26.1二次函数的概念课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的概念，通过矩形面积、比赛场次等实际问题导入，从一次函数过渡到新函数，对比观察归纳特征，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解定义、一般形式及系数。 其亮点是以实际问题为载体，通过探究活动培养数学建模（数学语言），对比归纳定义发展抽象能力和推理意识（数学思维），例题结合生活增强应用意识（数学眼光）。采用探究式教学，学生提升建模与推理能力，教师获得清晰教学流程和实例。

第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求；能准确判断一个函数是否为二次函数，精准区分各项系数；能根据实际问题列出简单的二次函数解析式. 经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程，提升抽象概括、数学建模和类比推理能力，掌握研究新函数的基本方法. 感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，增强用函数思想解决实际问题的意识. 在现实世界中，变量之间的关系多种多样.作为描述变量之间关系的函数，其种类也很丰富. 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y（单位：m²）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 解：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量. 而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数. 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y=x(20-x)，即 20x. ① 这是一个不同于一次函数的新函数. 探究与应用 (1)用长为40 m的细绳围成一个矩形区域,矩形区域的面积y(单位:m2)会随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化,y与x之间有什么关系? 活动1　理解二次函数的概念 问题情境 解:(1)y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=-x2+20x. (2)n支球队参加比赛,每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 解: (2)m是n的函数,它们的具体关系可以表示为m=n2-n. (3)y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=20x2+40x+20. (3)某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y(单位:t)将由x的值确定,y与x之间的关系应怎样表示? 新知探究 探究点1 对比观察，归纳特征 活 动 1 观察归纳二次函数特征 （1）式子① y=10x是我们学过的什么函数？ （2）式子②③与一次函数有什么不同？最高次数是多少？ （3）三个式子均为整式关系式，变量之间都是函数关系，②③的共同特征是什么？ 两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2. 一次函数 自变量的最高次数不同，式子②③最高次数是2 ① y=10x ② y = x² ③ y= － x² +120x－2000 ——二次函数 新知探究 探究点2 生成定义，细化要点 活动2 归纳二次函数完整定义 【分析】每支球队与其他_____支球队各比赛一场， 由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛， 所以比赛的场次数 ，即 ………① n-1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. （1）比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 问题1 ①式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. （2）m是n的函数有什么特征？ 是用n的二次三项式表示 两个变量的关系式是整式，且自变量n的最高次数是2 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ y=-x2+20x. ① m ② y=20x2+40x+20. ③ 共同点: (1)含有自变量的代数式是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 观察(1)~(3)中所得到的函数解析式,从含有自变量式子的最高次数上找找这些函数有什么共同特点. 解:函数都是用自变量的二次式表示的. 引发思考 二次函数的定义:一般地,形如　　　　　 　(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫作二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的 　　　　　　、　　　　　　和　　　　　　.  y=ax2+bx+c 概括新知 　二次项系数 　一次项系数 常数项 y与x之间的关系： ； 新知探究 探究点1 对比观察，归纳特征 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y（单位：t）将由x的值确定，（1）y与x之间的关系应怎样表示? 问题2 【分析】这种产品的原产量是20t， 一年后的产量： ； 20(1+x) 吨 再经过一年后的产量是 ； 20(1+x)(1+x) 吨 y=20(1+x)2 即两年后的产量： ； （2）y是x的函数有什么特征？ ②式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. y =20x2+40x+20……② 两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2 注意 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a，b，c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. 