26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过回顾一次函数图象及作图步骤，联系二次函数解析式形式，搭建从已知到新知的学习支架，引导学生逐步探究抛物线的概念及相关性质。 其亮点在于以动手作图、对比归纳为核心，结合数学眼光（观察图象特征）和数学思维（推理a值对图象的影响），通过绘制y=x²、y=±1/2x²等图象并对比分析，帮助学生抽象出抛物线性质。小结清晰分点，实例丰富，能培养学生数形结合能力，也为教师提供系统教学流程，提升课堂效率。

第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数的图象和性质 学 习 目 标 1 2 3 会用描点法画出二次函数 的图象；理解抛物线的有关概念； 掌握二次函数 的图象 和性质，并能运用性质解决简单问题； 通过观察、对比、归纳，探究二次函数 的图象和性质，体会数形结合和从特殊到一般的数学思想. 新课引入 思考 上节课我们学习了二次函数的概念，根据二次函数的一般形式，你能否说出二次函数的解析式有几种吗？ ④ ③ ② 二次函数的解析式形式 想一想 我们学过哪些函数图象？ ① 一次函数的图象，其形状为一条直线 已学 作图步骤 列表、描点、连线 本节课我们解了一次函数图象的研究过程，研究二次函数 的图象和性质. 3 新知探究 二次函数 的图象和性质 探究 请同学们按照列表 — 描点 — 连线的步骤，在坐标纸上画出 的图象. （1）第一步，列表 该解析式中的自变量可以是任何数，取点时一般以0为中心取几组对称点，便于计算. 4 新知探究 （2）第二步，描点 根据表中的值在平面直角坐标系中描点( （3）第三步，连线 用平滑曲线顺次连接各点，就得到 的图象 5 新知探究 思考 观察得出的图象，你能描述它的形状吗？ 二次函数 的图象是一条曲线， 它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线， 只是这条曲线开口向上. 二次函数 的图象是一条曲线， 它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线， 只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数的图象叫作抛物线 = . 6 新知探究 思考 继续观察画出的图象，它是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？你能像验证一次函数对称性那样，用具体的点来验证吗？ 如点 它关于 轴的对称点 也在抛物线上； 再取点 对称点 也在图象上 故该抛物线关于 轴对称， 轴就是它的对称轴. 7 新知探究 思考 抛物线和它的对称轴交于哪一点？这个点在整个抛物线上有什么特殊的位置？ 交点是 它是整个抛物线的最低点，所有点的值都比 大。 最低点 这个点叫做抛物线的顶点，每条抛物线都有一个顶点，它是抛物线的最高点或者最低点。 8 新知探究 探究 当 时，图象从左到右是上升还是下降？ 随 的增大如何变化？当 时，图象从左到右是上升还是下降？ 随 的增大如何变化？ （1） 时，图象从左到右下降， 随 的增大而减小. （2） 时，图象从左到右上升， 随 的增大而增大. 增减性演示 （提示：放映状态下点击图标） 观察演示可以得出： 9 知识小结 二次函数 的图象和性质 1.二次函数 ,它的图象叫做抛物线. 2.对称轴是 轴(直线 ),顶点是原点. 3.时随增大而减小，时随增大而增大。 10 绘制二次函数的图象 教材例题 【分析】按照列表、描点、连线的步骤绘制对应函数的图象即可. 在同一平面直角坐标系中，画出函数 =的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象. 11 教材例题 描点，连线可得图象如图所示 想一想 函数 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 12 二次函数 的图象和性质 新知探究 探究 请你将上面绘制过的三条函数图象的相同点与不同点绘制出来. 相同点 ①开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点都是原点(0,0) ②顶点都是抛物线的最低点；增减性和 完全一样，都是 时 随 增大而减小， 时 随增大而增大 不相同点 开口的宽窄不一样，也就是陡峭程度不同 13 新知探究 思考 二次函数 的图象，改变 的值，函数 的图象也发生了改变，随着 的变化，二次函数 的图象有什么变化？ 猜想 越大，抛物线的开口越小，图象越陡 演示器 （提示：放映状态下点击图标） 观察动态演示可以发现： 相同的值， 越大，对应的值就越大，所以图象上升得越快，看起来就越陡 14 新知探究 讨论 <0 时，二次函数 有什么图象和性质呢？ 类似于对函数 的研究，在同一平面直角坐标系中画出函数, , 的图象. 演示器 （提示：放映状态下点击图标） 一般地，当<0 时 ①抛物线 的开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点 ② 越小，抛物线的开越小。 ③当时，随 的增大而增大；当时，随的增大而减小. 15 知识小结 二次函数 的图象特点 1.一般地，抛物线 的对称轴是 轴，顶点是原点 2.当 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 3.当 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 4. 越大，抛物线的开口越小。 16 新知巩固 二次函数的图象的认识 二次函数的图象如图所示，则的值可能为（    ） A．2 B．0 C． D． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可． 解：由图象知，二次函数的图象开口向上，则， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 17 知识小结 二次函数 性质 1.如果 （1）当 时， 随 的增大而减小 （2）当 时， 随 的增大而增大； 2.如果 （1）那么当 时， 随 的增大而增大， （2）当 时， 随 的增大而减小。 18 新知巩固 二次函数的增减性 已知抛物线过点和点，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 解：根据抛物线的性质， 开口向上 抛物线对称轴为 轴，对称轴左侧随的增大而减小，对称轴右侧随的增大而增大 由于关于对称轴的对称点为 ∵ ∴ 故选： A． 【分析】利用函数的对称性和增减性进行比大小即可 19 巩固训练1 二次函数的图象 二次函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象． 解：∵， ∴抛物线的对称轴是轴，顶点为， 由可知，抛物线开口向下， 故选：D． 20 变式题 巩固训练1 二次函数的图象 已知二次函数 ，，， 的图象如图所示，则 ，，， 的大小关系时怎样的？ A. B. C. D. 解：∵ 开口小于 的开口， ∴， ∵ 开口小于 的开口 ∴， 又 ，， ∴， ∴ ， 故选 C. 21 巩固训练 巩固训练2 二次函数的增减性 若点都在二次函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 【分析】熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：，， 对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ， ． 故选：A． 22 变式题 巩固训练2 二次函数的增减性 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为______________. 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在函数的图象上， 且， ∴， 故答案为：． ． 23 巩固训练3 二次函数y=ax²的函数值的范围 已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 24 巩固训练3 变式题 若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当，，当，， ∴与同号或都等于0， ∴ 故选：D． 25 课堂总结 本节课你学到了什么？ 26 感谢聆听! 27 $