ =-2t2+3 二次项系数：-2,一次项系数：0,常数项：3 课堂练习 (4)y=(x+3)2-x2 先整理化简 y=6x+9 × (5)V=10πr2 √ 二次项系数：10π,一次项系数：0,常数项：0 (6)y=ax2 × a≠0才是二次函数 归纳：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 课堂练习 2. (1)已知函数y=(k-2)x2-5x+3是二次函数，求k的取值范围. 一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0) 解：∵k-2≠0， ∴k≠2. (2)已知函数y=4xk-3+x-5是二次函数，求k的值. 解：∵k-3=2， ∴k=5. 课堂练习 (3)y=(m-2) +4是二次函数，求m的取值范围和函数解析式. 解： m2-2=2， m-2≠0. 得 m=±2， m≠2. ∴m=-2. ∴此函数解析式为y=-4x2+4. 本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，需要引起同学们的重视. 课堂练习 例 （1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 【分析】 解：S=2πr2+2πr·r 即 S=4πr2. r r 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和. 课堂练习 （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式. 解：y = 8(1－x)2 即y = 8x2 － 16x+8. 课堂练习 1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)y=8x²-16x+8; (2) y=x²; (3) y=-x2+5x; (4)y=2(x-1)²-5. 【教材P31练习 第1题】 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 8 -16 8 1 0 0 二次项系数: 一次项系数: 常数项: - 5 0 =2x2-4x-3 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 2 -4 -3 课堂练习 2.如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为y m2. 写出y关于x的函数解析式. 【教材P31练习 第2题】 y = (30+x)(20+x) 即y= x2+50x+600. 课堂练习 3.提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示. 【教材P31练习 第3题】 课堂练习 二次函数 定义 右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a≠0. 一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数) 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c (a≠0，a,b,c是常数). 课堂小结 $