新知探究 探究点2 生成定义，细化要点 归一归 （1）二次函数的定义 3. a，b，c为常数，且二次项系数不为0，即a≠0. 1.函数解析式是整式； 2.自变量的最高次数是2. 称：a为二次项系数，ax2叫做二次项， b为一次项系数，bx叫做一次项， c为常数项。 归一归 （2）二次函数的一般形式： 新知探究 探究点2 生成定义，细化要点 y= ax² + bx + c (a，b，c为常数，a≠0) （3）二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. 例1 下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ① ，是二次函数； ② ，由于  不是整式，所以不是二次函数； ③ ，不是二次函数； ④ ， 的最高次数是 3，不是二次函数； ⑤ y=ax2+bx+c，当 a=0 时，y=bx+c不是二次函数. A 判断二次函数的步骤 一化：将函数解析式化为y=ax2+bx+c的形式； 二看：含自变量的代数式是否为整式，二次项系数是否为0； 三判：判断所给函数是否为二次函数. (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式; (2)a,b,c是常数,且a≠0; (3)等号右边的整式的最高次数为2. 记 关键 (教材补充例题)下列函数中,属于二次函数的是 (　　) A.y=x2+ 　　　　　B.y=(x+1)2-x2 C.y=2x2-7x 　　 D.y=ax2+bx+c 理解应用 C 例 1 典例分析 例1.判断下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别说出二次项系数、一次项系数和常数项. ① y=3x² ② y=2x+1 ③ y=-x²+4x-1 ④ ⑤ y=x²-x(2+x) √ 解：（1）二次项系数：3,一次项系数：0,常数项：0 （4）∵不是整式，∴不是二次函数 （3）二次项系数：-1,一次项系数：4,常数项：-1 （5）先整理化简 y= - 2x, 自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数. （2）自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数. √ × × × 解题关键是紧扣三个判定条件： 关系式为整式； 2. 自变量最高次数为2； 3. 二次项系数a≠0； 对于复杂式子需先化简，再逐一判定. (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 .写出两年后该产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 ，即 (2) 一年后该产品的年销售量为 8(1-x) 万件，两年后该产品的年销售量为8(1-x)(1-x)万件,所以y=8(1-x)2.即 y=8x2-16x+8. 例2 利用二次函数的定义求参数的关键 (1)利用最高次数是2列出方程; (2)不能忽视二次项系数不为0. 抓 关键 (教材补充例题)写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项: (1)y=3-2x2; (2)y=5x2+4x-9; (3)y=x(x-1)+1; (4)y=(x+3)(3-x). 解:(1)y=3-2x2的二次项系数为-2,一次项系数为0,常数项为3. (2)y=5x2+4x-9的二次项系数为5,一次项系数为4,常数项为-9. (3)y=x(x-1)+1可以化成y=x2-x+1,其二次项系数为1,一次项系数为-1,常数项为1. (4)y=(x+3)(3-x)可以化成y=-x2+9,其二次项系数为-1,一次项系数为0,常数项为9. 例 2 典例分析 例3.用一根长为40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，矩形的面积为y cm²，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 【分析】 矩形的周长为40 长+宽=20 另一边=20-x 解：∵矩形的周长为40且矩形一边长为xcm， ∴另一边长为 =(20-x)cm ∴y=x(20-x)= -x²+20x 由题意可得： ，解得：0<x<20. ∴函数关系式为 y= -x²+20x （0<x<20） 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 y=8x2−16x+8 y=x2 y=−x2+5x y=2(x−1)2−5=2x2−4x−3 8 1 - 2 -16 0 5 -4 8 0 0 -3 解： 如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为 y m2. 写出 y 关于 x 的函数解析式. 解：由图形知，扩充后绿地的长为(30+x) m，宽为(20+x) m， 则y=(30+x)(20+x)， 即y=x2+50x+600. 30 m x m 20 m x m (1)已知正方体的棱长为x cm,它的表面积为S cm2,则S关于x的函数解析式为　　　　　　;  (2)2025年的“苏超足球联赛”燃遍全网,由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象,2026年要增加参赛球队数,进行主客场双循环比赛(每两队之间都进行两场比赛).设共有x支球队参加比赛,比赛总场数为y,则y关于x的函数解析式为　　　　　　.  S=6x2 变式 y=x2-x 知识与技能 （1）掌握二次函数的定义及一般形式： y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)； （2）能准确辨析二次函数， 区分二次项、一次项、常数项及对应系数； （3）能根据实际问题列二次函数解析式， 并结合实际意义确定自变量取值范围. 课堂小结 定义 应用 二次函数的概念 系数 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 根据实际问题的数量关系，构建二次函数模型 $