1.4正方形的性质与判定-第1课时 正方形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，通过回顾平行四边形的边、角、对角线性质及正方形定义，以“正方形是否为菱形或矩形”的问题引导猜想，搭建矩形、菱形到正方形的知识支架。 其亮点在于以猜想-证明发展推理能力，如通过定义证正方形既是矩形也是菱形，结合例题和随堂练习运用性质解决问题，课堂小结用表格系统梳理性质，助力学生形成几何直观与应用意识，提升教师教学效率。

1.4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 1. 探索并证明正方形的性质定理，进一步发展推理能力. 2. 运用正方形的性质定理解决相关问题. 学习目标 边 角 对角线 对称性 平行四边形的一般性质 正方形的 特殊性质 轴对称 回顾 正方形的定义是什么？前面学习的正方形的性质有哪些？ 对边平行且相等 对角分别相等 邻角互补 对角线互相平分 中心对称 ？ ？ ？ 正方形的 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 新课引入 思考·交流 (1)正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？ 猜想1：正方形既是矩形也是菱形. (2)你认为正方形有哪些特殊的性质？ 猜想2：正方形的四个角都是直角，四条边相等； 正方形的对角线相等且互相垂直平分. A B C D O 新知学习 猜想1 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 既是矩形也是菱形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 (矩形的定义)， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 (菱形的定义)， ∴ 正方形 ABCD 既是矩形也是菱形. 正方形既是矩形也是菱形. A B C D 新知学习 猜想2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：正方形 ABCD 四个角都是直角，四条边相等. 证明：∵正方形 ABCD 既是矩形也是菱形. ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90° (矩形的四个角都是直角)， AB = BC = CD = AD (菱形的四条边相等). 归纳总结 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. A B C D O 新知学习 猜想2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. 证明：∵ 正方形既是矩形也是菱形， ∴ AC=BD (矩形对角线相等)， AC⊥BD，AO = CO，BO = DO， (菱形对角线互相垂直平分)， ∴ AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. 归纳总结 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. A B C D O 新知学习 正方形 的性质 菱形的性质 矩形的性质 1.四条边相等 2.对角线互相垂直 1.四个角都是直角 2.对角线相等 平行四边 形的性质 1.对边平行且相等 2.对角相等 3.对角线互相平分 归纳总结 新知学习 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： (1)∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC = DC，∠BCE = 90°. ( 正方形的四条边相等，四个角都是直角 ) ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF， ∴△BCE ≌ △DCF. ∴BE=DF. 例 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 CD 上的一点，F 是 BC 延长线上的一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. A B D C F E 新知学习 A B D C F E (2)如图，延长 BE 交 DF于点 M， ∵△BCE ≌ △DCF， ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE⊥DF. M 新知学习 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形. (1)若在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，则菱形的另外两个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由. A B C D O E F 另外两个顶点 E，F 需满足的条件： 均在直线 BD 上，且到正方形对角线交点 O 的距离相等. 理由：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 新知学习 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形. (2)若在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点 E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边 AB，BC，CD，AD 上，则矩形 EFGH 的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由. A B C D E F G H 矩形 EFGH 的四个顶点需满足的条件： 四个顶点到正方形各顶点的距离对应相等. 理由：△AEH，△BEF，△CFG，△DGH均是等腰直角三角形， 有三个角是直角的四边形是矩形. 新知学习 1.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，△ABE经过旋转后得到△ADF，旋转角为( ) A .60° B.70° C.80° D.90° D 随堂练习 2.(2024河北)如图，在Rt△ABC中，AB=4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，若 ， 则 ( ) A. B. C.12 D.16 B 随堂练习 3.(2024兰州)如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=_______． 2 随堂练习 4. (2024徐州)已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC． (1)求证：△EAB≌△ECB； 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠CBE=45°， 在△EAB和△ECB中， ∴△EAB≌△ECB(SAS)； 随堂练习 4. (2024徐州)已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC． (2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE． 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC= ∠CDA= 45°， ∵△EAB≌△ECB，∠AEC=45°， ∴ ∠CED=∠AED= ∠AEC= 22.5°， ∵∠BDC=∠CED+∠DCE=45°，∴∠DCE=45°-22.5°=22.5°， ∴∠CED=∠DCE， ∴DC=DE． 随堂练习 5.如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD四条边上的点，GE交FH于点O，若GE=HF，求证：GE⊥HF. 证明：如图，过点G作GM⊥BC于点M， 过点F作FN⊥AB于点N，交GE于点P， 则∠FNA=90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A=90°，AB∥CD，∴AD∥NF， ∴四边形ADFN为矩形， 同理可证四边形AGMB为矩形， ∴GM=AB，FN=AD，FN∥AD， ∴GM=FN，FN∥BC， M N P 随堂练习 5.如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD四条边上的点，GE交FH于点O，若GE=HF，求证：GE⊥HF. 证明：在Rt△MGE和Rt△NFH中： MG=NF，GE=HF， ∴Rt△MGE≌Rt△NFH(HL)， ∴∠FHN=∠GEM， ∵∠FHN+∠HFN=90°，∴∠GEM+∠HFN=90°， ∵FN∥CB，∴∠GPN=∠GEM， ∵∠GPN=∠FPO，∴∠FPO+∠HFN=90°， ∴∠POF=90°，即GE⊥HF. M N P 随堂练习 正方 形 性质 一般性质 特殊性质 对边平行且相等. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 对角相等，邻角互补. 对角线互相平分. 正方形的对角线相等且互相垂直平方. 课堂小结 $